Περί της κοινής μαθηματικής επιστήμης (30-34)

Ὅτι δὲ καὶ πρὸς πᾶσαν φιλοσοφίαν καὶ τὰ ὅλα μέρη αὐτῆς πολλὰς καὶ μεγάλας χρείας ἡ

μαθηματικὴ συμβάλλεται, ὑπουργοῦσα τῇ θέᾳ τῶν ὄντων καὶ κατ’ ἴχνος αὐτῇ συνεπομένη, ῥᾴδιον ἐντεῦθεν καταμαθεῖν. οὐκ ἔστιν ἡ τῶν Πυθαγορείων μαθηματικὴ τοιαύτη, ὁποίαν οἱ πολλοὶ ἐπιτηδεύουσιν. ἐκείνη μέν γε τεχνικὴ τὸ πλέον ἐστὶ καὶ σκοπὸν οὐκ ἔχουσα ἕνα οὐδὲ τοῦ καλοῦ καὶ ἀγαθοῦ στοχαζομένη, ἡ δὲ τῶν Πυθαγορείων θεωρητική τέ ἐστι διαφερόντως, καὶ πρὸς τέλος ἓν ἀναφέρει τὰ ἑαυτῆς θεωρήματα, τῷ καλῷ τε καὶ ἀγαθῷ προσοικειοῖ πάντας τοὺς οἰκείους λόγους, καὶ πρὸς τὸ ὂν αὐτοῖς ἀναγωγοῖς χρῆται. ἀπὸ δὴ τῆς τοιαύτης ἀφορμῆς ὁρμωμένη διαστέλλει παρ’ ἑαυτῇ καλῶς, τίνες μὲν θεωρίαι τῶν παρ’ ἑαυτὴν πρὸς θεολογίαν εἰσὶν ἁρμόζουσαι, τάξεώς τε καὶ μέτρων θείων δυνάμεναι μετέχειν, καὶ ταύτας ἀπονέμει τῷ τοιούτῳ μέρει τῆς φιλοσοφίας, τίνες δὲ τῇ τοῦ ὄντος θήρᾳ προσήκουσι πρός τε οἰκείωσιν καὶ συμμετρίαν καὶ περιαγωγήν, καὶ δὴ καὶ τῷ τοιούτῳ μέρει ἀποδίδωσι τὰ τοιαῦτα θεωρήματα. οὐ διαλανθάνει δὲ αὐτὴν οὐδ’ εἴ τινες πρὸς τὴν τοῦ λόγου ἀκρίβειαν ἐπιστημονικῶς συναίρονται, εἴς τε τὸ συλλογίζεσθαι καὶ ἀποδεικνύναι καὶ ὁρίζεσθαι καλῶς ὁδηγοῦσαι, τά τε ψευδῆ διελέγχουσαι καὶ τὰ ἀληθῆ ἀπὸ τῶν ψευδῶν διακρίνουσαι. οὐ μὴν ἀγνοεῖ οὐδὲ τῆς περὶ φύσιν ἱστορίας τὴν ἐπιβάλλουσαν ἁρμονίαν, πῶς τε συνίσταται καὶ πῶς ἐστι χρήσιμος πῶς τε τὰ ἐλλείποντα τῇ φύσει ἀναπληροῖ, καὶ πῶς τὴν ἐπίκρισιν αὐτῶν ποιεῖται. ἔτι τοίνυν πρὸς πολιτείας κάτεισι καὶ ἠθῶν κατασκευὴν βίου τε ὀρθότητα καὶ οἴκου καὶ πόλεων τοὺς οἰκείους ὅρους τῶν μαθημάτων ἀνευρίσκει, καὶ χρῆται αὐτοῖς δεόντως ἕνεκα τοῦ βελτίστου καὶ πρὸς ἐπανόρθωσιν καὶ παιδείαν τὴν ἀρίστην, εὐμετρίαν τε τὴν ἐπιβάλλουσαν, καὶ φυλακὴν μὲν τῶν αἰσχρῶν, τῶν δὲ καλῶν κτῆσιν, κοινῶς τε οὑτωσὶ κατὰ πάντα τὰ μαθήματα καὶ καθ’ ἕκαστον αὐτῶν οἰκείως συναιρουμένη. καὶ μὴν πρός γε τὰ κατὰ φύσιν ἀγαθὰ καὶ πρὸς τὰ τῶν τεχνῶν πλεονεκτήματα τὰ μὲν εὑροῦσα, τὰ δὲ ὡς πάρεργα καταδείξασα ἐν προσθήκης τε μέρει συγκατασκευάσασα, ἔργα τε ἀφ' ἑαυτῆς παρασχομένη καὶ μόρια ἐνίοις ἐνδοῦσα, ἐτελεώσατο τὴν ἀνθρωπίνην ζωήν, ὥστ’ εἶναι αὐτάρκη ἑαυτῇ καὶ μηδενὸς ἐπιδεῖν ὧν βίος δεῖται. ὥστ’ εἰκότως ἂν τὴν ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων ἐπιτηδευομένην μαθηματικὴν συναρμόζοιμεν ἂν φιλοσοφίᾳ, ὡς οἰκείαν καὶ πρόσφορον αὐτῇ ὑπάρχουσαν.

