Περί της κοινής μαθηματικής επιστήμης (8)

Δεῖ δὴ τὸ μετὰ τοῦτο καὶ περὶ τοῦ κριτηρίου πάντων τῶν μαθημάτων εἰπεῖν, ποῖόν γέ τί ἐστι καὶ τίνας ἔχει τὰς ἐν αὑτῷ διαφορὰς τῶν ἐνεργειῶν. ἄνωθεν οὖν ἀναλαβόντες ἀπὸ διαιρέσεως ποιησώμεθα τὴν ὅλην περὶ αὐτοῦ διδασκαλίαν.

Τὰ δὴ νοητὰ πάντα εἰς δύο διῄρηται, εἴς τε τὰ ἰδίως νοητὰ καλούμενα καὶ ἐπιστητά, καὶ εἰς τὰ διανοητά· καὶ πρῶτα μέν ἐστι τὰ νοητά, δεύτερα δὲ καὶ ὑποδεέστερα τὰ διανοητά. πάλιν δὲ ἀπὸ τούτων ἑτέρα οὐσία ἐστὶν ἡ τῶν αἰσθητῶν, τούτων δὲ τὰ μὲν ἰδίως ἐστὶν αἰσθητά, ἃ καὶ δοξαστά, τὰ δὲ εἰκαστά. δοξαστὰ μὲν καὶ ἰδίως αἰσθητὰ τὰ κατὰ μέρος σώματα, οἷον λίθοι ξύλα τὰ τέτταρα στοιχεῖα, ταῦτα δέ ἐστιν ἐν αἰσθητοῖς πρῶτα· μεθ’ ἃ ἀσθενῆ ἄλλα καὶ οὐχ ὅμοια, ἐπηκολουθηκότα δὲ τοῖς πρώτοις ἐστίν. ἔστι δὲ ταῦτα αἱ σκιαί· καὶ γὰρ αἱ σκιαὶ παρακολουθήματα τῶν σωμάτων, καὶ εἰ μὴ ἔχοιεν ἄλλο τι ὑποβεβλημένον σῶμα, οὐκ ἂν φανεῖεν. εἴδωλα οὖν αἱ σκιαὶ καὶ τὰ

ἐν ὕδασι καὶ κατόπτροις, ἐν ἄλλοις καὶ οὐ καθ’ αὑτὰ ὄντα, οὐδὲ ἄλλων δίχα φαινόμενα, ἀλλὰ εἰς ἄλλα σώματα πεπτωκότα, ὧν ὑποσπασθέντων οὐ φαίνεται. διὸ αἰσθητὰ μέν ἐστι τῷ γένει, ὅτι ὑπὸ αἴσθησιν πίπτει, εἰκαστὰ δὲ μᾶλλον καὶ πιστευτὰ ἢ ὑποστατά, κατὰ πίστιν λεγόμενα τὴν ἐπὶ τῶν μὴ ἀποδεικτικῶν, ἄλλως δὲ εἰς παραδοχὴν παραλαμβανομένων ἀπὸ τῆς τῶν προφερόντων πίστεως. καὶ γὰρ τὰ τῶν σκιῶν οὐκ ἀφ’ αὑτῶν ἔχει τὸ ἀντιληπτικόν, ἀπὸ δὲ τῶν σωμάτων εἰς ἃ πέπτωκε καὶ ἐν οἷς ἀναπαυόμενα φαίνεται. ἔχει οὖν τὸ ἀβέβαιον ἡ τοιαύτη πίστις· καὶ γὰρ ταῦτα εἰ ἀποσταίη τοῦ κατόπτρου ἢ ὕδατος ἢ ἐδάφους, οὐδὲν ἂν εἴη τὸ σύνολον. ὥστε καὶ τῶν σωμάτων δοξαστῶν ὄντων καὶ τὸ εἶναι ἐν τῷ δοκεῖν κεκτημένων, αἱ σκιαὶ ἔτι μᾶλλον ὑποβεβήκασι τῷ μὴ ἔχειν ἐξ ἑαυτῶν τὸ στερέμνιον, ἀλλ’ ἐπερείδεσθαι ἐπ’ ἄλλου. τούτοις δὴ ἔοικε καὶ τὰ διανοητά, λόγον ἔχοντα πρὸς τὰ ἐπιστητὰ καὶ νοητά, ὃν τὰ εἰκαστὰ πρὸς τὰ αἰσθητά τε καὶ δοξαστά. τάς τε γὰρ ἰδέας οἱονεὶ κατ’ ἐπαφὴν ἔχει ὁ νοῦς τὰ ὄντως ὄντα οὔσας, τὰ δὲ διανοητά, ἅπερ ἐστὶ τὰ γεωμετρικά, ὑπὸ τῆς διανοίας βλέπεται, οὐκέτι τῆς διανοίας αὐτοῖς κατ’ εὐθὺ καὶ οἷον κατ’ ἐπιβολὴν πελαζούσης, ἀλλὰ διὰ λόγου μᾶλλον τῆς ἐπ’ αὐτὰ γιγνομένης πελάσεως, καὶ οἷον ἀπὸ τῶν ἰδεῶν κατιόντων ὡς ἐπὶ εἰκάσματα [τὰ] ἐκείνων καὶ εἴδωλα νοητά· τά τε εἰκαστὰ καὶ ἐν ταῖς σκιαῖς ὑποβέβηκε παρὰ τὰ αἰσθητά, τῷ ἐκεῖνα μὲν καθ’ αὑτὰ ὑποπίπτειν τῇ αἰσθήσει κατ’ εὐθυωρίαν, τὰ δὲ ἐν ἄλλῳ καὶ ἐπ’ ἄλλῳ καὶ δι’ ἄλλο θεωρεῖσθαι. οὐ γὰρ δὴ καθ’ ἑαυτὴν ἡ σκιά, ἀλλ’ ἢ ἐν τῷ ἐδάφει αἰσθητῷ ὄντι καθ’ ἑαυτὸ ἢ ἐν τῷ κατόπτρῳ ἢ ἐν τοῖς ὕδασιν, ἅπερ ἦν καθ’ ἑαυτὰ αἰσθητά. οὕτως οὖν καὶ τὰ μαθηματικά, ὥσπερ ἐν ταῖς ἰδέαις ἔοικε φαντάζεσθαι, καὶ ἐπ’ ἐκείναις ἔχειν τὸ ἐπέρεισμα· οὐ γὰρ δεῖ ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν κατὰ ἀφαίρεσιν ἐπινοεῖσθαι αὐτά, ἀλλ’ ὑποβάντα ἀπὸ τῶν ἰδεῶν τὸ εἰδωλικὸν ἔχειν ἀπ’ ἐκείνων, τῷ προσειληφέναι καὶ μέγεθος καὶ ἐν διαστάσει φαντάζεσθαι. ὅπερ γὰρ ἐν τοῖς τῶν αἰσθητῶν εἰδώλοις τὸ ἀμενηνὸν καὶ καθ’ ἑαυτὸ ἀνεπέρειστον, τοῦτο ἐν τοῖς νοητοῖς τὸ ἔνογκον καὶ διαστατόν· ἀλλ’ ἐπεὶ καὶ τοῦτο σπεύδει πρὸς τὸ ἄογκον καὶ ἀμερές, ἐπαναπαύεσθαι ἔοικεν ἐν τῇ τῶν ἰδεῶν ἀμερείᾳ, ὡς αἱ σκιαὶ ἐν τῇ τῶν αἰσθητῶν ἀντιτυπίᾳ. ὥσπερ τοίνυν τὰ διανοητὰ τῶν νοητῶν κεχώρισται, οὕτω καὶ ἡ διάνοια