Scaife ATLAS

CTS Library / Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς

Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (31-35)

urn:cts:greekLit:tlg2023.tlg004.1st1K-grc1:31-35
Refs {'start': {'reference': '31', 'human_reference': 'Page 31'}, 'end': {'reference': '35', 'human_reference': 'Page 35'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next

αὐτῆς, ὥσπερ καὶ τὸ ἀπὸ τοῖς ὑπὸ γεωμετρικῶς ἐν ἀρτιάκις ἀρτίῳ συμβάντος τὸ τοὺς ἄκρους καὶ τοὺς ὑπ ἐκείνους μέχρι μέσου ἀλλήλους πολυπλασιάζοντας ἴσους γίνεσθαι τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντι, δυσὶ μέσοις καὶ αὐτοῖς μηκυνομένοις, καθὰ καὶ οἱ ἑκατέρωθεν αὐτῶν ἄκροι, ἐν ἀρτίᾳ δηλονότι ἐκθέσει. ἴδιον δὲ τοῦ εἴδους τούτου ὑπεναντίον τῷ τοῦ προτέρου τὸ μόνον ὑπὸ ἀρτίου περισσῶς ὑπὸ περισσοῦ ἀρτίως κατὰ ἀναστροφὴν μετρεῖσθαι.

Ἐπειδὴ δὲ ἐνταῦθα προδηλότερον ἁμάρτημα παρὰ τῷ Εὐκλείδῃ ἐστὶ τὸ μὴ διακρίνειν ἀρτιοπέρισσον περισσαρτίου μηδὲ τὸν ἕτερον μὲν αὐτῶν ἀντικεῖσθαι ἀρ τιάκις ἀρτίῳ τὸν δὲ λοιπὸν ἀμφοτέρων μῖγμα νομίζειν, ἔτι σαφέστερον περὶ τοῦ τρίτου λέγωμεν, αὐτὸ τὸ Εὐκλείδου ῥητὸν προεκθέμενοι περὶ αὐτῶν. λέγει γὰρ οὕτως· ἀρτιοπέρισσος ἀριθμός ἐστιν ὑπ ἀρτίου

ἀριθμοῦ μετρούμενος περισσάκις. δὲ αὐτὸς καὶ περισσάρτιός ἐστι· καὶ γὰρ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρεῖται ἀρτιάκις, οἷον λόγου χάριν ϛʹ·

ἐὰν μὲν γὰρ δὶς τρία λέγωμεν, ἀρτιοπέρισσος, ἐὰν δὲ τρὶς δύο, περισσάρτιος· πάνυ εὐήθως. ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ τρίτῳ τῶν ἀριθμητικῶν τοὺς τρεῖς εἰς ἕνα συγχέει, δουλεύων δηλονότι τῇ τοῦ ὀνόματος ἐμφάσει· φησὶ γάρ· ἐὰν ἄρτιος ἀριθμὸς τὸ ἥμισυ ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις τέ ἐστι περισσὸς καὶ περισσάκις ἄρτιος, τὸ αὐτὸ δηλονότι τοῖς ἔμπροσθεν λέγων. εἶτ ἐπιφέρει· ἐὰν ἄρτιος μήτε τὸ ἥμισυ ἔχῃ περισσὸν μήτε τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασιαζομένων, ἀρτιάκις τέ ἐστιν ἄρτιος καὶ ἀρτιάκις περισσὸς αὐτὸς καὶ περισσάκις ἄρτιος. καὶ μὲν Εὐκλείδης οὕτως· ἡμῖν δὲ μᾶλλον λεγέσθω τὸ τρίτον εἶδος κοινῶς ἐξ ἀμφοῖν πλάσσεταί τε καὶ εἰδοποιεῖται καὶ συμβεβηκότα ἴσχει. ἔστιν οὖν καὶ τῷ ὅρῳ κρᾶμα αὐτῶν· ὑπό τε γὰρ ἀρτίου ἀρτιάκις μετρεῖται καὶ αὐτὸς ὑπὸ ἀρτίου περισσάκις, οὐδετέρῳ δὲ τῶν προτέρων τοῦθ ἅμα συμβέβηκεν, ἀλλὰ θάτερον μόνον θατέρῳ. καὶ μὴν τὸ πλεονάκις μὲν τοῦ ἅπαξ διαιρεῖσθαι παρὰ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου ἔχει, τὸ δὲ μὴ μέχρι μονάδος δύεσθαι παρὰ τοῦ ἀρτιοπερίσσου· καὶ τὸ μὲν ἀντιπαίεσθαι τὰ τῶν μερῶν ὀνόματα ὑπὸ τῶν δυνάμεων κοινωνεῖ τῷ δευτέρῳ, τὸ δὲ ἅμα καὶ ὁμωνυμεῖν οὐκ ἀπήλλακται

