Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (21-25)

ὑπερέχει ὁ θʹ καὶ πλεονεκτεῖ, τοσούτῳ λείπεται ὁ πρῶτος· ὅσῳ δὲ ὁ ηʹ, 〈τοσούτῳ〉 ὁ δεύτερος· καὶ ὅσῳ ὁ ζʹ, τοσούτῳ ὁ γʹ· καὶ ὅσῳ ὁ ϛʹ, τοσούτῳ ὁ δʹ· τῇ γὰρ ἐπὶ τὸ μέσον βραχὺ ἐγγύτητι ὥσπερ ἐπὶ ἀορτὴν ζυγικοῦ πήχεος ἀπίσωσις ὑποφύεται, ὡς κἀκεῖ ὀρθότητος γωνιῶν, τῶν τε πρὸς τὸν πῆχυν τῶν πλαστίγγων καὶ τῶν τοῦ πήχεος πρὸς αὐτὸν τὸν ἀορτήν. ὁ δὲ μέσος ὁ εʹ τοσούτῳ λείπεται ὅσῳ πλεονάζει· οὐδενὶ ἄρα. καὶ μία μὲν ἔμφασις ἥδε τοῦ οὐδὲν ὅτι χρήσιμον ἐν τῇ θεωρίᾳ, καὶ ἄλλη δὲ εὐθὺς ἀναφαίνεται. οὐ γὰρ μόνον συνᾴδει τὸ καὶ τῷ σχήματι τοῦ χαρακτῆρος εἶναι τὸ εʹ τὸ ἥμισυ τοῦ θʹ, ἀλλὰ καὶ ἔτι διὰ τὴν συγγένειαν ὁμοκατάληκτα

φύσει εἶναι τὰ συζύγως ἑκατέρωθεν αὐτοῦ· ἐνάκι γὰρ θʹ τῷ ἅπαξ αʹ, ὀκτάκι δὲ ὀκτὼ τῷ δὶς δύο, ἑπτάκι δὲ ἑπτὰ τῷ τρὶς γʹ, ἑξάκι δὲ ἓξ τῷ τετράκι δʹ, μόνον δὲ αὐτὸ ἑαυτῷ τὸ πεντάκις πέντε. ἔτι τὸ μὲν ἐνάκι εʹ τῷ ἅπαξ εʹ, τὸ δὲ ἐνάκι ϛʹ τῷ ἅπαξ δʹ, τὸ δὲ ἐνάκι ζʹ τῷ ἅπαξ γʹ, τὸ δὲ ἐνάκι ὀκτὼ τῷ ἅπαξ δύο. καὶ πάλιν τὸ ὀκτάκις ζʹ τῷ δὶς γʹ καὶ τὸ ὀκτάκις ϛʹ τῷ δὶς δʹ 〈καὶ τὸ ὀκτάκις εʹ τῷ δὶς εʹ〉 καὶ τὸ ἑπτάκις ϛʹ τῷ τρὶς δʹ 〈καὶ τὸ ἑπτάκις εʹ τῷ τρὶς εʹ〉. καὶ ἄλλως τὸ μὲν ἑξάκι εʹ τῷ τετράκι εʹ, εἰ καὶ μὴ τῷ ὀνόματι ἀλλά γε τῇ δυνάμει, ὥσπερ καὶ

τὸ ἥμισυ τῷ δύο ἀντιπαρωνυμεῖν δυνάμει, ἀλλ’ οὐκ ὀνόματι. εἰ δὴ παρὰ τῶν πλεονεκτούντων τοῖς πλεονεκτουμένοις, ὥσπερ κριταὶ δίκαιοι καὶ τοῦ ἴσου καὶ ἐπιβάλλοντος ἀποδοτικοί, λαμβάνοντες ἀποδιδοῖμεν, οὐκ εἰκῇ παρὰ τοῦ τυχόντος λαβόντες τῷ τυχόντι ἀποδώσομεν, ἀλλὰ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν, γνώμονι χρώμενοι καὶ οἷον κανόνι τῷ μήτε πλεονεκτήσαντι μήτε πλεονεκτηθέντι, τουτέστι τῇ πεντάδι· οὗτος γὰρ μόνος δικαίως τὸ ἑαυτοῦ πλῆρες ἔχει. ἀπὸ τοῦ οὖν ἐννέα τὸν ἀπ’ αὐτοῦ πέμπτον λαβόντες τῷ αʹ δώσομεν, καὶ ἰσωθήσονται ὁ πλεῖστον ἀδικήσας καὶ ὁ πλεῖστον ἀδικηθείς· πέμπτον δὲ ἀπὸ τοῦ θʹ τὰ τέσσαρα· ἔστι γὰρ ηʹ ζʹ ϛʹ εʹ δʹ. πάλιν ἀπὸ τοῦ ηʹ προσθήσομεν τῷ δύο ἀφελόντες γʹ· ἀπὸ τοῦ ηʹ πέμπτον γὰρ τὰ γʹ. καὶ ἀπό τοῦ ζʹ ἀφελόντες