Τοιαύτην δὲ αὐτὴν ὑπάρχουσαν κατὰ πολλὰς ὁδοὺς εὑρίσκομεν χρωμένην τῇ περὶ τὰ πράγματα ἐπιστήμῃ. καὶ γὰρ τοῖς αὐτοῖς μαθήμασι πολλάκις ἐπὶ πολλὰ πράγματα χρῆται, ἤτοι φυσικὰ ἢ θεολογικά ἢ ἐπὶ τὴν γένεσιν ἢ ἐπὶ τὰ στοιχεῖα ἢ ὅσα γενεσιουργίας ἔχεται ἢ ἐπὶ τὰ σύνθετα ἢ ἐπὶ τὰ ἁπλᾶ, οἷον τοῖς ἀριθμοῖς πρὸς πάντα ταῦτα χρῆται καὶ ταῖς ἁρμονίαις καὶ τοῖς σχήμασι καὶ τοῖς ἄλλοις τοῖς τοιούτοις· ἐνίοτε δὲ πλείονα ἅμα τοῦ αὐτοῦ δηλωτικὰ συμπαραλαμβάνει, οἷον τῆς ψυχῆς ἀριθμούς, ἁρμονίας, σχήματα, ἄλλ’ ἄττα μαθηματικά. αἴτιον δὲ τοῦ μὲν προτέρου τὸ πολυειδεῖς εἶναι τὰς φύσεις ἑκάστου τῶν μαθημάτων καὶ ἑκάστης μαθηματικῆς

οὐσίας (διὰ γὰρ τοῦτο τοῖς αὐτοῖς ἐπὶ πολλὰ χρώμεθα, οἷον τοῖς ἀριθμοῖς ἐπὶ τὰ θεολογικὰ καὶ τὰ φυσικά), τοῦ δὲ δευτέρου αἴτιόν ἐστι τὸ συγκεκρᾶσθαί τινα τῶν ὄντων ἀπὸ πολλῶν οὐσιῶν καὶ τὸ μέσα εἶναι πλειόνων ἄκρων. διὰ γὰρ τοῦτο ἡ ψυχὴ καὶ αἱ μέσαι φύσεις πᾶσαι πλείοσι μαθήμασιν ἀναδιδάσκονται, ὡς πρὸς πλείονας μαθηματικὰς οὐσίας ἐφαρμόζειν δυνάμεναι καὶ ἀπὸ πλειόνων παραλαμβάνουσαι τὴν βεβαίωσιν τοῦ εἶναι. ταῦτα μὲν οὖν τοιοῦτόν τινα ἂν ἔχοι λόγον.

Ἔθος δ’ ἐστὶ τῇ μαθηματικῇ θεωρίᾳ καὶ περὶ αἰσθητῶν ἐνίοτε μαθηματικῶς ἐπιχειρεῖν, οἷον περὶ τῶν τεττάρων στοιχείων γεωμετρικῶς ἢ ἀριθμητικῶς ἢ ἁρμονικῶς, καὶ περὶ τῶν ἄλλων ὡσαύτως. ἐπεὶ γὰρ προτέρα ἐστὶ τῇ φύσει ἡ μαθηματικὴ θεωρία καὶ ἀπὸ προτέρων τῶν κατὰ φύσιν ὄντων ὁρμᾶται, διὰ τοῦτο καὶ τοὺς συλλογισμοὺς ποιεῖται ὡς ἐκ προτέρων αἰτίων ἀποδεικτικούς. πλειοναχῶς δὲ τοῦτο ποιεῖ· ἢ κατὰ ἀφαίρεσιν, ὅταν τὰ ἔνυλα εἴδη ἀφελοῦσα ἀπὸ τῆς ὕλης ἐπισκοπῇ μαθηματικῶς· ἢ κατὰ ἐφαρμογήν, ὅταν τοὺς λόγους τοὺς μαθηματικοὺς ἐπάγῃ τοῖς φυσικοῖς καὶ συνάπτῃ· ἢ κατὰ τελείωσιν, ὅταν ἀτελῆ ὄντα τὰ εἴδη τὰ σωματοειδῆ προστιθεῖσα τὸ ἐλλεῖπον ἀναπληρώσῃ· ἢ κατὰ ἀπεικασίαν, ὅταν τὰ ἴσα καὶ σύμμετρα τὰ ἐν τῇ γενέσει κατὰ τί μάλιστα ἀφωμοίωται τοῖς μαθηματικοῖς εἴδεσιν ἐπιβλέπῃ· ἢ κατὰ μετοχήν, ὅταν τῶν καθαρῶν λόγων οἱ ἐν ἄλλοις ὄντες λόγοι κατὰ τί μετέχουσιν ἐπισκοπῶμεν· ἢ κατὰ