τοῦ προτέρου, ἀπό τε τοῦ μείζονος ἄκρου ὅτι πλεονάκις ἅπαξ διχοτομεῖται προστρέχει

τῷ μέχρι μονάδος αὐτῷ, ἀφιστάμενος τοῦ ἅπαξ μόνον διχαζομένου· πρὸς δὲ τῷ ἐλάττονι καὶ ἄλλα διαλυτὰ ἔχων ἀφίσταται μὲν τούτου τέως, προσεχὴς δὲ τῷ ἐναντίῳ γίνεται. καὶ γένεσις δ αὐτοῦ ἐξ ἀμφοῖν μικτή. τοὺς μὲν γὰρ τοῦ ἀρτιοπερίσσου γνώμονας ἐκθέσθαι δεῖ πάντας ἑξῆς ἀπὸ τριάδος, τοὺς δὲ ἀρτιάκις ἀρτίους αὐτοὺς ἐπὶ ἑαυτῶν καὶ γνώμονες ἀπὸ τετράδος τάξει, καὶ ὁποτερωθενοῦν, ἀδιάφορον γάρ, τῷ πρώτῳ τὴν προτέραν ἔκθεσιν καθ ἕκαστον ἐξ ἀρχῆς μηκυντέον μέχρι τις θέλει, εἶτα τῷ δευτέρῳ πάλιν τοὺς αὐτοὺς καὶ μετὰ ταῦτα τῷ τρίτῳ, εἶτα πάλιν τῷ τετάρτῳ, καὶ ἐπ ἄπειρον. ἐὰν μὲν γὰρ τοῖς τοῦ ἅπαξ διαιρετοῦ γνώμοσιν οἱ τοῦ ἑτέρου πολυπλασιασθῶσι, γενήσονται πρῶτον μὲν ὀγδοάδι ἀλλήλων διαφέροντες, διπλάσιοι ἄρτιοι περισσῶν, ἐπίπλαστος περισσάρτιοι εὔτακτοι εὐτάκτων. εἶτ ἀπ ἄλλης ἀρχῆς οἱ αὐτῶν τούτων διπλάσιοι τῶν ἐξ ἀρχῆς τετραπλάσιοι, τετραπλασίᾳ πρὸς ἐκείνους χρώμενοι διαφορᾷ, πρὸς δὲ τοὺς πρὸ

αὐτῶν ἀναγκαίως διπλασίᾳ, καὶ τοῦτο δι ὅλου ἀναλόγως καὶ τοῦ μήκους ὑποφαινομένου. ἐὰν δὲ ἔμπαλιν τοῖς τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου οἱ τοῦ ἀρτιοπερίσσου, τὰ μὲν αὐτὰ συμβήσεται, μεταστήσεται δὲ εἰς ἄλληλα τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος, ὡς ἐν ἀμοιβῇ. ἵνα μέντοι προδηλότερον ἠγνοηκὼς Εὐκλείδης ταῦτα φανῇ, παρατηρητέον