τὸν ἀπ’ αὐτοῦ πέμπτον τὰ βʹ, προσθήσομεν τῷ τρία, καὶ ἰσωθήσονται. καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ ϛʹ ἀφελόντες τὸν ἀπ’ αὐτοῦ πέμπτον τὸ ἕν, προσθήσομεν τῷ δʹ, καὶ ἔσονται ἴσοι. ἀπὸ δὲ τοῦ πέντε ἀφελόντες οὐδέν (τὸ ἀπ’ αὐτοῦ πέμπτον γὰρ [α] τὸ οὐδέν), προσθήσομεν αὐτῷ, καὶ ἔσται ἑαυτῷ ἴσος. οὕτως τὸ νοούμενον ἔλαττον, μονάδος ἀδιαιρέτου οὔσης, τὸ οὐδέν, πανταχοῦ σῴζει πρὸς τὴν μονάδα τὴν ἀναλογίαν, μᾶλλον ἢ ὅπερ ἐκεῖνοι ἐνόμιζον ἥμισυ, καὶ γέγονεν ἡ μονὰς καὶ αὐτὴ τῶν παρ’ ἑκάτερα συντεθέντων ἡμίσεια· τοῦ γὰρ δύο καὶ τοῦ οὐδὲν ἥμισυ τὸ ἕν. αὐτὸ μέντοι τὸ τοῦ οὐδὲν

ἵστησιν, ἀλλὰ πάντως τρίτον τινὰ ἀπογεννᾷ· τὸ δὲ οὐδὲν εἴτε ἑαυτὸ εἴτε ἄλλο δόξειε πολυπλασιάζειν αὐτὸ οὐδέποτε ἐκβήσεται· οὐδενάκι γὰρ οὐδέν, καὶ οὐδενάκι θʹ, οὐδέν· ἴσον γὰρ τῷ οὐδαμῶς θʹ· καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως. ἡ δὲ μονάς, ὡς ἀμφοῖν μέση, ἐὰν μὲν ἄλλον λάβῃ, ἐν ἐκείνῳ τὸν λόγον, ἐὰν δὲ ἑαυτήν, ἐν ἑαυτῇ ἀπολείπει. καὶ ἔτι προσθετέον μετὰ τῶν προσεμφανισθέντων ὅτι ἀντιπεριίσταται προκοπὴ ὑποβάσει καὶ ὑπόβασις προκοπῇ. ἅπαξ γοῦν ἐννέα, ἐννέα· καὶ ὁ λόγος ἔμεινεν ἐν ταῖς ἀκροτάταις. καὶ δὶς θʹ, ιηʹ· καὶ μετέβη ὁ λόγος εἰς τὰς δευτέρας ἀκρότητας, καὶ τοῦτο ἐφεξῆς. ἑτέρου γὰρ καιροῦ διερευνᾶν ἐπιπλέον πῶς καὶ τετραγωνισθέντος ἀπὸ τῆς στιχηδὸν ἐκθέσεως τοῦ ἀριθμοῦ οὐκ ἐλάττονα πιθανὰ ἐπισυμβαίνει φύσει καὶ οὐ νόμῳ, ὥς φησί που Φιλόλαος· τοῦ μὲν πέντε ὁμοίως καὶ ἐνταῦθα μεσότητος εὑρισκομένου κατὰ τοὺς τρεῖς ἄλλοτε ἄλλως στίχους, μόνον δὲ τῶν ἐφεπομένων αὐτοῦ κατά τε