Περί της κοινής μαθηματικής επιστήμης (5-9)

Τά γε μὴν ὑποκείμενα τῇ μαθηματικῇ θεωρίᾳ, τὰ κοινῇ ἐπὶ πᾶσαν διατείνοντα τὴν ἐπιστήμην ταύτην, ἐκεῖνά ἐστιν ὅσα κοινά ἐστι θεωρήματα, δυνάμενα μὲν ἐπὶ ἀριθμῶν, δυνάμενα δὲ καὶ ἐπὶ μεγεθῶν

ἐφαρμόζειν, ἔτι δὲ καὶ ἁρμονιῶν καὶ ἀστρονομίας καὶ πάντων τῶν ἄλλων. ἔστι δὲ τοιαῦτα 〈τὰ〉 τῶν ἀναλογιῶν καὶ τὰ περὶ τὰς κοινῶς συνθέσεις καὶ διαιρέσεις, καὶ ὅσα περὶ τὸ ἴσον καὶ ἄνισον θεωρεῖται τὸ ὁπωσοῦν ἔχον ἢ τὸ ὁποιονοῦν, καὶ ὅσα τὸ πολλαπλάσιον ἢ τὸ μεριστὸν ἐπισκοπεῖται, ἢ τὸ ὑπερέχον καὶ ἐλλεῖπον, ἢ τὸ διωρισμένον καὶ ἀδιόριστον κατὰ κοινὴν ἐπιβολήν, ἢ τὸ καθ’ αὑτὸ καὶ τὸ πρός τι, ἢ τὸ ποσὸν ἁπλῶς, μηδὲν προσλαμβάνον τὸ τοιόνδε εἶδος τοῦ ποσοῦ ποσὸν τὴν τάξιν καὶ τὸ καλὸν τὸ ἐν τοῖς μαθηματικοῖς εἴδεσιν ᾗ ἐστιν ἐπιστημονικὰ θεωρεῖ, μηδὲν προσδιορίζον τὸ τοιόνδε κάλλος (ἤδη γὰρ τὸ τοιοῦτον τῶν ἐν μέρει ἐπιστημῶν ἐφάπτεται)· καὶ ὅσον δὲ αὖ τὸ ἀραρὸς καὶ βέβαιον τῆς ἐπιστήμης τῆς μαθηματικῆς σκοπεῖ, μήτε μεταβαλλόμενον ἄλλοτε ἄλλως, μήτε ἐξι‐ στάμενον τῆς οἰκείας οὐσίας, μήτε νῦν μὲν οὕτως αὖθις δὲ ἑτέρως νοούμενον, καὶ τοῦτο τὰ κοινὰ ὑποκείμενα τῇ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ τῷ λογισμῷ περιλαμβάνει. οὐ μέντοι δεῖ ταῦτα ὑπολαβεῖν ὡς ἐπιγιγνόμενα τὰ κοινά, ἀλλ’ ὡς προϋπάρχοντα τῶν καθ’ ἕκαστα· οὐδ’ ὡς ἐν τοῖς κατὰ μέρος καὶ μετ’ αὐτῶν ἔχοντα τὴν οὐσίαν, ἀλλ’ ὡς πρεσβυτέραν αὐτῶν καὶ ἀρχικωτέραν προειληφότα, οὐ μὴν διήκουσαν δι’ αὐτῶν, ἀλλὰ προτεταγμένην πρὸ τῶν ἰδίων ἑκάστης ἐπιστήμης μαθημάτων. διόπερ δὴ καὶ ἡ γνῶσις αὐτῶν κοινή ἐστι καὶ προηγουμένη, τελειοτέρα τε τῶν καθ’ ἕκαστα, σύνοψίν τε κοινὴν ποιουμένη πάντων, ἀφ’ ἑνός τε καὶ εἰς ἓν τὰ θεωρήματα πάντα τὰ μαθηματικὰ συντάττουσα, τήν τε συγγένειαν καὶ τὴν ὁμοιότητα αὐτῶν πρὸς ἄλληλα ἐπιβλέπουσα, καὶ τὸ ἀνόμοιον ἐν αὐτοῖς καὶ ἕτερον παραθεωροῦσα, γένη τε ὅσα αὐτῶν ἐστι πρῶτα καὶ εἴδη συνάγουσα εἰς ταὐτὸ καὶ διακρίνουσα, κοινά τε ὁμολογήματα καὶ ὑποθέσεις πρώτας καὶ ὁρισμοὺς καὶ θέσεις καὶ διαιρέσεις καὶ συναγωγὰς συνθέσεις τε καὶ μερισμοὺς καὶ ὑπερβολὰς καὶ ἐλλείψεις καὶ παραβολὰς καθ’ ὁποιαοῦν γένη τῶν μαθηματικῶς ὄντων θεωροῦσα, ὡς ἁπλῶς εἰπεῖν, καὶ οὐ διωρισμένως καθ’ ἕκαστον, τό τε δυνατὸν τὸ ἐν τούτοις καὶ τὸ ἀδύνατον, καὶ τὸ ἀναγκαῖον καὶ τὸ οὐκ ἀναγκαῖον, τό τε ἀληθὲς καὶ ψεῦδος διακρίνουσα, τάς τε ἐν αὐτοῖς διαφοράς, ὅσαι τέ εἰσι καὶ ὁποῖαι, διερευνωμένη δι’ ἀκριβείας.

Τοσαῦτα ἡμῖν καὶ περὶ τῶν κοινῶς ὑποκειμένων τῇ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ καὶ περὶ τοῦ κοινοῦ τρόπου τῆς κατ’ αὐτὴν θεωρίας διωρίσθω ἐν τῷ παρόντι.

Νοητέον δέ ἐστι περὶ πάντα τὰ τοιαῦτα μαθήματα τόδε, ὡς ἐὰν μέν τις τούτων ἕκαστα ὀρθῶς λαμβάνῃ, μέγα ὄφελος γίνεται τῷ παραλαμβάνοντι κατὰ τρόπον, εἰ δὲ μή, θεὸν ἄμεινον ἀεὶ καλεῖν. ὁ δὲ τρόπος ὅδε· ἀνάγκη γὰρ τό γε τοσοῦτον φράζειν. πᾶν

διάγραμμα ἀριθμοῦ τε σύστημα καὶ ἁρμονίας σύστασιν ἅπασαν τῆς τε τῶν ἄστρων περιφορᾶς τὴν ἀναλογίαν οὖσαν μίαν ἁπάντων ἀναφανῆναι δεῖ τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι. φανήσεται δέ, ἐὰν ὃ λέγομεν ὀρθῶς τις ἐμβλέπων μανθάνῃ· δεσμὸς γὰρ πεφυκὼς πάντων τούτων εἷς ἀναφανήσεται διανοουμένοις. εἰ δ’ ἄλλως πως μεταχειριεῖταί τις, τύχην δεῖ καλεῖν, ὥσπερ καὶ λέγομεν· οὐ γὰρ ἄνευ γε τούτων μήποτέ τις ἐν πόλεσιν εὐδαίμων γένηται φύσις, ἀλλ’ οὗτος ὁ τρόπος, αὕτη τροφή, ταῦτα μαθήματα, εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια, ταύτῃ πορευτέον. ἀμελῆσαι δὲ οὐ θεμιτόν ἐστι θεῶν, καταφανοῦς γενομένης τῆς πάντων αὐτῶν κατὰ τρόπον λεγομένης φήμης εὐτυχοῦς. τὸν δὲ ξύμπαντα ταῦτα οὕτως εἰληφότα, τοῦτον λέγω τὸν ἀληθέστατα σοφώτατον· τὴν γὰρ πάντων καλλίστην καὶ θειοτάτην φύσιν, ὅσην ἀνθρώποις θεὸς ἔδωκε κατιδεῖν, οὔποτε ἄνευ τῶν νῦν δὴ εἰρημένων μὴ κατιδὼν ἐπεύξηταί τις ῥαστώνῃ παραλαβεῖν. πρὸς τούτοις τε τὸ καθ’ ἕν τε καὶ κατ’ εἴδη προσακτέον ἐν ἑκάσταις ταῖς τῶν μαθημάτων εἰδήσεσιν, ἕως ἂν ἐξεύρωμεν τὸν ὅλον κόσμον, ὃν ἔταξε λόγος ὁ πάντων θειότατος ὁρατόν· ὃν ὁ εὐδαίμων πρῶτον μὲν ἐθαύμασεν, ἔπειτα δὲ ἔρωτα ἔσχε τοῦ καταμαθεῖν ὁπόσα θνητῇ φύσει δυνατά, ἡγούμενος ἄριστα οὕτως εὐτυχέστατά 〈τε〉 διάξειν τὸν βίον, τελευτήσας τε εἰς τόπους ἥξειν προσήκοντας ἀρετῇ, καὶ μεμυημένος ἀληθῶς τε καὶ ὄντως, μεταλαβὼν φρονήσεως εἷς ὢν μιᾶς, τὸν ἐπίλοιπον χρόνον θεωρὸς τῶν καλλίστων γενόμενος, ὅσα κατ’ ὄψιν, διατελεῖν. δεῖ δὲ καὶ τὰ χύδην μαθήματα ἐν τῇ παιδείᾳ γενόμενα συνάγειν εἰς σύνοψιν οἰκειότητός τε ἀλλήλων τῶν μαθημάτων καὶ τῆς τοῦ ὄντος φύσεως· μόνη γὰρ ἡ τοιαύτη μάθησις βέβαιος ἐν οἷς ἂν γένηται. δεῖ δὲ καὶ ὀμμάτων καὶ τῆς ἄλλης αἰσθήσεως δυνατοὺς γίγνεσθαι μεθιεμένους ἐπ’ αὐτὸ τὸ ὂν μετ’ ἀληθείας ἰέναι. δεῖ δὲ καὶ μονίμους εἶναι ἐν τοῖς μαθήμασι καὶ ὀξεῖς καὶ τὰ ἄλλα ἔχοντας ὅσα τῇ φύσει τῇ ἀρίστῃ προσήκει· ὡς, ἐὰν μὲν ἀρτιμελεῖς τε καὶ ἀρτίφρονας ἐπὶ τοσαύτην μάθησιν καὶ τοσαύτην ἄσκησιν κομίσαντες παιδεύωμεν, ἥ τε δίκη ἡμῖν οὐ μέμψεται αὐτή, τήν τε πόλιν καὶ πολιτείαν σώσομεν, ἀλλοίους δὲ ἄγοντες ἐπὶ ταῦτα, τἀναντία πάντα πράξομεν καὶ φιλομαθείας ἔτι πλείω γέλωτα καταντλήσομεν. εἰ δὲ δεῖ τὸ ἀληθὲς εἰπεῖν ὅλον ὡς ἔχει, ἐν τούτοις τοῖς μαθήμασιν ἑκάστου ὄργανόν τι ψυχῆς ἐκκαθαίρεταί τε καὶ ἀναζωπυρεῖται ἀπολλύμενον καὶ τυφλούμενον ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐπιτηδευμάτων, κρεῖττον ὂν σωθῆναι μυρίων ὀμμάτων· μόνῳ γὰρ αὐτῷ ἀλήθεια ὁρᾶται. οἷς μὲν οὖν ταῦτα ξυνδοκεῖ, ἀμηχάνως ὡς εὖ δοκεῖ λέγεσθαι τὰ παρόντα· ὅσοι δὲ τούτου μηδαμῇ ᾐσθημένοι, εἰκότως ἡγήσονται ἡμᾶς λέγειν οὐδέν· ἄλλην γὰρ ἀπ’ αὐτῶν οὐχ ὁρῶσιν ἀξίαν λόγου ὠφέλειαν. τὸ δ’, ὡς ἔοικεν, οὐκ ὀστράκου ἂν εἴη περιστροφή, ἀλλὰ ψυχῆς περιαγωγή, ἐκ νυκτερινῆς τινος ἡμέρας εἰς ἀληθινὴν τοῦ ὄντος οὖσαν ἐπάνοδον, ἣν δὴ φιλομάθειαν ἀληθινὴν φήσομεν εἶναι. οὐκοῦν δεῖ σκοπεῖσθαι τί τῶν μαθημάτων ἔχει τοιαύτην δύναμιν, καὶ τί μάθημα ψυχῆς ὁλκόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ γιγνομένου ἐπὶ τὸ ὄν. λέγω τοίνυν ὡς τὰ μὲν ἐν ταῖς αἰσθήσεσιν οὐ παρακαλοῦντα τὴν νόησιν εἰς ἐπίσκεψιν, ὡς ἱκανῶς ὑπὸ τῆς αἰσθήσεως κρινόμενα, τὰ δὲ παντάπασι διακελευόμενα ἐκείνην ἐπισκέψασθαι, ὡς τῆς αἰσθήσεως οὐδὲν ὑγιὲς ποιούσης· καὶ τὰ μὲν οὐ παρακαλοῦντα, ὅσα μὴ ἐκβαίνει εἰς ἐναντίαν αἴσθησιν ἅμα, τὰ δ’ ἐκβαίνοντα ὡς παρακαλοῦντα τίθημι, ἐπειδὰν ἡ αἴσθησις μηδὲν μᾶλλον τοῦτο ἢ τὸ ἐναντίον δηλοῖ, εἴτε ἐγγύθεν προσπίπτουσα εἴτε πόρρωθεν. ὧδε δὲ ἃ λέγω σαφέστερον εἰσόμεθα. οὗτοι, φαμέν, τρεῖς ἂν εἶεν δάκτυλοι, ὅ τε σμικρότατος καὶ ὁ δεύτερος καὶ ὁ μέσος· ὡς ἐγγύθεν τοίνυν ὁρωμένους λέγοντός μου διανοοῦ. ἀλλά μοι περὶ αὐτῶν τόδε σκόπει· δάκτυλος μέν που αὐτῶν φαίνεται ὁμοίως ἕκαστος, καὶ ταύτῃ γε οὐδὲν διαφέρει, ἐάν τε ἐν μέσῳ ὁρᾶται ἐάν τ’ ἐπ’ ἐσχάτῳ, ἐάν τε λευκὸς ἑάν τε μέλας, ἐάν τε παχὺς ἐάν τε λεπτός, καὶ πᾶν