τῆς νοήσεως. διόπερ καὶ Βροτῖνος ἐν τῷ Περὶ νοῦ καὶ διανοίας χωρίζων αὐτὰ ἀπ’ ἀλλήλων τάδε λέγει· ‛ἁ δὲ διάνοια τῶ νῶ μεῖζόν ἐστι, καὶ τὸ διανοατὸν τῶ νοατῶ· ὁ μὲν γὰρ νόος ἐστὶ τό τε ἁπλόον καὶ τὸ ἀσύνθετον καὶ τὸ πρᾶτον νοέον καὶ τὸ νοεόμενον (τοιοῦτον δ’ ἐστὶ τὸ εἶδος· καὶ γὰρ ἀμερὲς καὶ ἀσύνθετον καὶ πρᾶτόν ἐστι τῶν ἄλλων), ἁ δὲ διάνοια τό τε πολλαπλόον καὶ μεριστὸν καὶ τὸ δεύτερον νοέον (ἐπιστάμαν γὰρ καὶ λόγον τὸν προσείληφε), παραπλησίως δὲ καὶ τὰ διανοατά, ταῦτα δ’ ἐντὶ τὰ ἐπιστατὰ καὶ τὰ ἀποδεικτὰ καὶ τὰ καθόλω τὰ ὑπὸ τῶ νόω διὰ τῶ λόγω καταλαμβανόμενα.’ ἐν δὴ τούτοις μεῖζον μὲν λέγει τὴν διάνοιαν καὶ τὸ διανοητόν, οὐ τῇ δυνάμει ἀλλὰ τῷ πλήθει (ἐναντίως δ’ ἔχει ταῦτα πρὸς ἄλληλα), ἀφορίζεται δὲ αὐτὰ ἀπὸ τοῦ νοῦ καὶ τῶν νοητῶν οὐ τούτοις μόνον, ἀλλὰ καὶ τῷ τὰ μὲν ἁπλᾶ εἶναι καὶ ἀσύνθετα τὰ δὲ πολυειδῆ καὶ σύνθετα, καὶ διότι τὰ μὲν πρώτως νοεῖ καὶ νοεῖται τὰ δὲ δευτέρως καὶ παρ’ ἐκείνων λαμβάνοντα τὴν τούτων ἐνέργειαν, καὶ τὰ μὲν ἐν εἴδεσιν ἐνέστηκε τὰ δὲ ἐν λόγοις πολλαπλῆν ποιεῖται τὴν ἐνέργειαν, καὶ τὰ μέν ἐστιν ἀμέριστα τὰ δὲ μεριστά, καὶ τὰ μὲν κρείττον ἀποδεικτικοῦ συλλογισμοῦ τὰ δὲ συλλογίζεταί τι περὶ τῶν ὄντων, καὶ τὰ μὲν αὐτά ἐστι τὰ ὄντα τὰ δὲ ἐν τοῖς καθόλου περιείληφε καὶ συνεμφαίνει τὰ καθ’ ἕκαστον, καὶ τὰ μὲν ἀύλοις καὶ καθαραῖς ἐνεργείαις χρῆται τὰ δὲ συμμεμιγμένην ἔχει τὴν νόησιν· τῷ γὰρ νῷ διὰ τοῦ λόγου καταλαμβάνει τὰ οἰκεῖα γνωστά, ἢ τῷ νῷ μετὰ τοῦ λόγου. συμβαίνει δὴ οὖν ἐκ τούτων τά τε κρινόμενα πράγματα καὶ τὰ κριτήρια αὐτῶν διεστηκέναι ἀπ’ ἀλλήλων, ὡς τὰ μὲν διανοητὰ τῶν νοητῶν διαφέρειν, τὴν δὲ διάνοιαν τοῦ νοῦ.