καὶ κατὰ τὰς ἐπὶ πλέον ἐκθέσεις ἔν τε μήκει καὶ πλάτει τὰ ἀμφοτέροις ἐκείνοις συμβεβηκότα ἅμα τούτῳ ὑπάρχοντα μόνῳ ὡς ἂν μίγματι αὐτῶν· τῇ γὰρ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ χρήσεται ὡς ἀρτιάκις ἄρτιος τὸ ὑπὸ ποιῶν τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου ὑπὸ τῶν μέσων παρὰ τὴν τῆς ἐκθέσεως ποσότητα, τῇ δὲ ἀριθμητικῇ ἴσα συναμφότερα τὰ περιέχοντα τὸ μέσον τὰ μέσα ἀποτελῶν, δὶς τῷ ἑνὶ ἅπαξ τοῖς δυσίν. οὕτως ἐν ἅπασι κοινῶς ἀμφοῖν καὶ ὡσανεὶ ἔκγονος οὗτος δείκνυται, ἀντικειμένων ἀλλήλοις τῶν προελθόντων τοῦ ἀρτίου εἰδῶν, οὐ πάντῃ διαφέρων ἑκατέρου οὔτε πάντῃ αὐτὸς ὤν. εὐθυντέον δὴ τοὺς Εὐκλείδου ὅρους

καὶ λεκτέον ὅτι μόνον ὑπ ἀρτίου περισσάκις ἀρτιοπέρισσος, δ οὐδέποτε μόνον θάτερον ἀλλ ἀμφότερα ἐξ ἀνάγκης ἀεὶ ἔχων ὅπερ οὐδέτερος ἐκείνων περισσάρτιος, μφότεροι δὲ ἅμα κρᾶμα εὐλόγως ἀμφοτέρων τῇ τοῦ λοιποῦ μετοχῇ τοῦ ἑτέρου ἀφιστάμενοι.