ὅ τι τοιοῦτον· ἐν πᾶσι γὰρ τούτοις οὐκ ἀναγκάζεται τῶν πολλῶν ἡ ψυχὴ τὴν νόησιν ἐπερέσθαι, τί ποτ’ ἐστὶ δάκτυλος· οὐδαμοῦ γὰρ ἡ ὄψις αὐτὴ ἅμα ἐσήμαινε τὸν δάκτυλον τοὐναντίον ἢ δάκτυλον εἶναι. οὐκοῦν εἰκότως τό γε τοιοῦτον νοήσεως οὐκ ἂν παρακλητικὸν εἴη. τί δὲ δή; τὸ μέγεθος αὐτῶν καὶ τὴν μικρότητα ἡ ὄψις ἆρα ἱκανῶς ὁρᾷ, καὶ οὐδὲν αὐτῇ διαφέρει ἐν μέσῳ αὐτῶν τινα κεῖσθαι ἢ ἐπ’ ἐσχάτῳ; καὶ ὡσαύτως πάχος καὶ λεπτότητα καὶ σκληρότητα ἡ ἁφή; καὶ αἱ ἄλλαι αἰσθήσεις ἆρα οὐκ ἐνδεῶς τὰ τοιαῦτα δηλώσουσιν; ἢ ὧδε ποιεῖ ἑκάστῃ αὐτῶν· πρῶτον ἡ ἐπὶ τῷ σκληρῷ τεταγμένη αἴσθησις ἠνάγκασται καὶ ἐπὶ τῷ μαλακῷ τετάχθαι, καὶ παραγγέλλει τῇ ψυχῇ ὡς ταὐτὸν σκληρόν τε καὶ μαλακὸν αἰσθανομένη; οὐκοῦν ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις αὖ τὴν ψυχὴν ἀπορεῖν, τί ποτε σημαίνει αὐτὴ ἡ αἴσθησις τὸ σκληρόν, εἴπερ τὸ αὐτὸ καὶ μαλακὸν λέγει, καὶ ἡ τοῦ κούφου καὶ ἡ τοῦ βαρέος, τί τὸ κοῦφον καὶ βαρύ, εἰ τό τε βαρὺ κοῦφον καὶ τὸ κοῦφον βαρὺ σημαίνει· αὗται γὰρ ἄτοποι τῇ ψυχῇ αἱ ἑρμηνεῖαι καὶ ἐπισκέψεως δεόμεναι. εἰκότως οὖν ἐν τοῖς τοιούτοις πρῶτον μὲν πειρᾶται λογισμόν τε καὶ νόησιν ψυχὴ παρακαλοῦσα ἐπισκοπεῖν, εἴτε ἓν εἴη εἴτε δύο ἐστὶν ἕκαστα τῶν εἰσαγγελλομένων. οὐκοῦν ἐὰν δύο φαίνηται, ἕτερόν τε καὶ ἓν ἑκάτερον φαίνεται· εἰ ἄρα ἓν ἑκάτερον, ἀμφότερα δὲ δύο, τά γε δύο κεχωρισμένα νοήσει· οὐ γὰρ ἂν χωριστά γε δύο ἐνόει, ἀλλ’ ἕν. μέγα μὴν καὶ ἡ ὄψις καὶ σμικρὸν ἑώρα, ὥς φαμεν, ἀλλ’ οὐ κεχωρισμένον, ἀλλὰ συγκεχυμένον τι· διὰ δὲ τὴν τούτου σαφήνειαν μέγα αὖ καὶ σμικρὸν ἡ νόησις ἠναγκάσθη ἰδεῖν, οὐ συγκεχυμένα ἀλλὰ διωρισμένα, τοὐναντίον ἢ κείνη. οὐκοῦν ἐντεῦθέν ποθεν πρῶτον ἐπέρχεται ἐρέσθαι ἡμῖν· τί οὖν ποτ’ ἔσται τὸ μέγα αὖ καὶ τὸ σμικρόν; καὶ οὕτω δὴ τὸ μὲν νοητόν, τὸ δ’ ὁρατὸν ἐκαλέσαμεν. ταῦτα τοίνυν καὶ ἄρτι ἐπεχείρουν λέγειν, ὡς τὰ μὲν παρακλητικὰ τῆς διανοίας ἐστί, τὰ δ’ οὔ, ἃ μὲν εἰς τὴν αἴσθησιν ἅμα τοῖς ἐναντίοις ἑαυτοῖς ἐμπίπτει, παρακλητικὰ ὁριζόμενος, ὅσα δὲ μή, οὐκ ἐγερτικὰ τῆς νοήσεως. τί οὖν; ἀριθμός τε καὶ τὸ ἓν καὶ τὰ ἄλλα μαθήματα ποτέρων δοκεῖ εἶναι, ἐκ τῶν προειρημένων ἀναλογίζεσθαι ῥᾴδιον. εἰ μὲν γὰρ ἱκανῶς αὐτὸ ὁρᾶται ἢ ἄλλῃ τινὶ αἰσθήσει λαμβάνεται τὸ ἓν ἢ ἄλλο τι τῶν μαθημάτων, οὐκ ἂν ὁλκὸν εἴη ἐπὶ τὴν οὐσίαν, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ δακτύλου ἐλέγομεν· εἰ δ’ ἀεί τι αὐτῷ ἅμα ὁρᾶται ἐναντίωμα, ὥστε μηδὲν μᾶλλον ἓν ἢ καὶ τοὐναντίον φαίνεσθαι, τοῦ ἐπικρινοῦντος δὴ δέοι ἂν ἤδη, καὶ ἀναγκάζοιτ’ ἂν ἐν αὐτῷ ψυχὴ ἀπορεῖν καὶ ζητεῖν κινοῦσα ἐν ἑαυτῇ τὴν ἔννοιαν, καὶ ἀνερωτᾶν τί ποτ’ ἐστὶν αὐτὸ τὸ ἕν, καὶ οὕτω τῶν ἀγωγῶν ἂν εἴη καὶ μεταστρεπτικῶν ἐπὶ τὴν τοῦ ὄντος θέαν ἡ περὶ τὸ ἓν μάθησις. ἀλλὰ μέντοι τοῦτό γε ἔχει οὐχ ἥκιστα ἡ περὶ αὐτὸ ὄψις· ἅμα γὰρ ταὐτὸν ὡς ἕν τε ὁρῶμεν καὶ ὡς ἄπειρα τὸ πλῆθος. οὐκοῦν, εἴπερ τὸ ἕν, καὶ ξύμπας ἀριθμὸς ταὐτὸν πέπονθε τούτῳ. ἀλλὰ μὴν λογιστική τε καὶ ἀριθμητικὴ περὶ ἀριθμὸν πᾶσα· ταῦτα δὲ φαίνεται ἀγωγὰ πρὸς ἀλήθειαν· ὑπερφυῶς ἄρα ὧν ζητοῦμεν, ὡς ἔοικε, μαθημάτων εἴη ἂν τοῦτο. καὶ τἆλλα δὲ ὡσαύτως χρήσιμα ἂν εἴη πρὸς ἐπιστήμην διὰ τὸ τῆς οὐσίας ἅπτεσθαι γενέσεως δὲ ἀπολύεσθαι, καὶ τὴν μὲν νόησιν παρακαλεῖν τῶν δὲ αἰσθήσεων ἀφιστάναι, καὶ ἐπὶ θέαν τῆς τῶν ὄντων φύσεως παρακαλεῖν, αὐτῆς δὲ τῆς ψυχῆς ῥᾳστώνην παρασκευάζειν τῆς μεταστροφῆς ἀπὸ γενέσεως ἐπ’ ἀλήθειάν τε καὶ οὐσίαν. δεῖ δὲ καὶ τοῦ γνωρίζειν ἕνεκα ἐπιτηδεύειν τὰ μαθήματα· οὕτω γὰρ σφόδρα ἄνω ποι ἀνάγεται ἡ ψυχή, καὶ περὶ αὐτῶν τῶν ὄντων ἀναγκάζει διαλέγεσθαι, οὐδαμῇ ἀποδεχομένους, ἐάν τις αὐτοῖς ὁρατὰ ἢ ἁπτὰ σώματα προτεινόμενος διαλέγηται· περὶ γὰρ τούτων λέγουσιν ὧν διανοηθῆναι μόνον ἐγχωρεῖ, ἄλλως δὲ οὐδαμῶς μεταχειρίσασθαι δυνατόν. ἀναγκαῖα οὖν κινδυνεύει εἶναι τὰ μαθήματα, ἐπειδὴ φαίνεται προσαναγκάζειν αὐτῇ τῇ νοήσει χρῆσθαι τὴν ψυχὴν ἐπ’ αὐτὴν τὴν ἀλήθειαν· καὶ μὴν καὶ ὀξυτέρους ποιεῖ αὐτοὺς ἑαυτῶν γίγνεσθαι, καὶ ἔτι πολὺν πόνον παρέχει μανθάνοντί τε καὶ μελετῶντι.