Ἔτι δὲ σαφέστερον Ἀρχύτας ἐν τῷ Περὶ νοῦ

καὶ αἰσθήσεως διακρίνει τὰ κριτήρια τῶν ὄντων, καὶ τὸ τῶν μαθηματικῶν οἰκειότατον κριτήριον παρίστησι διὰ τούτων· ‛ἐν ἁμῖν’ γὰρ ‛αὐτοῖς’, φησί, ‛κατὰ ψυχὰν γνώσιές εἰσι τέσσαρες, νόος ἐπιστάμα δόξα αἴσθησις, ὧν αἱ μὲν δύο τοῦ λόγου ἀρχαί ἐντι, οἷον νόος αἴσθασις, τὰ δὲ δύο τέλη, οἷον ἐπιστάμα καὶ δόξα· τὸ δ’ ὅμοιον ἀεὶ τοῦ ὁμοίου γνωστικόν. φανερὸν ὦν ὅτι ὁ μὲν νόος ἐν ἁμῖν τῶν νοατῶν γνωστικόν, ἁ δὲ ἐπιστήμη τῶν ἐπιστατῶν, ἁ δὲ δόξα τῶν δοξαστῶν, ἁ δὲ αἴσθασις τῶν αἰσθατῶν· διόπερ ὦν δεῖ μεταβαίνεν ἀπὸ μὲν τῶν αἰσθατῶν ἐπὶ τὰ δοξαστὰ τὰν διάνοιαν, ἀπὸ δὲ τῶν δοξαστῶν ἐπὶ τὰ ἐπιστατά, καὶ ἀπὸ τούτων ἐπὶ τὰ νοατά· ταῦτα δὲ σύμφωνα ποιητά, θεωρούμενα δι’ αὐτῶν ἀλάθεα. διωρισμένων δὲ τούτων τὰ μετὰ ταῦτα δεῖ νοῆσαι. καθάπερ γὰρ γραμμὰν δίχα τετμαμένην καὶ ἴσα πάλιν ἑκατέρων τμήματα τετμαμένα ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον, καὶ οὕτω διῃρήσθω καὶ τὸ νοατὸν ποττὸ ὁρατόν, καὶ πάλιν ἑκάτερον οὕτως διωρίσθω, καὶ διαφέρεν σαφηνείᾳ τε καὶ ἀσαφείᾳ ποττἆλλα· τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον τῶ μὲν δὴ αἰσθατῶ τὸ μὲν ἅτερον τμῆμά ἐστι τά τε εἴδωλα τὰ ἐν τοῖς ὕδασι καὶ ἐν τοῖς κατόπτροις, τὸ δ’ ἕτερον μέρος, ὧν ταῦτα εἰκόνες, φυτὰ καὶ ζῷα· τῶ δὲ νοατῶ τὸ μὲν ἀνάλογον ἔχον ὡς αἱ εἰκόνες τὰ περὶ τὰ μαθήματα γένη ἐντί· οἱ γὰρ περὶ τὰν γαμετρίαν ὑποθέμενοι τό τε περισσὸν καὶ τὸ ἄρτιον καὶ σχάματα καὶ γωνιᾶν τρισσὰ εἴδεα, ἐκ τούτων πραγματεύονται τὰ λοιπά, τὰ δὲ πράγματα ἐῶντι ὡς εἰδότες, λόγον τε οὐκ ἔχοντι διδόμεν οὔτ’ αὐτ〈αύτ〉οις οὔτ’ ἄλλοις· ἀλλὰ τοῖς μὲν αἰσθατοῖς, ὡς εἰκός, χρῶνται, ζατοῦντι δὲ οὐ ταῦτα, οὐδὲ τούτων ἕνεκα ποιεῦνται τὼς λόγως, ἀλλὰ τᾶς διαμέτρω χάριν καὶ αὐτῶ τετραγώνω. τὸ δ’ ἅτερον τμᾶμά ἐντι τῶ νοατῶ, περὶ ὃ διαλεκτικὰ κατασχόληται· αὐτὰ γὰρ τῷ ὄντι τὰς ὑποθέσιας [ἀλλ’] ὑποθέσιας, ἀλλ’ ἀρχάς τε καὶ ἐπιβάσιας ποιεῖται 〈, ἵνα〉 μέχρι τῶ ἀνυποθέτω ἐπὶ παντὸς ἀρχὰν ἔλθῃ, καὶ πάλιν ἐχομένα καταβᾷ ἐπὶ τὰν τελευτὰν οὐδενὶ προσχρωμένα αἰσθατῷ, ἀλλ’ εἰδέεσσιν αὐτοῖς δι’ αὑτῶν. ἐπὶ δὲ τέτταρσι τούτοις τμάμασι καλῶς ἔχει διανέμεν καὶ τὰ πάθεα τᾶς ψυχᾶς· καὶ καλέσαι νόασιν μὲν ἐπὶ τῷ ἀκροτάτῳ, διάνοιαν δὲ ἐπὶ τῷ δευτέρῳ, ἐπὶ δὲ τῷ τρίτῳ πίστιν, εἰκασίαν δὲ ἐπὶ τῷ τετάρτῳ.’