Τοῦ δὲ περισσοῦ ἀριθμοῦ πάλιν καθ ὑποδιαίρεσιν τὸ μέν ἐστι πρῶτον

Tokens

αὐτῆς 1 w 5
ὥσπερ 1 w 11
καὶ 1 w 14
τὸ 1 w 16
ἀπὸ 1 w 19
τοῖς 1 w 23
ὑπὸ 1 w 26
γεωμετρικῶς 1 w 37
ἐν 1 w 39
ἀρτιάκις 1 w 47
ἀρτίῳ 1 w 52
συμβάντος 1 w 61
τὸ 2 w 63
τοὺς 1 w 67
ἄκρους 1 w 73
καὶ 2 w 76
τοὺς 2 w 80
ὑπ 2 w 82
ἐκείνους 1 w 91
μέχρι 1 w 96
μέσου 1 w 101
ἀλλήλους 1 w 109
πολυπλασιάζοντας 1 w 125
ἴσους 1 w 130
γίνεσθαι 1 w 138
τῷ 1 w 140
ἀπὸ 2 w 143
τοῦ 1 w 146
μέσου 2 w 151
πολυπλασιασθέντι 1 w 167
1 w 169
δυσὶ 1 w 173
μέσοις 1 w 179
καὶ 3 w 182
αὐτοῖς 1 w 188
μηκυνομένοις 1 w 200
καθὰ 1 w 205
καὶ 4 w 208
οἱ 1 w 210
ἑκατέρωθεν 1 w 220
αὐτῶν 1 w 225
ἄκροι 1 w 230
ἐν 2 w 233
ἀρτίᾳ 1 w 238
δηλονότι 1 w 246
ἐκθέσει 1 w 253
ἴδιον 1 w 259
δὲ 1 w 261
τοῦ 2 w 264
εἴδους 1 w 270
τούτου 1 w 276
ὑπεναντίον 1 w 286
τῷ 2 w 288
τοῦ 3 w 291
προτέρου 1 w 299
τὸ 3 w 301
μόνον 1 w 306
2 w 307
ὑπὸ 2 w 310
ἀρτίου 1 w 316
περισσῶς 1 w 324
3 w 325
ὑπὸ 3 w 328
περισσοῦ 1 w 336
ἀρτίως 1 w 342
κατὰ 1 w 346
ἀναστροφὴν 1 w 356
μετρεῖσθαι 1 w 366
Ἐπειδὴ 1 w 373
δὲ 2 w 375
ἐνταῦθα 1 w 382
προδηλότερον 1 w 394
ἁμάρτημα 1 w 402
παρὰ 1 w 406
τῷ 3 w 408
Εὐκλείδῃ 1 w 416
ἐστὶ 1 w 420
τὸ 4 w 422
μὴ 1 w 424
διακρίνειν 1 w 434
ἀρτιοπέρισσον 1 w 447
περισσαρτίου 1 w 459
μηδὲ 1 w 463
τὸν 1 w 466
ἕτερον 1 w 472
μὲν 1 w 475
αὐτῶν 2 w 480
ἀντικεῖσθαι 1 w 491
ἀρ 7 w 493
τιάκις 2 w 499
ἀρτίῳ 2 w 504
τὸν 2 w 507
δὲ 4 w 509
λοιπὸν 1 w 515
ἀμφοτέρων 1 w 524
μῖγμα 1 w 529
νομίζειν 1 w 537
ἔτι 1 w 541
σαφέστερον 1 w 551
περὶ 1 w 555
τοῦ 4 w 558
τρίτου 1 w 564
λέγωμεν 1 w 571
αὐτὸ 1 w 576
τὸ 8 w 578
Εὐκλείδου 1 w 587
ῥητὸν 1 w 592
προεκθέμενοι 1 w 604
περὶ 2 w 608
αὐτῶν 3 w 613
λέγει 1 w 619
γὰρ 1 w 622
οὕτως 1 w 627
ἀρτιοπέρισσος 1 w 641
ἀριθμός 1 w 648
ἐστιν 1 w 653
1 w 654
ὑπ 6 w 656
ἀρτίου 2 w 663
ἀριθμοῦ 1 w 670
μετρούμενος 1 w 681
περισσάκις 1 w 691
2 w 693
δὲ 5 w 695
αὐτὸς 1 w 700
καὶ 5 w 703
περισσάρτιός 1 w 715
ἐστι 2 w 719
καὶ 6 w 723
γὰρ 2 w 726
ὑπὸ 4 w 729
περισσοῦ 2 w 737
ἀριθμοῦ 2 w 744
μετρεῖται 1 w 753
ἀρτιάκις 2 w 761