Σκοπεῖσθαι δὲ δεῖ καὶ εἴ τι πρὸς ἐκεῖνο τείνει, πρὸς τὸ ποιεῖν κατιδεῖν ῥᾷον τὴν τοῦ ἀγαθοῦ ἰδέαν. τείνει δέ, φαμέν, πάντα αὐτόσ’, ὅσα ἀναγκάζει ψυχὴν εἰς ἐκεῖνον τὸν τόπον μεταστρέφεσθαι, ἐν ᾧ ἐστι τὸ εὐδαιμονέστατον τοῦ ὄντος, ὃ δεῖ αὐτὴν παντὶ τρόπῳ ἰδεῖν. οὐκοῦν εἰ μὲν οὐσίαν ἀναγκάζει θεάσασθαι, προσήκει· εἰ δὲ γένεσιν, οὐ προσήκει. καὶ τὰ μὲν

γνώσεως ἕνεκα ἐπιτηδευόμενα, ὡς μαθήματα ὄντα τιμητέον, ὅσα τοῦ ἀεὶ ὄντος γνώσεως, ἀλλ’ οὐ τοῦ ποτὲ γιγνομένου καὶ ἀπολλυμένου ἀντιλαμβάνεται. ὁλκὰ ἄρα ψυχῆς πρὸς ἀλήθειαν εἴη ἂν ταῦτα, καὶ ἀπεργαστικὰ φιλοσόφου διανοίας πρὸς τὸ ἄνω σχεῖν ἃ νῦν κάτω οὐ δέον ἔχομεν· μόνοις γὰρ αὐτοῖς ἀλήθεια ὁρᾶται. δεῖ τοίνυν συνεχῶς καὶ ἐντόνως ζητεῖσθαι αὐτά, ἵνα ἐκφανῆ γένηται ὅπῃ ἔχει. πρὸς γὰρ τοῖς ἄλλοις καὶ τὸ ἐπίχαρι διαφερόντως ἔχει, καὶ ἄνω ποιεῖ τὴν ψυχὴν βλέπειν. τοιαῦτα δέ ἐστι μαθήματα ἐκεῖνα ὅσα ἂν περὶ τὸ ὂν ᾖ καὶ τὸ ἀόρατον, καὶ ὅσα λόγῳ καὶ διανοίᾳ ληπτά, ὄψει δὲ οὔ. καὶ παραδείγμασι μὲν χρηστέον τοῖς φαινομένοις· οὐ μέντοι ἐπισκοπεῖν αὐτὰ χρὴ σπουδῇ ὡς τὴν ἀλήθειαν ἐν αὐτοῖς ληψόμενον ἴσων ἢ διπλασίων ἢ ἄλλης τινὸς ξυμμετρίας. καὶ γὰρ ἄτοπον, εἰ νομίζοι τίς γίγνεσθαί τε ταῦτα ἀεὶ ὡσαύτως, καὶ οὐδαμῇ οὐδὲν παραλλάττειν σώματα ἔχοντα καὶ δρώμενα, καὶ ζητεῖν παντὶ τρόπῳ τὴν ἀλήθειαν αὐτῶν λαβεῖν. παρὰ πάντα δὲ ἐκεῖνο δεῖ φυλάττειν, μήποτέ τι αὐτῶν ἀτελὲς ἐπιχειρῶσιν ἡμῖν μανθάνειν οὓς παιδεύσομεν, καὶ οὐκ ἐξῆκον ἐκεῖσε ἀεί, οἷ πάντα δεῖ ἀφήκειν· χρήσιμα γὰρ οὕτως ἔσται πρὸς τὴν τοῦ καλοῦ καὶ ἀγαθοῦ ζήτησιν, ἄλλως δὲ μεταδιωκόμενα ἄχρηστα. οἶμαι δέ γε, καὶ ἡ τούτων πάντων τῶν μαθημάτων μέθοδος, ἐὰν μὲν ἐπὶ τὴν ἀλλήλων κοινωνίαν ἀφίκηται καὶ ξυγγένειαν, καὶ συλλογισθῇ ταῦτα ᾖ ἐστιν ἀλλήλοις οἰκεῖα, φέρειν αὐτῶν εἰς ἃ βουλόμεθα τὴν πραγματείαν καὶ οὐκ ἀνόνητα πονεῖσθαι· εἰ δὲ μή, ἀνόνητα. ἡ γὰρ λύσις ἀπὸ τῶν δεσμῶν καὶ μεταστροφὴ ἀπὸ τῶν σκιῶν ἐπὶ τὰ εἴδωλα καὶ τὸ φῶς, καὶ ἐκ τοῦ καταγείου καὶ αἰσθητοῦ εἰς τὸν ἥλιον ἐπάνοδος καὶ τἀγαθόν, καὶ ἐκεῖ πρὸς μὲν τὰ ζῷά τε καὶ τὰ φυτὰ καὶ τὸ τοῦ ἡλίου φῶς ἔτι ἀδυναμία βλέπειν, τουτέστι πρὸς τὰ καθαρὰ εἴδη καὶ γένη, πρὸς δὲ τὰ ἐν ὕδασι φαντάσματα θεῖα καὶ σκιὰς τῶν ὄντων, ἀλλ’ οὐκ εἰδώλων σκιὰς δι’ ἑτέρου τοιούτου φωτὸς ὡς πρὸς ἥλιον κρίνειν ἀποσκιαζομένας, πᾶσα αὕτη ἡ πραγματεία τῶν τεχνῶν, ἃς διήλθομεν, ταύτην ἔχει τὴν δύναμιν καὶ ἐπαναγωγὴν τοῦ βελτίστου ἐν ψυχῇ πρὸς τὴν τοῦ ἀρίστου ἐν τοῖς οὖσι θέαν, ὥσπερ τό〈τε〉 τοῦ σαφεστάτου ἐν σώματι πρὸς τὴν τοῦ φανοτάτου ἐν τῷ σωματοειδεῖ τε καὶ ἀοράτῳ τόπῳ. τοιαύτη τίς ἐστιν ἡ ἀρίστη χρῆσις τῶν μαθημάτων, καὶ τὸ κυριώτατον αὐτῶν τέλος τοιόνδε ὑπάρχει.

Ἐπεὶ δὲ δεῖ καὶ καθ’ ἑκάστην μαθηματικὴν ἐπιστήμην διορίσαι τὸ ὑποκείμενον ἑκάστῃ οἰκεῖον ἐπιστητόν, φέρε ἐκ διαιρέσεως ἀρχόμενοι διακρίνωμεν τὰ εἴδη τῶν μαθημάτων περὶ ἃ πραγματεύονται. οὕτω γὰρ ἂν ῥᾷστα μάθοιμεν τὸ ἓν καὶ τὸ πλῆθος τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, ποταπόν ἐστι καὶ κατὰ ποίας διαφορὰς κρίνεται. ἀρξώμεθα δὲ ἐντεῦθεν.

