Περί της κοινής μαθηματικής επιστήμης (4)

Εἰ δὲ δεῖ καὶ τὰς ἰδίας ἀρχὰς καθ’ ἕκαστον τῶν μαθημάτων ἀφορίσασθαι, τίνες τέ εἰσι καὶ ὁποῖαι καὶ τίνα ἔχουσαι τὴν καθ’ αὑτὰς ἰδιότητα καὶ τὴν πρὸς ἀλλήλας διαφορὰν καὶ τὴν πρὸς ἁπάσας τὰς ἄλλας ἀρχὰς πάντων τῶν ὄντων, καιρός ἐστιν ἤδη καὶ περὶ τούτων διελθεῖν. πάντων δὲ ἄριστον, ἐπεὶ τάξις τίς ἐστιν ἐν αὐτοῖς, καὶ τὰ μὲν ὡς πρότερα προηγεῖται οὐ τῇ τάξει μόνον ἀλλὰ καὶ τῇ φύσει (συναναιρεῖ μὲν γὰρ οὐ συναναιρεῖται δέ, καὶ συνεπιφέρει μὲν οὐ συνεπιφέρεται δέ),

τὰ δὲ ἐν ἀμφοτέροις τούτοις ἀπολείπεται πρεσβείᾳ καὶ ἁπλότητι, τούτων δὴ ἕνεκα καὶ ἡμῖν προσήκει τῇ κατὰ φύσιν αὐτῶν τάξει συνακολουθῆσαι, καὶ πρῶτον μὲν εἰπεῖν περὶ τῶν πρώτων, ἔπειθ’ οὕτω περὶ τῶν ἄλλων.

Τῶν δὴ ἀριθμῶν τῶν μαθηματικῶν δύο τὰς πρωτίστας καὶ ἀνωτάτω ὑποθετέον ἀρχάς, τὸ ἕν (ὅπερ δὴ οὐδὲ ὄν πω δεῖ καλεῖν, διὰ τὸ ἁπλοῦν εἶναι καὶ διὰ τὸ ἀρχὴν μὲν ὑπάρχειν τῶν ὄντων, τὴν δὲ ἀρχὴν μηδέπω εἶναι τοιαύτην οἶα ἐκεῖνα ὧν ἐστιν ἀρχή), καὶ ἄλλην πάλιν ἀρχὴν τὴν τοῦ πλήθους, ἣν καὶ διαίρεσιν οἷόν τ’ εἶναι καθ’ αὑτὸ παρέχεσθαι, καὶ διὰ τοῦτο ὑγρᾷ τινι παντάπασι καὶ εὐπλαδεῖ ὕλῃ, προσηκόντως εἰς δύναμιν παραδεικνύντες, ἀποφαίνοιμεν ἂν ὁμοίαν εἶναι· ἐξ ὧν ἀποτελεῖσθαι, τοῦ τε ἑνὸς καὶ τῆς τοῦ πλήθους ἀρχῆς, τὸ πρῶτον γένος, ἀριθμῶν ἐξ ἀμφοτέρων τούτων μετά τινος πιθανῆς ἀνάγκης συντιθεμένων. καὶ χρὴ καθ’ ἕκαστον ἐπεξιόντα τῶν ἀριθμῶν διαίρεσιν μὲν ἅπασαν λέγειν ἅπαντι ἀριθμῷ καὶ μέγεθος ὡς καθόλου εἰρῆσθαι ταύτην τὴν φύσιν παρέχεσθαι, τὸ δὲ ποιὸν εἶναι ἕκαστον αὐτῶν, ἔτι δὲ ὡρισμένον καὶ ἕν, τὴν ἀδιάφορον καὶ ἄτμητον ἀρχὴν ἐπισφραγιζομένην ἀποτυποῦν. κακὸν δὲ ἢ αἰσχρὸν τὸ τοιοῦτον οὐ προσῆκον ἴσως ἐστὶ τιθέναι, ᾧ συμβαίνει μεγέθους τε καὶ διαιρέσεως, ἔτι δὲ αὔξης, καθ’ ἑαυτὸ αἰτίῳ εἶναι· οὔτε γὰρ ἐν τοῖς ἄλλοις τὸ τοιοῦτο γένος εἰς κακὴν μοῖραν εἰώθαμεν τιθέναι, ἔστιν ὅτε δὲ τοῦ μεγαλοπρεποῦς καὶ ἐλευθερίου μετὰ ποιότητος συμπλεκόμενόν τινος τὸ μέγα αἴτιον λέγοιμεν ἂν ἴσως ἀληθεύοντες·