οἷον 1 w 766
λόγου 1 w 771
χάριν 1 w 776
3 w 777
ϛʹ 1 w 779
ἐὰν 1 w 783
μὲν 2 w 786
γὰρ 3 w 789
δὶς 1 w 792
τρία 1 w 796
λέγωμεν 2 w 803
ἀρτιοπέρισσος 2 w 817
ἐὰν 2 w 821
δὲ 6 w 823
τρὶς 1 w 827
δύο 1 w 830
περισσάρτιος 1 w 843
πάνυ 1 w 848
εὐήθως 1 w 854
ἀλλὰ 1 w 859
καὶ 7 w 862
ἐν 4 w 864
τῷ 4 w 866
τρίτῳ 1 w 871
τῶν 4 w 874
ἀριθμητικῶν 1 w 885
τοὺς 3 w 889
τρεῖς 1 w 894
εἰς 1 w 897
ἕνα 1 w 900
συγχέει 1 w 907
δουλεύων 1 w 916
δηλονότι 2 w 924
τῇ 1 w 926
τοῦ 5 w 929
ὀνόματος 1 w 937
ἐμφάσει 1 w 944
φησὶ 1 w 949
γάρ 1 w 952
ἐὰν 3 w 956
ἄρτιος 1 w 962
ἀριθμὸς 1 w 969
τὸ 11 w 971
ἥμισυ 1 w 976
ἔχῃ 1 w 979
περισσόν 1 w 987
ἀρτιάκις 3 w 996
τέ 4 w 998
ἐστι 3 w 1002
περισσὸς 1 w 1010
καὶ 8 w 1013
περισσάκις 2 w 1023
ἄρτιος 2 w 1029
τὸ 12 w 1032
αὐτὸ 3 w 1036
δηλονότι 3 w 1044
τοῖς 3 w 1048
ἔμπροσθεν 1 w 1057
λέγων 1 w 1062
εἶτ 1 w 1066
ἐπιφέρει 1 w 1075
ἐὰν 4 w 1079
ἄρτιος 3 w 1085
μήτε 1 w 1089
τὸ 14 w 1091
ἥμισυ 2 w 1096
ἔχῃ 2 w 1099
περισσὸν 1 w 1107
μήτε 2 w 1111
τῶν 5 w 1114
ἀπὸ 3 w 1117
μονάδος 1 w 1124
1 w 1125
διπλασιαζομένων 1 w 1140
ἀρτιάκις 4 w 1149
τέ 5 w 1151
ἐστιν 2 w 1156
ἄρτιος 4 w 1162
καὶ 9 w 1165
ἀρτιάκις 5 w 1173
περισσὸς 2 w 1181
4 w 1182
αὐτὸς 2 w 1187
καὶ 10 w 1190
περισσάκις 3 w 1200
ἄρτιος 5 w 1206
καὶ 11 w 1210
5 w 1211
μὲν 3 w 1214
Εὐκλείδης 1 w 1223
οὕτως 2 w 1228
ἡμῖν 1 w 1233
δὲ 7 w 1235
μᾶλλον 1 w 1241
λεγέσθω 1 w 1248
τὸ 16 w 1250
τρίτον 1 w 1256
εἶδος 1 w 1261
1 w 1262
κοινῶς 1 w 1268
ἐξ 1 w 1270
ἀμφοῖν 1 w 1276
πλάσσεταί 1 w 1285
τε 6 w 1287
καὶ 12 w 1290
εἰδοποιεῖται 1 w 1302
καὶ 13 w 1305
συμβεβηκότα 1 w 1316
ἴσχει 1 w 1321
ἔστιν 1 w 1327
οὖν 1 w 1330
καὶ 14 w 1333
τῷ 5 w 1335
ὅρῳ 1 w 1338
κρᾶμα 1 w 1343
αὐτῶν 4 w 1348
ὑπό 1 w 1352
τε 7 w 1354
γὰρ 4 w 1357
ἀρτίου 3 w 1363
ἀρτιάκις 6 w 1371
μετρεῖται 2 w 1380
καὶ 15 w 1383
6 w 1384
αὐτὸς 3 w 1389
ὑπὸ 5 w 1392
ἀρτίου 4 w 1398
περισσάκις 4 w 1408
οὐδετέρῳ 1 w 1417
δὲ 8 w 1419
τῶν 7 w 1422
προτέρων 1 w 1430
τοῦθ 1 w 1434
ἅμα 1 w 1438
συμβέβηκεν 1 w 1448
ἀλλὰ 2 w 1453
θάτερον 1 w 1460
μόνον 2 w 1465