Οἶμαι τοίνυν καὶ διὰ τούτων κατάδηλον γεγονέναι,

ὡς τέσσαρες μέν εἰσι διαφοραὶ τῶν ὄντων, τέτταρες δὲ τῆς κρίσεως ἀρχαί, καὶ ὡς ὁ λόγος μέσην ἔχων ἐφάπτεται τῶν δύο ἄκρων, νοητῶν τε καὶ αἰσθητῶν, ἐν τέλους τάξει πρὸς τὸν νοῦν καὶ τὴν αἴσθησιν καθιστάμενος ὡς ἀρχὰς οὔσας ἑαυτοῦ καὶ ὑπ’ αὐτῶν ἀποτελούμενος. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο ἀξίωμα κοινὸν περὶ πάσης γνωριστικῆς δυνάμεως, ὡς τῷ ὁμοίῳ τὰ ὅμοια γιγνώσκεται. ἔνεστιν οὖν καὶ ἀπ’ ἀμφοτέρων ἀμφότερα καὶ ἀπὸ τῶν ἑτέρων τὰ ἕτερα τούτων καταμανθάνειν, τάς τε ἴσας διαιρέσεις κοινῶς τε καὶ ἰδίως οἷόν τε ἐπ’ αὐτῶν ποιεῖσθαι, τάξιν τε μεταβάσεως ἀπὸ τῶν ἑτέρων ἐπὶ τὰ ἕτερα, τουτέστιν ἀπὸ τῶν καταδεεστέρων ἐπὶ τὰ ἀνωτέρω· καὶ ἀναγωγὴν πάντων καὶ σύνταξιν ἐπὶ τὸν νοῦν ὅπως δεῖ ποιεῖσθαι διώρικε. τὸ δὴ μετὰ τοῦτο τὴν γραμμὴν κατατέμνει, μίαν μὲν οὖσαν, ἵνα ὡς ἓν τὸ γνωριστικὸν ὑπολάβωμεν, δίχα δὲ ταύτην διαιρεῖ κατὰ τὰς πρώτας διαφορὰς τῶν ὄντων καὶ τὰς ἐπ’ αὐτοῖς διχῇ διῃρημένας κρίσεις. ἴσας δὲ αὐτὰς τίθεται κατὰ τὴν τῶν λόγων μετουσίαν καὶ τῶν εἰδῶν καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν μετεχόντων πρὸς τὰ μετεχόμενα, καὶ διότι ἡ ἀναλογία ἡ αὐτή πώς ἐστιν ἐπ’ ἀμφοτέρων. πάλιν δ’ ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον διαιρεῖ, ἐπειδὴ δι ὅλου ἡ γνωστικὴ δύναμις ὁμοειδής ἐστι πρὸς ἑαυτήν, τάς τε διαφορὰς αὐτῆς ποιεῖται σαφηνείᾳ τε καὶ ἀσαφείᾳ καὶ τῷ τελέως ὡρίσθαι ἢ τῷ ἐνδεῶς, πρὸς ἄλληλά τε αὐτῶν τὴν διάκρισιν ἐπιδείκνυσι, κατὰ τί παραλλάττει καὶ ὑποδεέστερά ἐστι τὰ δεύτερα τῶν προτέρων. πρῶτον δὲ διαιρεῖ τὸ αἰσθητὸν ὡς γνωριμώτερον, καὶ λαμβάνει αὐτοῦ τὴν κατ’ εἰκόνα ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν φαινομένην ὑπόστασιν, τὰ εἴδωλα τὰ ἐν τοῖς ὕδασι καὶ ἐν τοῖς κατόπτροις, ὡς μίαν τινὰ φύσιν ἀποτεμών. τὸ δ’ ἕτερον μέρος ἀφορίζει τὸ ἀληθινόν, ὧν ταῦτά εἰσιν εἰκόνες, οἷον φυτὰ καὶ ζῷα. ἀπὸ γὰρ τούτων εἰκασία γίγνεται τῶν εἰδώλων κατὰ ἀνάκλασιν εἰς ταῦτα τῆς αἰσθήσεως [κατὰ δεύτερον τρόπον] ἐπιστρεφομένης, καὶ οὕτως αὐτὰ γιγνωσκούσης δευτέρως ὥσπερ καὶ ὑφίσταται κατὰ δεύτερον τρόπον, τοῖς δὲ αἰσθητοῖς αὐτόθεν ἐπιβαλλούσης ὥσπερ καὶ ὑφίσταται πρώτως καὶ ἐν αὑτοῖς ἔχει τὴν ἔνυλον ὑπόστασιν. ἀπὸ δὴ τῆς τούτων ἀναλογίας καὶ τὸ ἕτερον τμῆμα δυνατόν ἐστι καταμαθεῖν. ταῖς μὲν γὰρ εἰκόσι τὰ περὶ τὰ μαθήματα γένη ἐστὶν ἀνάλογον, καὶ αἱ γνώσεις αὐτῶν ταῖς εἰκασίαις τῶν εἰδώλων ἔχουσί τινα ὁμοιότητα· ἀπό τε γὰρ τῶν νοήσεων λαμβάνουσι τὴν ἐνέργειαν καὶ ἀπὸ τῶν νοητῶν ἐπὶ τὰ μαθηματικὰ ὡς εἰκόνας μεταβαίνουσιν, ὑποθέσεσί τε χρῶνται καὶ τὴν αἰτίαν οὐκ ἐπίστανται. καὶ τοῦτό ἐστι τὸ κριτήριον τῶν μαθηματικῶν, ἑτέρου τε πράγματος ὑπάρχον προγνωστικόν, ἀλλ’ οὐχὶ τοῦ νοητοῦ, καὶ ἑτέρᾳ γνώσει ἀντιλαμβανόμενον τοῦ διανοητοῦ, ἀλλ’ οὐχὶ τῇ νοήσει· αὕτη γὰρ τοῦ διαλεκτικοῦ ἐστι κριτήριον, καὶ δι’ αὐτῆς τὰ ὄντα καὶ τὰ εἴδη καὶ τὰ ἀνυπόθετα πάντα θεωρεῖ καὶ λόγον ἔχει περὶ πάντων δοῦναι, αἰσθητῷ τε οὐδενὶ προσχρῆται, ἀλλὰ τοῖς νοητοῖς εἴδεσι. τεττάρων δὴ οὐσῶν τῶν κρινουσῶν δυνάμεων τάξις τις αὐτῶν θεωρεῖται καὶ ἐνέργειαι διῃρημέναι τυγχάνουσιν, ἐπὶ μὲν τῷ ἀκροτάτῳ νόησις, ἐπὶ δὲ τῷ δευτέρῳ διάνοια, ἐπὶ δὲ τῷ τρίτῳ πίστις, εἰκασία δὲ ἐπὶ τῷ τετάρτῳ.

Ἐκ δὴ τούτων ἐκ διαιρέσεως πέφηνεν ἱκανῶς ὅ τι ποτ’ ἐστὶ τὸ τῶν μαθημάτων κριτήριον.