Ἡ τοῦ συνεχοῦς καὶ ἡ τοῦ διῃρημένου φύσις

πᾶσα τοῖς οὖσιν, ὅπερ ἐστὶ τῇ τοῦ παντὸς κόσμου συστάσει, διττῶς συνεπινοεῖται· τοῦ μὲν διῃρημένου κατὰ παράθεσίν τε καὶ σωρείαν, τοῦ δὲ συνεχοῦς κατὰ ἕνωσίν τε καὶ ἀλληλουχίαν. κυρίως δὲ τὸ μὲν συνεχὲς καὶ ἡνωμένον καλοῖτ’ ἂν μέγεθος, τὸ δὲ παρακείμενον καὶ διῃρημένον πλῆθος. 〈καὶ〉 κατὰ μὲν τὴν τοῦ μεγέθους οὐσίαν εἷς τε ὁ κόσμος ἐπινοοῖτ’ ἂν καὶ λέγοιτο στερεὸς καὶ σφαιρικός τε καὶ συμπεφυκὼς ἑαυτῷ διατεταμένος τε καὶ ἀλληλουχούμενος, κατὰ δὲ τὴν τοῦ πλήθους πάλιν ἰδέαν καὶ ἔννοιαν ἥ τε σύνταξις καὶ διακόσμησις καὶ ἁρμονία τοῦ παντὸς ἐπινοοῖτ’ ἂν ἐκ τοσῶνδε φέρε εἰπεῖν στοιχείων καὶ σφαιρῶν καὶ ἀστέρων γενῶν τε καὶ ζῴων καὶ φυτῶν ἐναντιοτήτων τε καὶ ὁμοιοτήτων τὴν σύστασιν ἔχουσα. ἀλλὰ τοῦ μὲν ἡνωμένου ἐπ’ ἄπειρον μὲν ἐκ παντός ἐστιν ἡ τομή, ἡ δ’ αὔξησις ἐπὶ ὡρισμένον· τοῦ δὲ πλήθους κατὰ ἀντιπεπόνθησιν ἐπ’ ἄπειρον μὲν ἡ αὔξησις, ἔμπαλιν δὲ ἡ τομὴ ἐπὶ ὡρισμένον, φύσει δὴ καὶ ἐπινοίᾳ ἀμφοτέρων ἀπείρων ὄντων, καὶ διὰ τοῦτο ἐπιστήμαις ἀπεριορίστων· ἀρχὰν γὰρ οὐδὲ τὸ γνωσούμενον ἐσσεῖται πάντων ἀπείρων ἐόντων’ κατὰ τὸν Φιλόλαον. ἀναγκαίου δὲ ὄντος ἐπιστήμης φύσιν ἐνορᾶσθαι τοῖς οὖσιν οὕτως ὑπὸ θείας ἠκριβωμένοις προνοίας, ἀποτεμόμεναι ἑκατέρου καὶ περατώσασαί τινες ἐπιστῆμαι τὸ περιληφθὲν αὐταῖς, ἀπὸ μὲν τοῦ πλήθους ποσὸν ἐκάλεσαν, ὅπερ ἤδη γνώριμον, ἀπὸ δὲ τοῦ μεγέθους κατὰ τὰ αὐτὰ πηλίκον. καὶ τὰ ἀμφότερα αὐτῶν γένη ἐπιστήμαις ὑπήγαγον ταῖς ἑαυτῶν εἰδήσεσιν· ἀριθμητικῇ μὲν τὸ ποσόν, γεωμετρίᾳ δὲ τὸ πηλίκον. ἀλλ’ ἐπεὶ μὴ μονοειδῆ ταῦτα ἦν, ἔτι δὲ μερικωτέραν ὑποδιαίρεσιν ἑκάτερον αὐτῶν ἐπεδέχετο (τοῦ μὲν γὰρ ποσοῦ τὸ μὲν ἦν καθ’ ἑαυτὸ τῆς πρὸς ἄλλο πως ἀπηλλαγμένον σχέσεως, οἷον φέρ’ εἰπεῖν ἄρτιον περιττὸν τέλειον ἐλλιπὲς καὶ τὰ ὅμοια, τὸ δὲ πρὸς ἕτερόν πως ἔχον, ὃ δὴ πρός τι ποσὸν ἰδίως λέγεται, οἷον ἴσον ἄνισον πολυπλάσιον ἐπιμόριον ἐπιμερὲς καὶ τὰ παραπλήσια· καὶ πάλιν τοῦ πηλίκου τὸ μὲν ὑπάρχει τε καὶ ἐπινοεῖται μένον, τὸ δὲ κινούμενον καὶ φερόμενον), διὰ τοῦτ’ εἰκότως ταῖς προσαχθείσαις δυσὶν ἐπιστήμαις ἕτεραί τινες δύο συμμετέσχον καὶ συνεφήψαντο τῆς καθ’ ἑκάτερον ἐπιστητὸν θεωρίας. τῇ μὲν γὰρ ἀριθμητικῇ, ἰδίως λαχούσῃ τὴν περὶ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ ποσοῦ σκέψιν, συμμετέσχεν ἡ μουσικὴ τῆς περὶ τὸ πρός τι ποσὸν τεχνολογίας (οὐδὲν γὰρ ἄλλο τὸ ἁρμονικὸν αὐτῆς καὶ τὸ περὶ συμφωνιῶν ἐπαγγέλλεται, ὅτι μὴ σχέσεις καὶ λόγους διαρθροῦν τῶν φθόγγων πρὸς ἀλλήλους καὶ ποσότητα ὑπεροχῶν τε καὶ ἐλλείψεων), τῇ δὲ γεωμετρίᾳ περὶ τὴν τοῦ μένοντος καὶ ἑστῶτος πηλίκου ἐξέτασιν καταγινομένῃ συλλήπτρια ὑπῆρξεν ἡ σφαιρικὴ κινουμένου πηλίκου ἐπιγνώμων καταστᾶσα, τοῦ τελειοτάτου δηλονότι καὶ τεταγμένην καὶ ὁμαλὴν κίνησιν ἐπιδεδεγμένου. διόπερ περὶ ἀδελφὰ τὰ ὑποκείμενα καὶ αὐτὰς γενομένας, εὔλογον ἀδελφὰς καὶ τὰς ἐπιστήμας ταύτας νομίζειν, ἵνα μὴ ἀπαιδευτῇ τὸ Ἀρχύτειον· ταῦτα γὰρ τὰ μαθήματα δοκοῦντι εἶμεν ἀδελφά’, ἀλλήλων τε ἐχόμενα τρόπον ἁλύσεως κρίκων ἡγεῖσθαι, καὶ ἐφ’ ἕνα σύνδεσμον καταλήγουσα, ὥς φησιν ὁ θειότατος Πλάτων, καὶ μίαν ἀναφαίνεσθαι προσήκειν τούτων τῶν μαθημάτων τὴν συγγένειαν τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι, τὸν δὲ σύμπαντα ταῦτα οὕτως εἰληφότα, ὡς αὐτὸς ὑποτίθεται, τοῦτον δὴ καλεῖ τὸν ἀληθέστατα σοφώτατον καὶ διισχυρίζεται παίζων, μεταδιωκτά τε καὶ ἐκ παντὸς αἱρετὰ ταῦτα τὰ μαθήματα, εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια εἴη, παρεγγυᾷ τοῖς φιλοσοφεῖν προθυμουμένοις· καὶ μάλα εὐλόγως, εἴπερ συνεχοῦς καὶ διῃρημένου καταλήψεις διὰ τούτων μόνων γίνονται, ἐκ δὲ συνεχοῦς καὶ διῃρημένου ὅ τε κόσμος καὶ τὰ ἐν αὐτῷ πάντα. τούτων δὴ ἀκριβὴς κατάληψις σοφία, σοφίας δὲ ἔφεσις φιλοσοφία, φιλοσοφία δὲ ἐκ πασῶν μονωτάτη τεχνῶν τε καὶ ἐπιστημῶν τὸ οἰκεῖον 〈καὶ〉 κατὰ φύσιν ἀνθρώπῳ τέλος περιποιεῖ καὶ ἐπὶ τὴν εὐδαιμονίαν ἄγει τὴν παρὰ τὰ ἄλλα ζῷα τούτῳ μόνῳ προσήκουσαν καὶ κατὰ φύσιν σπουδαζομένην ὡς σκοπιμώτατον αὐτῷ τέλος.

Δεῖ δὴ τὸ μετὰ τοῦτο καὶ περὶ τοῦ κριτηρίου πάντων τῶν μαθημάτων εἰπεῖν, ποῖόν γέ τί ἐστι καὶ τίνας ἔχει τὰς ἐν αὑτῷ διαφορὰς τῶν ἐνεργειῶν. ἄνωθεν οὖν ἀναλαβόντες ἀπὸ διαιρέσεως ποιησώμεθα τὴν ὅλην περὶ αὐτοῦ διδασκαλίαν.

Τὰ δὴ νοητὰ πάντα εἰς δύο διῄρηται, εἴς τε τὰ ἰδίως νοητὰ καλούμενα καὶ ἐπιστητά, καὶ εἰς τὰ διανοητά· καὶ πρῶτα μέν ἐστι τὰ νοητά, δεύτερα δὲ καὶ ὑποδεέστερα τὰ διανοητά. πάλιν δὲ ἀπὸ τούτων ἑτέρα οὐσία ἐστὶν ἡ τῶν αἰσθητῶν, τούτων δὲ τὰ μὲν ἰδίως ἐστὶν αἰσθητά, ἃ καὶ δοξαστά, τὰ δὲ εἰκαστά. δοξαστὰ μὲν καὶ ἰδίως αἰσθητὰ τὰ κατὰ μέρος σώματα, οἷον λίθοι ξύλα τὰ τέτταρα στοιχεῖα, ταῦτα δέ ἐστιν ἐν αἰσθητοῖς πρῶτα· μεθ’ ἃ ἀσθενῆ ἄλλα καὶ οὐχ ὅμοια, ἐπηκολουθηκότα δὲ τοῖς πρώτοις ἐστίν. ἔστι δὲ ταῦτα αἱ σκιαί· καὶ γὰρ αἱ σκιαὶ παρακολουθήματα τῶν σωμάτων, καὶ εἰ μὴ ἔχοιεν ἄλλο τι ὑποβεβλημένον σῶμα, οὐκ ἂν φανεῖεν. εἴδωλα οὖν αἱ σκιαὶ καὶ τὰ