θατέρῳ 1 w 1471
καὶ 16 w 1475
μὴν 1 w 1478
τὸ 18 w 1480
πλεονάκις 1 w 1489
μὲν 4 w 1492
τοῦ 7 w 1495
ἅπαξ 1 w 1499
διαιρεῖσθαι 1 w 1510
παρὰ 2 w 1514
τοῦ 8 w 1517
ἀρτιάκις 7 w 1525
ἀρτίου 5 w 1531
ἔχει 1 w 1535
τὸ 19 w 1538
δὲ 9 w 1540
μὴ 3 w 1542
μέχρι 2 w 1547
μονάδος 2 w 1554
δύεσθαι 1 w 1561
παρὰ 3 w 1565
τοῦ 9 w 1568
ἀρτιοπερίσσου 1 w 1581
καὶ 17 w 1585
τὸ 20 w 1587
μὲν 5 w 1590
ἀντιπαίεσθαι 1 w 1602
τὰ 2 w 1604
τῶν 8 w 1607
μερῶν 1 w 1612
ὀνόματα 1 w 1619
ὑπὸ 6 w 1622
τῶν 9 w 1625
δυνάμεων 1 w 1633
κοινωνεῖ 1 w 1641
τῷ 6 w 1643
δευτέρῳ 1 w 1650
τὸ 21 w 1653
δὲ 10 w 1655
ἅμα 2 w 1658
καὶ 18 w 1661
ὁμωνυμεῖν 1 w 1670
οὐκ 1 w 1673
ἀπήλλακται 1 w 1683
τοῦ 10 w 1686
προτέρου 2 w 1694
ἀπό 1 w 1698
τε 9 w 1700
τοῦ 11 w 1703
μείζονος 1 w 1711
ἄκρου 2 w 1716
ὅτι 1 w 1719
πλεονάκις 2 w 1728
4 w 1729
ἅπαξ 2 w 1733
διχοτομεῖται 1 w 1745
προστρέχει 1 w 1755
τῷ 7 w 1757
μέχρι 3 w 1762
μονάδος 3 w 1769
αὐτῷ 1 w 1773
ἀφιστάμενος 1 w 1785
τοῦ 12 w 1788
ἅπαξ 3 w 1792
μόνον 3 w 1797
διχαζομένου 1 w 1808
πρὸς 1 w 1813
δὲ 11 w 1815
τῷ 9 w 1817
ἐλάττονι 1 w 1825
καὶ 19 w 1828
ἄλλα 1 w 1832
διαλυτὰ 1 w 1839
ἔχων 1 w 1843
ἀφίσταται 1 w 1852
μὲν 6 w 1855
τούτου 2 w 1861
τέως 1 w 1865
προσεχὴς 1 w 1874
δὲ 12 w 1876
τῷ 10 w 1878
ἐναντίῳ 1 w 1885
γίνεται 1 w 1892
καὶ 20 w 1896
2 w 1897
γένεσις 1 w 1904
δ 42 w 1905
αὐτοῦ 1 w 1911
ἐξ 2 w 1913
ἀμφοῖν 2 w 1919
μικτή 1 w 1924
τοὺς 4 w 1929
μὲν 7 w 1932
γὰρ 5 w 1935
τοῦ 14 w 1938
ἀρτιοπερίσσου 2 w 1951
γνώμονας 1 w 1959
ἐκθέσθαι 1 w 1967
δεῖ 1 w 1970
πάντας 1 w 1976
ἑξῆς 1 w 1980
ἀπὸ 4 w 1983
τριάδος 1 w 1990
τοὺς 5 w 1995
δὲ 13 w 1997
ἀρτιάκις 8 w 2005
ἀρτίους 1 w 2012
αὐτοὺς 1 w 2018
ἐπὶ 1 w 2021
ἑαυτῶν 1 w 2027
καὶ 21 w 2030
γνώμονες 1 w 2038
ἀπὸ 5 w 2041
τετράδος 1 w 2049
τάξει 1 w 2054
καὶ 22 w 2058
ὁποτερωθενοῦν 1 w 2071
ἀδιάφορον 1 w 2081
γάρ 2 w 2084
τῷ 11 w 2087
πρώτῳ 1 w 2092
τὴν 1 w 2095
προτέραν 1 w 2103
ἔκθεσιν 1 w 2110
καθ 2 w 2113
ἕκαστον 1 w 2121
ἐξ 3 w 2123
ἀρχῆς 1 w 2128
μηκυντέον 1 w 2137
μέχρι 4 w 2142
τις 1 w 2145
θέλει 1 w 2150