ὥστε πολλοῦ δέον ἂν εἴη κακὸν προσαγορεύεσθαι αὐτό. εἰ γὰρ δὴ καὶ τὴν τοῦ ἑνός τις φύσιν ἐπαινῶν τυγχάνοι δι’ αὐτάρκειάν τε καὶ τὸ καλῶν τινων ἐν τοῖς ἀριθμοῖς αἴτιον εἶναι, πῶς οὐκ ἄλογον ἂν εἴη λέγειν τὸ κακὸν ἢ τὸ αἰσχρὸν δεκτικὸν κατὰ φύσιν τοῦ τοιούτου πράγματος εἶναι; οὐ γὰρ ἂν ἔτι πάντῃ συμβαίνοι ψεκτὸν εἶναι τὸ κακὸν καὶ τὸ αἰσχρόν, εἴπερ τὸ δεκτικόν τινος ἐπαινετοῦ καὶ αὐτὸ δεῖ ἐπαινετὸν προσαγορεύειν. αὕτη μὲν οὖν οὕτως ἡμῖν νοείσθω ἀρχή. τὸ δὲ ἓν οὔτε καλὸν οὔτε ἀγαθὸν ἄξιον καλεῖν, διὰ τὸ καὶ τοῦ καλοῦ καὶ τοῦ ἀγαθοῦ ὑπεράνω εἶναι· προϊούσης γὰρ πορρωτέρω ἀπὸ τῶν ἐν ἀρχῇ τῆς φύσεως πρῶτον μὲν τὸ καλὸν ἐφάνη, δεύτερον δὲ καὶ μακροτέραν ἀπόστασιν ἐχόντων τῶν στοιχείων τἀγαθόν. ἡ τοίνυν πρώτη ὑποδοχή τε καὶ μέγεθος, ἢ ὅ τι δήποτε δεῖ προσαγορεύειν αὐτήν, τὸ τῶν ἀριθμῶν εἶδος ἀπετύπωσε, πλήθει μὲν ἀόριστον εἰκότως, εἴδει δέ πως ὡρισμένον ἐκ τῆς τοῦ ἑνὸς παραλαβοῦσα μοίρας. εἰ μὲν οὖν μίαν ἄπειρον ἅπασιν ὑποθήσει τις ὕλην τε καὶ ὑποδοχήν, ἄλογον ὡς τὸ εἰκὸς συμβήσεται τό, τῆς ἑνὸς ἰδέας ἐγγιγνομένης ἐν αὐτῇ, εἴπερ ὁμοία διὰ παντός, μὴ οὐ τὰ αὐτὰ καὶ γένη πάλιν ἀποτελεῖσθαι. ὥστε πάντα ἀριθμοὺς τὰ γένη παντελῶς συμβήσεται εἶναι· διαφορὰν γὰρ οὐχ ἕξομεν ἁρμόττουσαν προσάψαι, διὰ τί δήποτε ἐνθάδε μὲν ἀριθμῶν ἐγεννήθη φύσις, μετὰ δὲ τοῦτο γραμμῶν καὶ ἐπιπέδων καὶ σχημάτων, καὶ οὐκ ἀεὶ τὸ αὐτὸ γένος, ἀπό γε τῶν ὁμοίων καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον ἀλλήλοις συμπλεκομένων στοιχείων. εἰ δέ τις μίαν μὲν ὑποθήσεται τὴν ἅπαντος πλήθους τε καὶ μεγέθους αἰτίαν πρώτην, διαφορὰς δὲ πολλὰς ἐν αὑτῇ παρεχομένην, δι’ ὅπερ ἄλλα καὶ ἄλλα γένη κατὰ πᾶσαν τὴν φύσιν ἀποτίκτειν πεφυκέναι, καίπερ τοῦ ἑνὸς ὁμοίου ἐγγιγνομένου διὰ παντός, οὐδὲ μὴν οὐδὲ τούτου διὰ τὴν παχύτητα τῆς ὕλης ἀκριβῆ τὴν ἑαυτοῦ φύσιν ἐμφαίνοντος ἀεί, καθάπερ ἔν τισιν εἰκαίοις ξύλοις σχῆμα, ταῦτα μὲν οὖν οὐκ ἀλόγως ἂν ἴσως συμβαίνοι αὐτῷ, τὸ δὲ πρῶτον στοιχεῖον εἰς τοσαύτας διαφορὰς διαιρέσεις ἔχειν δυσχεραίνοι ἄν τις προσηκόντως ἴσως, ἄλλως τε καὶ εἰ παντάπασιν εἴη διήκων κατὰ ταῦτα τὰ παραδείγματα· τὸ γὰρ ἁπλούστατον πανταχοῦ στοιχεῖον εἶναι. λοιπὸν οὖν τινα ἑτέραν μεγέθους αἰτίαν ὑποθεμένους, ὡς ἐν ἀριθμοῖς μονάδα κατὰ τὸ ἕν, οὕτως στιγμὴν ἐν γραμμαῖς τιθέναι, θέσιν δὲ καὶ διάστασιν τόπων περί τε γραμμὰς καὶ χωρία καὶ στερεὰ πρῶτον, κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ τόπον ἐνταῦθα φανῆναι παρὰ τὸ τὴν τῆς ὑποδοχῆς διαφορὰν ἴδιόν τι παραδιδόναι τῷ ἀπ’ αὐτῆς γένει. ἔτι δὲ καὶ τὸ συνεχὲς καὶ τὸ συμμεμολυσμένον μᾶλλον τῶν ἀριθμῶν καὶ παχύτερον ἐκ ταύτης ἄν τις αἰτιώμενος καὶ λέγων, ἴσως οὐ διαμαρτάνοι. καὶ μέχρι μὲν δὴ τούτων γένος ἂν εἴη ἀποτετελεσμένον δεύτερον· εἰς ταὐτὸ γὰρ τίθημι γραμμάς τε καὶ στερεὰ καὶ πλάτη χωρίων. πρώτη μὲν οὖν ἡ τῶν ἀριθμῶν ἐστιν ὕλη, δευτέρα δὲ ἡ τῶν γραμμῶν τε καὶ τῶν ἐπιπέδων καὶ στερεῶν σχημάτων. καὶ τῶν ἄλλων δὲ ὡσαύτως μαθημάτων, ὅσα ἂν καὶ ὁποῖα ἂν εὕρῃ ὁ λόγος, τὰς οἰκείας ὑποδοχὰς προυποθετέον.