ἐν ὕδασι καὶ κατόπτροις, ἐν ἄλλοις καὶ οὐ καθ’ αὑτὰ ὄντα, οὐδὲ ἄλλων δίχα φαινόμενα, ἀλλὰ εἰς ἄλλα σώματα πεπτωκότα, ὧν ὑποσπασθέντων οὐ φαίνεται. διὸ αἰσθητὰ μέν ἐστι τῷ γένει, ὅτι ὑπὸ αἴσθησιν πίπτει, εἰκαστὰ δὲ μᾶλλον καὶ πιστευτὰ ἢ ὑποστατά, κατὰ πίστιν λεγόμενα τὴν ἐπὶ τῶν μὴ ἀποδεικτικῶν, ἄλλως δὲ εἰς παραδοχὴν παραλαμβανομένων ἀπὸ τῆς τῶν προφερόντων πίστεως. καὶ γὰρ τὰ τῶν σκιῶν οὐκ ἀφ’ αὑτῶν ἔχει τὸ ἀντιληπτικόν, ἀπὸ δὲ τῶν σωμάτων εἰς ἃ πέπτωκε καὶ ἐν οἷς ἀναπαυόμενα φαίνεται. ἔχει οὖν τὸ ἀβέβαιον ἡ τοιαύτη πίστις· καὶ γὰρ ταῦτα εἰ ἀποσταίη τοῦ κατόπτρου ἢ ὕδατος ἢ ἐδάφους, οὐδὲν ἂν εἴη τὸ σύνολον. ὥστε καὶ τῶν σωμάτων δοξαστῶν ὄντων καὶ τὸ εἶναι ἐν τῷ δοκεῖν κεκτημένων, αἱ σκιαὶ ἔτι μᾶλλον ὑποβεβήκασι τῷ μὴ ἔχειν ἐξ ἑαυτῶν τὸ στερέμνιον, ἀλλ’ ἐπερείδεσθαι ἐπ’ ἄλλου. τούτοις δὴ ἔοικε καὶ τὰ διανοητά, λόγον ἔχοντα πρὸς τὰ ἐπιστητὰ καὶ νοητά, ὃν τὰ εἰκαστὰ πρὸς τὰ αἰσθητά τε καὶ δοξαστά. τάς τε γὰρ ἰδέας οἱονεὶ κατ’ ἐπαφὴν ἔχει ὁ νοῦς τὰ ὄντως ὄντα οὔσας, τὰ δὲ διανοητά, ἅπερ ἐστὶ τὰ γεωμετρικά, ὑπὸ τῆς διανοίας βλέπεται, οὐκέτι τῆς διανοίας αὐτοῖς κατ’ εὐθὺ καὶ οἷον κατ’ ἐπιβολὴν πελαζούσης, ἀλλὰ διὰ λόγου μᾶλλον τῆς ἐπ’ αὐτὰ γιγνομένης πελάσεως, καὶ οἷον ἀπὸ τῶν ἰδεῶν κατιόντων ὡς ἐπὶ εἰκάσματα [τὰ] ἐκείνων καὶ εἴδωλα νοητά· τά τε εἰκαστὰ καὶ ἐν ταῖς σκιαῖς ὑποβέβηκε παρὰ τὰ αἰσθητά, τῷ ἐκεῖνα μὲν καθ’ αὑτὰ ὑποπίπτειν τῇ αἰσθήσει κατ’ εὐθυωρίαν, τὰ δὲ ἐν ἄλλῳ καὶ ἐπ’ ἄλλῳ καὶ δι’ ἄλλο θεωρεῖσθαι. οὐ γὰρ δὴ καθ’ ἑαυτὴν ἡ σκιά, ἀλλ’ ἢ ἐν τῷ ἐδάφει αἰσθητῷ ὄντι καθ’ ἑαυτὸ ἢ ἐν τῷ κατόπτρῳ ἢ ἐν τοῖς ὕδασιν, ἅπερ ἦν καθ’ ἑαυτὰ αἰσθητά. οὕτως οὖν καὶ τὰ μαθηματικά, ὥσπερ ἐν ταῖς ἰδέαις ἔοικε φαντάζεσθαι, καὶ ἐπ’ ἐκείναις ἔχειν τὸ ἐπέρεισμα· οὐ γὰρ δεῖ ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν κατὰ ἀφαίρεσιν ἐπινοεῖσθαι αὐτά, ἀλλ’ ὑποβάντα ἀπὸ τῶν ἰδεῶν τὸ εἰδωλικὸν ἔχειν ἀπ’ ἐκείνων, τῷ προσειληφέναι καὶ μέγεθος καὶ ἐν διαστάσει φαντάζεσθαι. ὅπερ γὰρ ἐν τοῖς τῶν αἰσθητῶν εἰδώλοις τὸ ἀμενηνὸν καὶ καθ’ ἑαυτὸ ἀνεπέρειστον, τοῦτο ἐν τοῖς νοητοῖς τὸ ἔνογκον καὶ διαστατόν· ἀλλ’ ἐπεὶ καὶ τοῦτο σπεύδει πρὸς τὸ ἄογκον καὶ ἀμερές, ἐπαναπαύεσθαι ἔοικεν ἐν τῇ τῶν ἰδεῶν ἀμερείᾳ, ὡς αἱ σκιαὶ ἐν τῇ τῶν αἰσθητῶν ἀντιτυπίᾳ. ὥσπερ τοίνυν τὰ διανοητὰ τῶν νοητῶν κεχώρισται, οὕτω καὶ ἡ διάνοια τῆς νοήσεως. διόπερ καὶ Βροτῖνος ἐν τῷ Περὶ νοῦ καὶ διανοίας χωρίζων αὐτὰ ἀπ’ ἀλλήλων τάδε λέγει· ‛ἁ δὲ διάνοια τῶ νῶ μεῖζόν ἐστι, καὶ τὸ διανοατὸν τῶ νοατῶ· ὁ μὲν γὰρ νόος ἐστὶ τό τε ἁπλόον καὶ τὸ ἀσύνθετον καὶ τὸ πρᾶτον νοέον καὶ τὸ νοεόμενον (τοιοῦτον δ’ ἐστὶ τὸ εἶδος· καὶ γὰρ ἀμερὲς καὶ ἀσύνθετον καὶ πρᾶτόν ἐστι τῶν ἄλλων), ἁ δὲ διάνοια τό τε πολλαπλόον καὶ μεριστὸν καὶ τὸ δεύτερον νοέον (ἐπιστάμαν γὰρ καὶ λόγον τὸν προσείληφε), παραπλησίως δὲ καὶ τὰ διανοατά, ταῦτα δ’ ἐντὶ τὰ ἐπιστατὰ καὶ τὰ ἀποδεικτὰ καὶ τὰ καθόλω τὰ ὑπὸ τῶ νόω διὰ τῶ λόγω καταλαμβανόμενα.’ ἐν δὴ τούτοις μεῖζον μὲν λέγει τὴν διάνοιαν καὶ τὸ διανοητόν, οὐ τῇ δυνάμει ἀλλὰ τῷ πλήθει (ἐναντίως δ’ ἔχει ταῦτα πρὸς ἄλληλα), ἀφορίζεται δὲ αὐτὰ ἀπὸ τοῦ νοῦ καὶ τῶν νοητῶν οὐ τούτοις μόνον, ἀλλὰ καὶ τῷ τὰ μὲν ἁπλᾶ εἶναι καὶ ἀσύνθετα τὰ δὲ πολυειδῆ καὶ σύνθετα, καὶ διότι τὰ μὲν πρώτως νοεῖ καὶ νοεῖται τὰ δὲ δευτέρως καὶ παρ’ ἐκείνων λαμβάνοντα τὴν τούτων ἐνέργειαν, καὶ τὰ μὲν ἐν εἴδεσιν ἐνέστηκε τὰ δὲ ἐν λόγοις πολλαπλῆν ποιεῖται τὴν ἐνέργειαν, καὶ τὰ μέν ἐστιν ἀμέριστα τὰ δὲ μεριστά, καὶ τὰ μὲν κρείττον ἀποδεικτικοῦ συλλογισμοῦ τὰ δὲ συλλογίζεταί τι περὶ τῶν ὄντων, καὶ τὰ μὲν αὐτά ἐστι τὰ ὄντα τὰ δὲ ἐν τοῖς καθόλου περιείληφε καὶ συνεμφαίνει τὰ καθ’ ἕκαστον, καὶ τὰ μὲν ἀύλοις καὶ καθαραῖς ἐνεργείαις χρῆται τὰ δὲ συμμεμιγμένην ἔχει τὴν νόησιν· τῷ γὰρ νῷ διὰ τοῦ λόγου καταλαμβάνει τὰ οἰκεῖα γνωστά, ἢ τῷ νῷ μετὰ τοῦ λόγου. συμβαίνει δὴ οὖν ἐκ τούτων τά τε κρινόμενα πράγματα καὶ τὰ κριτήρια αὐτῶν διεστηκέναι ἀπ’ ἀλλήλων, ὡς τὰ μὲν διανοητὰ τῶν νοητῶν διαφέρειν, τὴν δὲ διάνοιαν τοῦ νοῦ.