εἶτα 1 w 2155
τῷ 12 w 2157
δευτέρῳ 2 w 2164
πάλιν 1 w 2169
τοὺς 7 w 2173
αὐτοὺς 2 w 2179
καὶ 23 w 2182
μετὰ 1 w 2186
ταῦτα 1 w 2191
τῷ 13 w 2193
τρίτῳ 2 w 2198
εἶτα 2 w 2203
πάλιν 2 w 2208
τῷ 14 w 2210
τετάρτῳ 1 w 2217
καὶ 24 w 2221
ἐπ 3 w 2223
ἄπειρον 1 w 2231
ἐὰν 5 w 2235
μὲν 8 w 2238
γὰρ 6 w 2241
τοῖς 4 w 2245
τοῦ 15 w 2248
ἅπαξ 4 w 2252
διαιρετοῦ 1 w 2261
γνώμοσιν 1 w 2269
οἱ 2 w 2271
τοῦ 17 w 2274
ἑτέρου 1 w 2280
πολυπλασιασθῶσι 1 w 2295
γενήσονται 1 w 2306
πρῶτον 1 w 2312
μὲν 9 w 2315
ὀγδοάδι 1 w 2322
ἀλλήλων 1 w 2329
διαφέροντες 1 w 2340
διπλάσιοι 1 w 2350
ἄρτιοι 1 w 2356
περισσῶν 1 w 2364
ἐπίπλαστος 1 w 2375
περισσάρτιοι 1 w 2387
εὔτακτοι 1 w 2395
εὐτάκτων 1 w 2403
εἶτ 4 w 2407
ἀπ 8 w 2410
ἄλλης 1 w 2416
ἀρχῆς 2 w 2421
οἱ 3 w 2423
αὐτῶν 5 w 2428
τούτων 1 w 2434
διπλάσιοι 2 w 2443
τῶν 12 w 2446
ἐξ 4 w 2448
ἀρχῆς 3 w 2453
τετραπλάσιοι 1 w 2465
τετραπλασίᾳ 1 w 2477
πρὸς 2 w 2481
ἐκείνους 2 w 2489
χρώμενοι 1 w 2497
διαφορᾷ 1 w 2504
πρὸς 3 w 2509
δὲ 14 w 2511
τοὺς 9 w 2515
πρὸ 4 w 2518
αὐτῶν 6 w 2523
ἀναγκαίως 1 w 2532
διπλασίᾳ 1 w 2540
καὶ 25 w 2544
τοῦτο 1 w 2549
δι 16 w 2551
ὅλου 1 w 2556
ἀναλόγως 1 w 2564
καὶ 26 w 2567
τοῦ 19 w 2570
μήκους 1 w 2576
ὑποφαινομένου 1 w 2589
ἐὰν 6 w 2593
δὲ 15 w 2595
ἔμπαλιν 1 w 2602
τοῖς 5 w 2606
τοῦ 20 w 2609
ἀρτιάκις 9 w 2617
ἀρτίου 7 w 2623
οἱ 4 w 2625
τοῦ 21 w 2628
ἀρτιοπερίσσου 3 w 2641
τὰ 5 w 2644
μὲν 10 w 2647
αὐτὰ 1 w 2651
συμβήσεται 1 w 2661
μεταστήσεται 1 w 2674
δὲ 16 w 2676
εἰς 2 w 2679
ἄλληλα 1 w 2685
τὸ 22 w 2687
μῆκος 1 w 2692
καὶ 27 w 2695
τὸ 23 w 2697
πλάτος 1 w 2703
ὡς 1 w 2706
ἐν 6 w 2708
ἀμοιβῇ 1 w 2714
ἵνα 1 w 2718
μέντοι 1 w 2724
προδηλότερον 2 w 2736
ἠγνοηκὼς 1 w 2744
9 w 2745
Εὐκλείδης 2 w 2754
ταῦτα 2 w 2759
φανῇ 1 w 2763
παρατηρητέον 1 w 2776
καὶ 28 w 2779
κατὰ 2 w 2783
τὰς 1 w 2786
ἐπὶ 2 w 2789
πλέον 1 w 2794
ἐκθέσεις 1 w 2802
ἔν 1 w 2804
τε 17 w 2806
μήκει 1 w 2811
καὶ 29 w 2814
πλάτει 1 w 2820
τὰ 9 w 2822
ἀμφοτέροις 1 w 2832
ἐκείνοις 1 w 2840
συμβεβηκότα 2 w 2851
ἅμα 3 w 2854
τούτῳ 1 w 2859
ὑπάρχοντα 1 w 2868
