Περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς (11-15)

μονάδων σύστημα ὡρίσατο (κατὰ τὸ Αἰγυπτιακὸν ἀρέσκον, ὅπου περ καὶ ἐφιλομάθησε)· τὸ δὲ ἀριθμητικὸν ἓν ἰδίων οὐχ ὑποπεσεῖται οὖν οὔτε μονὰς οὔτε τὸ ἓν τοῖς ὅροις. Πυθαγόρας δὲ ἔκτασιν καὶ ἐνέργειαν τῶν ἐν μονάδι σπερματικῶν λόγων, ἢ ἑτέρως τὸ πρὸ πάντων ὑποστὰν ἐν θείῳ νῷ ἀφ οὗ καὶ ἐξ οὗ πάντα συντέτακται καὶ μένει τάξιν ἄλυτον διηριθμημένα. ἕτεροι δὲ τῶν ἀπ’ αὐτοῦ προποδισμὸν ἀπὸ μονάδος μεγέθει αὐτῆς. Εὔδοξος δὲ ὁ Πυθαγόρειος ἀριθμός ἐστιν εἶπε πλῆθος ὡρισμένον διαστείλας εἶδος καὶ γένος, ὡς ἐν τοῖς ἀνωτέροις τὸ ποσὸν διεκρίθη. οἱ δὲ περὶ Ἵππασον ἀκουσματικοὶ ἀριθμὸν εἶπον παράδειγμα πρῶτον κοσμοποιίας, καὶ πάλιν κριτικὸν κοσμουργοῦ θεοῦ ὄργανον. Φιλόλαος δέ φησιν ἀριθμὸν εἶναι τῆς τῶν κοσμικῶν αἰωνίας διαμονῆς τὴν κρατιστεύουσαν καὶ αὐτογενῆ συνοχήν.

Μονὰς δέ ἐστι ποσοῦ τὸ ἐλάχιστον ἢ ποσοῦ τὸ πρῶτον καὶ κοινὸν μέρος ἢ ἀρχὴ ποσοῦ· ὡς δὲ Θυμαρίδας περαίνουσα ποσότης, ἐπεὶ ἑκάστου καὶ ἀρχὴ καὶ τέλος πέρας

καλεῖται, ἔστι δὲ ὧν καὶ τὸ μέσον, ὥσπερ ἀμέλει κύκλου καὶ σφαίρας. οἱ δὲ νεώτεροι καθ’ ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται· ἔλειπε δὲ τῷ ὅρῳ τούτῳ τὸ κἂν συστηματικὸν ᾖ. συγκεχυμένως δὲ οἱ Χρυσίππειοι λέγοντες μονάς ἐστι πλῆθος ἕν· μόνη γὰρ αὕτη ἀντιδιέσταλται τῷ πλήθει. τινὲς δὲ τῶν Πυθαγορείων μονάς ἐστιν’ εἶπον ἀριθμοῦ καὶ μορίων μεθόριον· ἀπ’ αὐτῆς γάρ, ὡς ἀπὸ σπέρματος καὶ ἀιδίου ῥίζης, ἐφ’ ἑκάτερον ἀντιπεπονθότως αὔξονται οἱ λόγοι, τῶν μὲν ἐπ’ ἄπειρον τεμνομένων μειούμενοι μεγαλωνυμώτερον ἀεί, τῶν δὲ ἐπ’ ἄπειρον αὐξομένων ἔμπαλιν μεγεθυνόμενοι. τινὲς δὲ ὡρίσαντο μονάδα εἰδῶν εἶδος, ὡς δυνάμει πάντας περιέχουσαν τοὺς ἐν ἀριθμῷ λόγους. καὶ γὰρ πολύγωνος ἐν ἐπιπέδῳ ἀπὸ τριγώνου μέχρι ἀπείρου, καὶ στερεὰ πᾶσιν εἴδεσιν ἐπιφαινομένη, καὶ σφαιρικὴ καὶ κωνική, ἀποκαταστική τε καὶ πλευρικὴ καὶ διαμετρικὴ καὶ τὸ κοινότατον ἑτερομήκης, ὅταν ἀφ’ ἑαυτῆς γενομένης μείζονος ἔννοια δυνάμει παράσχῃ, καὶ ἀναλογικὴ καὶ σχετικὴ κατὰ τὰς δέκα σχέσεις,

καὶ ποικίλως ἄλλως, ὁσαχῶς ὑποδειχθήσεται. μονὰς δὲ ἀπὸ τοῦ τῷ αὐτῆς τε λόγῳ δι’ ὅλου ἐπιμένειν. καὶ τἄλλα δὲ ὅσα ἂν ὑπ’ αὐτῆς οὕτω λογωθῇ.

Πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς τοῦ ποσοῦ κατὰ πρώτην 〈τομὴν〉 τὸ μέν ἐστιν ἄρτιον, τὸ δὲ περισσόν. ἄρτιον μὲν τὸ μερῶν ἴσων ἀφ’ ἑαυτοῦ παρεκτικόν, μεγίστων τε καὶ ἐλαχίστων· μεγίστων μὲν πηλικότητι καὶ τῇ πρὸς τὸ ὅλον σχέσει, ὅτι εἰς ἡμίση, ἐλαχίστων δὲ ποσότητι, ὅτι εἰς δύο (τῶν γὰρ δύο ἐλάττονα φύσει οὐκ ἔστιν, εἴπερ οὐδὲ τῆς δυάδος ἀριθμὸς ἐνδοτέρω· πρώτη γὰρ αὕτη μονάδων σύστημα, ὅσπερ γενικοῦ ὅρος ἀριθμοῦ)· περισσὸν δὲ τὸ πάντως, ὅταν εἰς τὰ ἐλάχιστα διαιρῆται, ἄνισα τὰ μέρη ἀλλήλοις παρέχον. οὐ γὰρ διχῇ εἰς ἴσα μεριστόν· ἀναιρετικὸν γὰρ ἔσται τοῦτο τῆς φύσει ἀτόμου μονάδος εἰς τὴν σύμπασαν τεχνολογίαν καὶ φυσιολογίας τοιαύτας χρησιμευούσης. ἐπεὶ δὲ ὁ μὲν ἄρτιος διαιρούμενος ὁπωσοῦν ἢ ἴσα ἢ καὶ ἄνισα, εἰς ὁμογενῆ πάντως λύεται· ἢ γὰρ ἄρτια ἢ περιττὰ ἀμφότερα· ὁ δὲ περισσός, εἰς ἄλλα ἀμφότερα τὰ

τοῦ ἀριθμοῦ μήκη· ἑτερομήκη μὲν ἐκ τοῦ κατασυμβεβηκότος κατὰ τὸ σημαινόμενον τὸν ἄρτιον ἐπωνόμαζον οἱ ἀπὸ τοῦ διδασκαλείου, ὡς τὸ ἕτερον μόνον τῶν τοῦ ἀριθμοῦ μηκῶν ἐν τοῖς μερισμοῖς ἔχοντα· ἀντιδιεσταλμένως δὲ τούτῳ ἀμφιμήκη τὸν περισσὸν τὸν ἀμφότερα ὁμοῦ παρεχόμενον ταῦτα. καὶ δι’ ἀλλήλων δ’ ἂν γνωρισθείησαν ἐν τῇ φυσικῇ τοῦ ἀριθμοῦ ἐκθέσει, ἄρτιος μὲν ὁ μονάδι ἐφ’ ἑκάτερον διαφέρων περισσοῦ, περισσὸς δὲ ὁ τῷ αὐτῷ ἀρτίου. εἰδοποιεῖται δὲ καθ’ ἑκάτερον γένος ἰδίως τε καὶ συμβεβηκότως·

αὐτὴ φανήσεται· πηλίκῳ μέν, ἵνα ἀπ’ αὐτῆς ὡς ὅλου ἡ ἐπ’ ἄπειρον τομὴ ἄρχηται, ποσῷ δέ, ἵνα κατὰ ταὐτὰ ἡ ἐπ’ ἄπειρον αὔξησις ἀντιπαρεκτείνηται ὡς μονάδος· καὶ ὡς ὅλου μὲν ἥμισυ εἶτα τρίτον εἶτα τέταρτον εἶτα πέμπτον καὶ ἑξῆς μείζονα αἰεὶ καὶ μᾶλλον μέρη ἐναντίως τῇ τῶν ὀνομάτων αὐξήσει προ- χωρούσῃ, γίνεται· ὡς δὲ ἀπὸ μονάδος δυὰς εἶτα τριὰς εἶτα τετρὰς καὶ ἐφεξῆς μέχρι παντὸς προκοπή, κατὰ τὰ ὀνόματα ἡ αὔξησις καὶ ἀντιπαρωνυμίας γένεσις ποικίλης παρὰ τοῦτο ὑποφύηται, τῆς μονάδος ὑφισταμένης