Ἔτι δὲ σαφέστερον Ἀρχύτας ἐν τῷ Περὶ νοῦ

καὶ αἰσθήσεως διακρίνει τὰ κριτήρια τῶν ὄντων, καὶ τὸ τῶν μαθηματικῶν οἰκειότατον κριτήριον παρίστησι διὰ τούτων· ‛ἐν ἁμῖν’ γὰρ ‛αὐτοῖς’, φησί, ‛κατὰ ψυχὰν γνώσιές εἰσι τέσσαρες, νόος ἐπιστάμα δόξα αἴσθησις, ὧν αἱ μὲν δύο τοῦ λόγου ἀρχαί ἐντι, οἷον νόος αἴσθασις, τὰ δὲ δύο τέλη, οἷον ἐπιστάμα καὶ δόξα· τὸ δ’ ὅμοιον ἀεὶ τοῦ ὁμοίου γνωστικόν. φανερὸν ὦν ὅτι ὁ μὲν νόος ἐν ἁμῖν τῶν νοατῶν γνωστικόν, ἁ δὲ ἐπιστήμη τῶν ἐπιστατῶν, ἁ δὲ δόξα τῶν δοξαστῶν, ἁ δὲ αἴσθασις τῶν αἰσθατῶν· διόπερ ὦν δεῖ μεταβαίνεν ἀπὸ μὲν τῶν αἰσθατῶν ἐπὶ τὰ δοξαστὰ τὰν διάνοιαν, ἀπὸ δὲ τῶν δοξαστῶν ἐπὶ τὰ ἐπιστατά, καὶ ἀπὸ τούτων ἐπὶ τὰ νοατά· ταῦτα δὲ σύμφωνα ποιητά, θεωρούμενα δι’ αὐτῶν ἀλάθεα. διωρισμένων δὲ τούτων τὰ μετὰ ταῦτα δεῖ νοῆσαι. καθάπερ γὰρ γραμμὰν δίχα τετμαμένην καὶ ἴσα πάλιν ἑκατέρων τμήματα τετμαμένα ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον, καὶ οὕτω διῃρήσθω καὶ τὸ νοατὸν ποττὸ ὁρατόν, καὶ πάλιν ἑκάτερον οὕτως διωρίσθω, καὶ διαφέρεν σαφηνείᾳ τε καὶ ἀσαφείᾳ ποττἆλλα· τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον τῶ μὲν δὴ αἰσθατῶ τὸ μὲν ἅτερον τμῆμά ἐστι τά τε εἴδωλα τὰ ἐν τοῖς ὕδασι καὶ ἐν τοῖς κατόπτροις, τὸ δ’ ἕτερον μέρος, ὧν ταῦτα εἰκόνες, φυτὰ καὶ ζῷα· τῶ δὲ νοατῶ τὸ μὲν ἀνάλογον ἔχον ὡς αἱ εἰκόνες τὰ περὶ τὰ μαθήματα γένη ἐντί· οἱ γὰρ περὶ τὰν γαμετρίαν ὑποθέμενοι τό τε περισσὸν καὶ τὸ ἄρτιον καὶ σχάματα καὶ γωνιᾶν τρισσὰ εἴδεα, ἐκ τούτων πραγματεύονται τὰ λοιπά, τὰ δὲ πράγματα ἐῶντι ὡς εἰδότες, λόγον τε οὐκ ἔχοντι διδόμεν οὔτ’ αὐτ〈αύτ〉οις οὔτ’ ἄλλοις· ἀλλὰ τοῖς μὲν αἰσθατοῖς, ὡς εἰκός, χρῶνται, ζατοῦντι δὲ οὐ ταῦτα, οὐδὲ τούτων ἕνεκα ποιεῦνται τὼς λόγως, ἀλλὰ τᾶς διαμέτρω χάριν καὶ αὐτῶ τετραγώνω. τὸ δ’ ἅτερον τμᾶμά ἐντι τῶ νοατῶ, περὶ ὃ διαλεκτικὰ κατασχόληται· αὐτὰ γὰρ τῷ ὄντι τὰς ὑποθέσιας [ἀλλ’] ὑποθέσιας, ἀλλ’ ἀρχάς τε καὶ ἐπιβάσιας ποιεῖται 〈, ἵνα〉 μέχρι τῶ ἀνυποθέτω ἐπὶ παντὸς ἀρχὰν ἔλθῃ, καὶ πάλιν ἐχομένα καταβᾷ ἐπὶ τὰν τελευτὰν οὐδενὶ προσχρωμένα αἰσθατῷ, ἀλλ’ εἰδέεσσιν αὐτοῖς δι’ αὑτῶν. ἐπὶ δὲ τέτταρσι τούτοις τμάμασι καλῶς ἔχει διανέμεν καὶ τὰ πάθεα τᾶς ψυχᾶς· καὶ καλέσαι νόασιν μὲν ἐπὶ τῷ ἀκροτάτῳ, διάνοιαν δὲ ἐπὶ τῷ δευτέρῳ, ἐπὶ δὲ τῷ τρίτῳ πίστιν, εἰκασίαν δὲ ἐπὶ τῷ τετάρτῳ.’

Οἶμαι τοίνυν καὶ διὰ τούτων κατάδηλον γεγονέναι,

ὡς τέσσαρες μέν εἰσι διαφοραὶ τῶν ὄντων, τέτταρες δὲ τῆς κρίσεως ἀρχαί, καὶ ὡς ὁ λόγος μέσην ἔχων ἐφάπτεται τῶν δύο ἄκρων, νοητῶν τε καὶ αἰσθητῶν, ἐν τέλους τάξει πρὸς τὸν νοῦν καὶ τὴν αἴσθησιν καθιστάμενος ὡς ἀρχὰς οὔσας ἑαυτοῦ καὶ ὑπ’ αὐτῶν ἀποτελούμενος. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο ἀξίωμα κοινὸν περὶ πάσης γνωριστικῆς δυνάμεως, ὡς τῷ ὁμοίῳ τὰ ὅμοια γιγνώσκεται. ἔνεστιν οὖν καὶ ἀπ’ ἀμφοτέρων ἀμφότερα καὶ ἀπὸ τῶν ἑτέρων τὰ ἕτερα τούτων καταμανθάνειν, τάς τε ἴσας διαιρέσεις κοινῶς τε καὶ ἰδίως οἷόν τε ἐπ’ αὐτῶν ποιεῖσθαι, τάξιν τε μεταβάσεως ἀπὸ τῶν ἑτέρων ἐπὶ τὰ ἕτερα, τουτέστιν ἀπὸ τῶν καταδεεστέρων ἐπὶ τὰ ἀνωτέρω· καὶ ἀναγωγὴν πάντων καὶ σύνταξιν ἐπὶ τὸν νοῦν ὅπως δεῖ ποιεῖσθαι διώρικε. τὸ δὴ μετὰ τοῦτο τὴν γραμμὴν κατατέμνει, μίαν μὲν οὖσαν, ἵνα ὡς ἓν τὸ γνωριστικὸν ὑπολάβωμεν, δίχα δὲ ταύτην διαιρεῖ κατὰ τὰς πρώτας διαφορὰς τῶν ὄντων καὶ τὰς ἐπ’ αὐτοῖς διχῇ διῃρημένας κρίσεις. ἴσας δὲ αὐτὰς τίθεται κατὰ τὴν τῶν λόγων μετουσίαν καὶ τῶν εἰδῶν καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν μετεχόντων πρὸς τὰ μετεχόμενα, καὶ διότι ἡ ἀναλογία ἡ αὐτή πώς ἐστιν ἐπ’ ἀμφοτέρων. πάλιν δ’ ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον διαιρεῖ, ἐπειδὴ δι ὅλου ἡ γνωστικὴ δύναμις ὁμοειδής ἐστι πρὸς ἑαυτήν, τάς τε διαφορὰς αὐτῆς ποιεῖται σαφηνείᾳ τε καὶ ἀσαφείᾳ καὶ τῷ τελέως ὡρίσθαι ἢ τῷ ἐνδεῶς, πρὸς ἄλληλά τε αὐτῶν τὴν διάκρισιν ἐπιδείκνυσι, κατὰ τί παραλλάττει καὶ ὑποδεέστερά ἐστι τὰ δεύτερα τῶν προτέρων. πρῶτον δὲ διαιρεῖ τὸ αἰσθητὸν ὡς γνωριμώτερον, καὶ λαμβάνει αὐτοῦ τὴν κατ’ εἰκόνα ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν φαινομένην ὑπόστασιν, τὰ εἴδωλα τὰ ἐν τοῖς ὕδασι καὶ ἐν τοῖς κατόπτροις, ὡς μίαν τινὰ φύσιν ἀποτεμών. τὸ δ’ ἕτερον μέρος ἀφορίζει τὸ ἀληθινόν, ὧν ταῦτά εἰσιν εἰκόνες, οἷον φυτὰ καὶ ζῷα. ἀπὸ γὰρ τούτων εἰκασία γίγνεται τῶν εἰδώλων κατὰ ἀνάκλασιν εἰς ταῦτα τῆς αἰσθήσεως [κατὰ δεύτερον τρόπον] ἐπιστρεφομένης, καὶ οὕτως αὐτὰ γιγνωσκούσης δευτέρως ὥσπερ καὶ ὑφίσταται κατὰ δεύτερον τρόπον, τοῖς δὲ αἰσθητοῖς αὐτόθεν ἐπιβαλλούσης ὥσπερ καὶ ὑφίσταται πρώτως καὶ ἐν αὑτοῖς ἔχει τὴν ἔνυλον ὑπόστασιν. ἀπὸ δὴ τῆς τούτων ἀναλογίας καὶ τὸ ἕτερον τμῆμα δυνατόν ἐστι καταμαθεῖν. ταῖς μὲν γὰρ εἰκόσι τὰ περὶ τὰ μαθήματα γένη ἐστὶν ἀνάλογον, καὶ αἱ γνώσεις αὐτῶν ταῖς εἰκασίαις τῶν εἰδώλων ἔχουσί τινα ὁμοιότητα· ἀπό τε γὰρ τῶν νοήσεων λαμβάνουσι τὴν ἐνέργειαν καὶ ἀπὸ τῶν νοητῶν ἐπὶ τὰ μαθηματικὰ ὡς εἰκόνας μεταβαίνουσιν, ὑποθέσεσί τε χρῶνται καὶ τὴν αἰτίαν οὐκ ἐπίστανται. καὶ τοῦτό ἐστι τὸ κριτήριον τῶν μαθηματικῶν, ἑτέρου τε πράγματος ὑπάρχον προγνωστικόν, ἀλλ’ οὐχὶ τοῦ νοητοῦ, καὶ ἑτέρᾳ γνώσει ἀντιλαμβανόμενον τοῦ διανοητοῦ, ἀλλ’ οὐχὶ τῇ νοήσει· αὕτη γὰρ τοῦ διαλεκτικοῦ ἐστι κριτήριον, καὶ δι’ αὐτῆς τὰ ὄντα καὶ τὰ εἴδη καὶ τὰ ἀνυπόθετα πάντα θεωρεῖ καὶ λόγον ἔχει περὶ πάντων δοῦναι, αἰσθητῷ τε οὐδενὶ προσχρῆται, ἀλλὰ τοῖς νοητοῖς εἴδεσι. τεττάρων δὴ οὐσῶν τῶν κρινουσῶν δυνάμεων τάξις τις αὐτῶν θεωρεῖται καὶ ἐνέργειαι διῃρημέναι τυγχάνουσιν, ἐπὶ μὲν τῷ ἀκροτάτῳ νόησις, ἐπὶ δὲ τῷ δευτέρῳ διάνοια, ἐπὶ δὲ τῷ τρίτῳ πίστις, εἰκασία δὲ ἐπὶ τῷ τετάρτῳ.