μόνῳ 1 w 2872
ὡς 2 w 2874
ἂν 1 w 2876
μίγματι 1 w 2883
αὐτῶν 7 w 2888
τῇ 2 w 2891
γὰρ 7 w 2894
γεωμετρικῇ 1 w 2904
ἀναλογίᾳ 1 w 2912
χρήσεται 1 w 2920
ὡς 3 w 2922
10 w 2923
ἀρτιάκις 10 w 2931
ἄρτιος 6 w 2937
τὸ 24 w 2939
ὑπὸ 7 w 2942
ποιῶν 1 w 2947
τῶν 15 w 2950
ἄκρων 1 w 2955
ἴσον 1 w 2959
τῷ 15 w 2961
ἀπὸ 6 w 2964
τοῦ 22 w 2967
μέσου 3 w 2972
5 w 2973
ὑπὸ 8 w 2976
τῶν 16 w 2979
μέσων 1 w 2984
παρὰ 4 w 2988
τὴν 2 w 2991
τῆς 2 w 2994
ἐκθέσεως 1 w 3002
ποσότητα 1 w 3010
τῇ 3 w 3013
δὲ 17 w 3015
ἀριθμητικῇ 1 w 3025
ἴσα 1 w 3028
συναμφότερα 1 w 3039
τὰ 10 w 3041
περιέχοντα 1 w 3051
τὸ 25 w 3053
μέσον 1 w 3058
6 w 3059
τὰ 11 w 3061
μέσα 1 w 3065
ἀποτελῶν 1 w 3073
7 w 3075
δὶς 2 w 3078
τῷ 16 w 3080
ἑνὶ 1 w 3083
8 w 3084
ἅπαξ 5 w 3088
τοῖς 6 w 3092
δυσίν 1 w 3097
οὕτως 3 w 3103
ἐν 7 w 3105
ἅπασι 1 w 3110
κοινῶς 2 w 3116
ἀμφοῖν 3 w 3122
καὶ 30 w 3125
ὡσανεὶ 1 w 3131
ἔκγονος 1 w 3138
οὗτος 1 w 3143
δείκνυται 1 w 3152
ἀντικειμένων 1 w 3165
ἀλλήλοις 1 w 3173
τῶν 17 w 3176
προελθόντων 1 w 3187
τοῦ 23 w 3190
ἀρτίου 8 w 3196
εἰδῶν 1 w 3201
οὐ 3 w 3204
πάντῃ 1 w 3209
διαφέρων 1 w 3217
ἑκατέρου 1 w 3225
οὔτε 1 w 3229
πάντῃ 2 w 3234
11 w 3235
αὐτὸς 4 w 3240
ὤν 1 w 3242
εὐθυντέον 1 w 3252
δὴ 2 w 3254
τοὺς 10 w 3258
Εὐκλείδου 2 w 3267
ὅρους 1 w 3272
καὶ 31 w 3275
λεκτέον 1 w 3282
ὅτι 2 w 3285
12 w 3286
μόνον 4 w 3291
ὑπ 15 w 3293
ἀρτίου 9 w 3300
περισσάκις 5 w 3310
ἀρτιοπέρισσος 3 w 3323
13 w 3325
δ 71 w 3326
οὐδέποτε 1 w 3335
μόνον 5 w 3340
θάτερον 2 w 3347
ἀλλ 6 w 3350
ἀμφότερα 1 w 3359
ἐξ 5 w 3361
ἀνάγκης 1 w 3368
ἀεὶ 1 w 3371
ἔχων 2 w 3375
ὅπερ 1 w 3379
οὐδέτερος 1 w 3388
ἐκείνων 1 w 3395
περισσάρτιος 2 w 3408
76 w 3410
μφότεροι 1 w 3419
δὲ 18 w 3421
ἅμα 4 w 3424
κρᾶμα 2 w 3429
εὐλόγως 1 w 3436
ἀμφοτέρων 2 w 3445
τῇ 4 w 3447
τοῦ 24 w 3450
λοιποῦ 1 w 3456
μετοχῇ 1 w 3462
τοῦ 25 w 3465
ἑτέρου 2 w 3471
ἀφιστάμενοι 1 w 3482
Τοῦ 1 w 3486
δὲ 19 w 3488
περισσοῦ 3 w 3496
ἀριθμοῦ 3 w 3503
πάλιν 3 w 3508
καθ 3 w 3511
ὑποδιαίρεσιν 1 w 3524
τὸ 27 w 3526
μέν 7 w 3529
ἐστι 5 w 3533
πρῶ 2 w 3536
τον 5 w 3539