Καὶ τοῦτο μὲν οὖν οὕτως ἡμῖν ἐχέτω. τὰ δὲ στοιχεῖα, ἐξ ὧν οἱ ἀριθμοί, οὐδέπω ὑπάρχει οὔτε καλὰ οὔτε ἀγαθά· ἐκ δὲ τῆς συνθέσεως τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς τοῦ πλήθους αἰτίας ὕλης ὑφίσταται μὲν ὁ ἀριθμός, πρώτοις δὲ ἐν τούτοις τὸ ὂν φαίνεται καὶ κάλλος, ἐφεξῆς ἐκ τῶν στοιχείων τῶν γραμμῶν τῆς γεωμετρικῆς οὐσίας φανείσης, ἐν ᾗ ὡσαύτως τὸ ὃν καὶ τὸ καλόν, ἐν οἷς [οὔτε] οὐδὲν οὔτε αἰσχρόν ἐστιν οὔτε κακόν· ἐπ’ ἐσχάτῳ δὲ ἐν τοῖς τετάρτοις καὶ πέμπτοις τοῖς συντιθεμένοις ἀπὸ τῶν στοιχείων τῶν τελευταίων κακίαν γενέσθαι οὐ προηγουμένως, ἐκ δὲ τοῦ ἐκπίπτειν καὶ μὴ κατακρατεῖν τινα τοῦ κατὰ φύσιν.

Ἐκ δὴ τούτων φανερόν ἐστι καὶ τίνα ἔχουσι τὴν διαφορὰν αἱ μαθηματικαὶ ἀρχαὶ πρὸς τὰς ἄλλας· τῶν μὲν γὰρ τελευταίων προέχουσι, διότι σωματικῶν πως ἐκείνων οὐσῶν αὗταί εἰσιν ἀσώματοι, τῶν δὲ κατὰ τὴν ζωὴν θεωρουμένων, διότι κατὰ κίνησιν ἐκείνων χαρακτηριζομένων αὗταί εἰσιν ἀκίνητοι, τῶν δὲ νοητῶν, διότι ἀμερίστων ἐκείνων προϋπαρχουσῶν αὗται συνθέσεως καὶ διαιρέσεως ἀρχὴν παρέχονται. οὕτως ἡμῖν ὁ κοινὸς λόγος περὶ τῶν μαθηματικῶν ἀρχῶν καὶ ὁ ἴδιος περὶ ἑκάστων ἐχέτω διορισμόν· πῇ τε διαφέρει τῶν ἄλλων ἀρχῶν, οὑτωσὶ διακεκρίσθω.