Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (71-75)

καὶ ἀφ’ ὧν αἱ πλάσεις οἱ ἄκροι τετράγωνοι γίνονται. ἡ δὲ λοιπὴ μικτὴ σχέσις ἡ πολλαπλασιεπιμερὴς γεννᾶται ἐκ τῆς ἐπιμεροῦς, καὶ ἐκ μὲν τῆς ἐπιδιμεροῦς 〈ἢ〉 δὶς ἐπιτρίτου, εἰδικῶς τῆς θʹ καὶ ιεʹ κεʹ, ἀρχομένων ἡμῶν ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος ὅρου, γεννᾶται ἡ διπλασιεπιδιμερὴς

τούτων οἱ πυθμένες κατά τινα λόγον φανήσονται διευτακτούμενοι· τῆς μὲν γὰρ διπλασιεπιδιμεροῦς τρίτων ἐν πέμπτῳ μέρει τῶν διαφορῶν ἐνοφθήσονται οἱ πυθμένες, τῆς διπλασιεπιτριμεροῦς τετάρτων ἐν ἑβδόμῳ, τῆς δὲ διπλασιεπιτετραμεροῦς πέμπτων ἐν ἐννάτῳ, καὶ ἀεὶ κατὰ δυάδος προσθήκην τὴν κλῆσιν ἕξει τὸ μόριον, οἷον ὁ ιαʹ καὶ ιγʹ καὶ ιεʹ, καὶ ἀεὶ ὁμοίως.

Ἐπιδειχθείσης ἡμῖν τῆς τῶν σχέσεων πλάσεως ἀπλατῶν καὶ μικτῶν ἀπὸ ἰσότητος τὴν ἀρχὴν ἐσχηκυίας, καθόλικόν τι θεώρημα προσληπτέον χρήσιμον ἡμῖν ἐσόμενον εἰς τοὺς λόγους τῆς ἁρμονικῆς θεωρίας

ὥστε σύριγγι ὁμοίου τοῦ διαγράμματος γενομένου πολλὴν γλαφυρίαν ἐμφαίνεσθαι κατά τε τὸ μῆκος καὶ τὸ βάθος καὶ τὴν ὑποτείνουσαν. ἐκ μὲν γὰρ διπλασίων τριπλάσιοί τε καὶ ἡμιόλιοι φύσονται, ἐκ δὲ τριπλασίων τετραπλάσιοί τε καὶ ἐπίτριτοι, ἐκ δὲ τετραπλασίων πενταπλάσιοί τε καὶ ἐπιτέταρτοι, καὶ ἐφοσονοῦν ἀεὶ τῆς αὐτῆς ἀκολουθίας ἀποσῳζομένης. ὁ δὲ συνεχὴς ἀεὶ πολλαπλάσιος ὑποφύσεται διὰ τῆς ὑποτεινούσης κωλυτὴρ γινόμενος τῶν περαιτέρω τῆς εἰρημένης τάξεως ἐπιμορίων ἐστερημένος τοιούτου ἐπιμορίου καθὸ λέγεται ὁ ἐπιμόριος, ὡς ὁ τρία ἡμίσους καὶ ὁ τέσσαρα τρίτου καὶ ὁ πέντε τετάρτου καὶ ἀεὶ ὁμοίως. καθ’ ἑκάστην δὲ σύριγγα ὁ κατὰ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τεταγμένος ἀριθμὸς πρὸς τοὺς ἑκατέρωθεν συγγενεῖς κατά τε τὸ πλάτος καὶ τὸ βάθος λόγον τινὰ ἀποσώσει οὐκ ἄτακτον, οἷον ἐν μὲν τῇ τῶν διπλασίων ἐκθέσει διπλάσιός τε καὶ ὑφημιόλιος γινόμενος, ἐν δὲ τῇ τῶν τριπλασίων τριπλάσιός τε καὶ ὑπεπίτριτος, καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ἀναλόγως.

Προληπτέον δὲ καὶ ἄλλο τι θεώρημα χρησιμώτατον ἡμῖν ἐσόμενον εἰς τὴν μουσικὴν εἰσαγωγὴν τοιοῦτον.

κατά τινας ἄλλους ἀριθμοὺς παρὰ μονάδα ἴσους ἀλλήλοις μετρῇ, τὸν μὲν μείζονα κατὰ τὸν μείζονα τὸν δὲ ἐλάττονα κατὰ τὸν ἐλάττονα, ἤτοι πληρούντως αὐτοὺς μετρήσει ἢ ὑπερβαλλόντως ἢ ἐλλιπῶς. ἀλλ’ ἐπεὶ τὸ μὲν πλῆρες ἑνὶ τρόπῳ πλῆρές ἐστιν, ὡς τὸ τέλειον καὶ τὸ ἴσον, κατὰ τὴν τῶν ἀρετῶν φύσιν, τὸ δὲ ἐλλιπὲς καὶ τὸ ὑπερβάλλον ἄπειρά τε καὶ ἀόριστα, καθὰ καὶ αἱ κακίαι, διὰ τὴν τῆς ἀνισότητος φύσιν, κατὰ μὲν τὴν πλήρη μέτρησιν ἕνα καὶ τὸν αὐτὸν οἱ μετρηθέντες λόγον ἕξουσι πρὸς ἐκείνους, καθ’ οὓς ἐμέτρησεν αὐτοὺς ἡ διαφορά, καὶ ἔσται ὁ τούτων μείζων πρὸς τὸν ἐλάττονα, ὡς ὁ ἐκείνων μονάδι μείζων πρὸς τὸν μονάδι ἐλάττονα· κατὰ δὲ τὰς λοιπὰς δύο μετρήσεις ἢ μείζονα ἢ ἐλάττονα, καὶ οὐκέτι τὸν αὐτόν. ἀλλ’ εἰ μὲν ἐλλιπὴς ᾖ ἡ μέτρησις, ὥστε μετὰ τὴν τοῦ μέτρου προσβολὴν τοσαυτάκις καὶ οἱ πρὸ αὐτῶν ἀκαταμέτρητόν τι ἀπολειφθῆναι ἐν ἀμφοτέροις τοῖς μετρηθεῖσιν, ἴσον δὲ τοῦτο, ἐν μείζονι πάντες οἱ ὅλοι λόγῳ γενήσονται ἤπερ τὰ ὑπὸ τοῦ μέτρου καταληφθέντα πληρούντως αὐτῶν μέρη πρὸς ἄλληλα ἐξεταζόμενα,

καὶ καθόλου οἱ ἐνδοτέρω καὶ εἰς τὸ ἔλαττον κατὰ ἴσην διαφορὰν ὑποβιβαζόμενοι ἀριθμοὶ μείζονας ἀεὶ καὶ μᾶλλον λόγους ἕξουσιν τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς μειζόνων, ὡς ἐπὶ τῶν ἀριθμητικῶν μεσοτήτων πασῶν ἔστιν ἰδεῖν τοὺς ἐλάττονας ὅρους αἰεὶ ἐν μείζοσιν ὄντας λόγοις, τοὺς δὲ μείζονας ἐν ἐλάττοσιν· ἐὰν δέ γε ὑπερβάλλουσα ᾖ ἡ μέτρησις,