ἔμφασιν, ἡνίκα ἂν ἀμυδρὸν ἴχνος τοῦ μαθηματικοῦ ἐμφανταζόμενον περὶ τὰ αἰσθητὰ θεωρῶμεν· ἢ κατὰ διαίρεσιν, ὅταν τὸ ἓν καὶ ἀμέριστον μαθηματικὸν εἶδος μεριζόμενον περὶ τὰ καθ’ ἕκαστον καὶ πληθυνόμενον κατανοήσωμεν· ἢ κατὰ παραβολήν, ὅταν παρ’ ἄλληλα συνεπισκοπῶμεν τὰ καθαρὰ τῶν μαθημάτων εἴδη καὶ τὰ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς· ἢ κατὰ τὴν αἰτίαν τὴν ἀπὸ τῶν προτέρων, ὅταν αἴτια προστησάμενοι τὰ μαθηματικὰ συνεπισκοπῶμεν πῶς ἀπ’ αὐτῶν γίνεται τὰ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς. οὕτω γὰρ οἶμαι περὶ πάντων τῶν ἐν τῇ φύσει καὶ τῶν ἐν τῇ γενέσει μαθηματικῶς ἐπιχειροῦμεν. ἀφ’ ἧς δὴ αἰτίας πολλὰ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν οὐ μένει ἐπὶ τῶν μαθημάτων, ἀλλὰ ἕλκεται ἐπὶ τὰ καταδεέστερα αὐτῶν, ἤτοι διὰ τὴν τῶν χρωμένων προαίρεσιν, ἢ καὶ διὰ τὴν τῶν πραγμάτων τῶν αἰσθητῶν πρὸς αὐτὰ συγγένειαν. ἐνίοτε δὲ καὶ ἐπὶ τὰ μείζονα ἀνάγεται ἡ ἀπὸ τῶν μαθημάτων ἀφορμή, καὶ ἐπὶ πάντα τὰ ἄλλα πράγματα, ἐπειδὴ εὐφυής ἐστιν ἡ ἀσώματος οὐσία προσοικειοῦσθαι ταῖς καθαραῖς οὐσίαις τῶν ὄντων, καὶ διότι τὰ μαθήματα πᾶσιν ἀφομοιοῦσθαι πέφυκεν. τοσαῦτα δὴ καὶ περὶ τούτων.

Ἐπεὶ δὲ τὸ κοινὸν τῆς ὅλης μαθηματικῆς ἐπιστήμης γένος κυριώτατόν ἐστιν εἰς ἐπιστήμην τῆς παρούσης θεωρίας, δεῖ μάλιστα τοῦτο κατιδεῖν, κατὰ τί ἔχει τὸ κοινὸν ἡ πᾶσα μαθηματική. ἐὰν γὰρ τοῦ τὸ ἓν αὐτῆς κατίδωμεν γένος καὶ τὴν κοινὴν οὐσίαν γνῶμεν αὐτῆς, τελεωτάτην ἕξομεν περὶ αὐτῆς εἴδησιν. ἤδη μὲν οὖν καὶ ἐν ἀρχῇ περὶ τούτου προδιεσκεψάμεθα,

πλὴν δεῖ γε καὶ κορυφὴν ἐπιτιθέναι ἐπὶ τῷ τέλει τὴν αὐτὴν τῇ προκαταβληθείσῃ ἀρχῇ. καὶ νῦν οὖν πάλιν ἐπαναλάβωμεν τὸν περὶ τοῦ ἑνὸς γένους τῆς μαθηματικῆς θεωρίας λόγον.