Ἐκ δὴ τούτων ἐκ διαιρέσεως πέφηνεν ἱκανῶς ὅ τι ποτ’ ἐστὶ τὸ τῶν μαθημάτων κριτήριον.

Εἰ δὲ δεῖ καὶ ὡρισμένως τὸ λοιπὸν περιλαβεῖν τὸ εἶδος τῆς μαθηματικῆς τί τέ ἐστι καὶ πῶς ὑφέστηκεν, ἴδωμεν πρώτην δόξαν τῶν εἰς ψυχὴν αὐτὴν ἀναφερόντων· εἰς γὰρ τοῦτο ὡρισμένως δυνηθείη ἄν τις ἐπερεῖσαι τὴν διάνοιαν.

Ἓν μὲν οὖν γένος τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν [τῶν] ὄντων οὐκ ἄν τις αὐτὴν εὐλόγως θείη κατὰ τὴν τοιαύτην ἐπιβολὴν τῆς θεωρίας· μεριστὴ γὰρ ἂν οὕτω γένοιτο ἡ περὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας γνῶσις. διόπερ οὔτε ἰδέαν τοῦ πάντῃ διαστατοῦ οὔτε ἀριθμὸν αὐτοκίνητον οὔτε ἁρμονίαν ἐν λόγοις ὑφεστῶσαν οὔτε ἄλλο οὐδὲν τοιοῦτο κατ’ ἰδίαν ἀφοριστέον περὶ αὐτῆς, κοινῇ δὲ συμπλέκειν πάντα ἄξιον, ὡς τῆς ψυχῆς καὶ ἰδέας οὔσης ἀριθμίου καὶ κατ’ ἀριθμοὺς ἁρμονίαν περιέχοντας ὑφεστώσης, πάσας τε συμμετρίας κοινῶς, ὅσαι ποτέ εἰσιν ὑπὸ τὴν μαθηματικήν, ὑπὸ ταύτην ὑποτακτέον, τάς τε ἀναλογίας ὅλας ὑπ’ αὐτὴν θετέον. διὰ δὴ τοῦτο γεωμετρικῇ τε ὁμοῦ καὶ ἀριθμητικῇ καὶ ἁρμονικῇ ἀναλογίᾳ συνυπάρχει, ὅθεν δὴ καὶ λόγοις

τοῖς κατ’ ἀναλογίαν ἡ αὐτή ἐστι, ταῖς τε ἀρχαῖς τῶν ὄντων ἔχει τινὰ συγγένειαν καὶ πάντων ἐφάπτεται τῶν ὄντων καὶ πρὸς πάντα ὁμοιοῦσθαι δύναται.

Αἰτίαι μὲν οὖν εἰσι τοιαῦται τῆς τοιαύτης ὑπολήψεως. πρὸς δὲ τὴν θεωρίαν ἀφορμαὶ ἂν γένοιντο τὴν μαθηματικὴν ὁμοῦ καὶ τὴν περὶ τῆς ψυχῆς, εἰ κατίδοιμεν ὡς τὸ πεπερασμένον πᾶν καὶ ὡρισμένον ἀπὸ τῶν ἀριθμῶν εἰς αὐτὴν ἐφήκει, ὁ δ’ ἑνιαῖος λόγος ἀπὸ τῆς τοῦ ἑνὸς φύσεως, ἡ δὲ εἰς μέγεθος καὶ αὔξησιν προϊοῦσα δύναμις καὶ ἔχουσα περιουσίαν, ὥστε πᾶσι διδόναι αὐτὴν τοῖς μετρίοις, ἀπὸ τῆς γεωμετρικῆς οὐσίας πάρεστιν· ἡ δὲ δύναμις τῆς ἐναρμονίου κινήσεως τάξις τε καὶ ἀλόγων συμμετρία ἥ τε ἐν ἀριθμοῖς συμφώνοις ἢ συμφωνίαν περιέχουσιν εὐμετρία ἀπὸ τῆς κατ’ οὐσίαν ἁρμονίας παραγίγνεται. διόπερ καὶ ἁρμονιῶν κατακούει ἡ ψυχὴ καὶ χαίρει τοῖς ἡρμοσμένοις, ὡς οὖσα καὶ αὐτὴ ἁρμονία, ἔκ τε ἀριθμῶν καὶ ἄλλων τοιούτων μαθηματικῶν μέτρων τὴν οὐσίαν ἐχει, ἅπερ συγγένειαν παρεδέξατο πρός τε τὰ νοητὰ εἴδη καὶ πρὸς τὰς αἰσθητὰς οὐσίας καὶ τὰ ἔνυλα εἴδη· πρὸς γὰρ πάντα ταῦτα ἡ παροῦσα δόξα δίδωσι θεωρίας ἀφορμήν, ὡς ἱκανῆς οὔσης τῆς οὕτως ὑποτιθεμένης μαθηματικῆς δόξης πάντα τὰ τοιαῦτα νοήματα παρέχειν. ἵνα δὲ συνέλωμεν τὴν ὅλην δόξαν, ἐν λόγοις κοινοῖς πάντων τῶν μαθημάτων τὴν ψυχὴν νοοῦμεν οὖσαν, ἔχουσαν μὲν τὸ κριτικὸν αὐτῶν, ἔχουσαν δὲ καὶ τὸ γεννητικόν τε καὶ ποιητικόν αὐτῶν τῶν ἀσωμάτων μέτρων, οἷς καὶ τὴν γενεσιουργίαν δύναταί τις προσαρμόζειν

τῶν ἐνύλων εἰδῶν τήν τε δι’ εἰκόνων ἀπεργασίαν, ἐκ τῶν ἀφανῶν εἰς τὸ φανερὸν προϊοῦσαν, συνάπτουσάν τε τὰ ἔξω τοῖς εἴσω. κατὰ γὰρ πάντα ταῦτα, ὡς συλλήβδην εἰπεῖν, ὁ τῆς ψυχῆς λόγος περιέχει ἀφ’ ἑαυτοῦ τὴν ὅλην τῶν μαθημάτων συμπλήρωσιν.