Φημὶ δὴ οὖν ὡς τὸ μέσον ἁπλῶς οὑτωσὶ τῶν τε νοητῶν καὶ αἰσθητῶν εἰδῶν κοινόν ἐστι γένος ταύτης τῆς ἐπιστήμης, τὸ περιέχον ἐν ἑαυτῷ πάντα ὁπόσα ἐστὶ καὶ ὁποῖα διάφορα εἴδη, μετέχον μὲν τῶν τοῦ ὄντος γενῶν πρώτως, συνειληφὸς δὲ ἐν ἑαυτῷ τὰ τῶν αἰσθητῶν γένη, καθαρότητι δὲ καὶ ἀκριβείᾳ καὶ λεπτότητι καὶ ἀσωματίᾳ παντελῶς αὐτῶν προέχον, δυνάμεις δὲ περιέχον ἐν ἑαυτῷ παντοίας, τὰς μὲν ἐπὶ τὰ ὄντα ἀναγούσας τὰς δὲ ἐπὶ τὴν γένεσιν ἐπιρρεπούσας, καὶ γνώσεις ὡσαύτως. τοῦτο δὲ τοιοῦτον ἓν τιθέμενοι τὰς διαφορὰς αὐτοῦ νοήσωμεν κατὰ τὰς διχοτομίας τῆς μέσης ταύτης φύσεως, ὧν τὴν μὲν ἐχομένην τοῦ ὄντος ἀφορισώμεθα, τὴν δὲ τῶν αἰσθητῶν ἀντιλαμβανομένην καὶ πρὸ αὐτῶν ἑστηκυῖαν· πάλιν δὲ καθ’ ἑκάτερον τούτων τῶν εἰδῶν ἄλλους καὶ ἄλλους ὅρους λαμβάνοντες, τὸ μέσον διαφόρως τῶν μαθημάτων ληψόμεθα ἢ κατὰ τὸ ποσὸν ἢ κατ’ ἄλλο τι γένος τούτου διακρίνοντες. καὶ ἡ ἀπόστασις δὲ ἀπὸ τοῦ ὄντος ἢ πορρωτέρω οὖσα ἢ ἐγγὺς παρέξει τὸ διάφορον τοῖς μαθήμασιν. ἔτι δὲ ἡ προήγησις τῶν ἐν τῇ συστάσει τοῦ παντός, πρώτη οὖσα ἢ δευτέρα, καὶ αὐτὴ ἐμποιεῖ τινας διαφορὰς τῶν μαθημάτων. τὴν δὲ τάξιν αὐτῶν ἢ κατὰ τὸ ἐφεξῆς ἢ κατὰ τὸ συνεχὲς ἢ κατὰ τὸ ἐχόμενον ἢ κατ’ ἄλλην συνέχειαν ἀνευρίσκειν ὀφείλομεν.

ταύτῃ δὲ τῇ ἀφ’ ἑνὸς προϊούσῃ καὶ πληθυομένῃ συστάσει καὶ τῇ ἐφ’ ἓν ἀναγομένῃ συντάξει διακρίνομεν, διακρίνοντές τε ὡσαύτως συνάπτομεν. καὶ οὕτως ἡμῖν ἡ κοινὴ τῶν μαθημάτων οὐσία κοινῶς τε περιληφθήσεται τῷ λογισμῷ καὶ διαιρεθήσεται καὶ ἀπὸ τῶν πολλῶν πάλιν ἀναχθήσεται ἐπὶ τὸ ἓν γένος τῆς μαθηματικῆς οὐσίας· ὃ δὴ καὶ τέλος ἐστὶ τῆς διαιρετικῆς καὶ ὁριστικῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης.

Ὠνόμασται δὲ ἡ τῶν μαθημάτων ἐπιστήμη, ἐπειδὴ ἀπὸ τῆς περὶ τῶν νοητῶν νοήσεως κάτεισί τις εἰς αὐτὴν μάθησις, καὶ ἔστι πρὸς αὐτὴν οἰκεία αὕτη ἡ θεωρία, περὶ ἃ δὲ νόησίς ἐστι καὶ ἐπιστήμη, περὶ ταῦτα καὶ μάθησις παραγίγνεται, καὶ ταῦτα ἂν εἴη μόνα τῶν ἄλλων μαθητά, διὸ καὶ μαθήματα προσηγόρευται. ἐδόκει δὲ τοῖς Πυθαγορείοις ὥσπερ οἰκεῖά τινα ὄργανα πεπορίσθαι ταυτὶ τὰ μαθήματα πρὸς τὸ ἀναπτύξαι τὴν τῶν ὄντων φύσιν, καὶ πᾶσαν ἀφελεῖν τὴν ἀχλὺν τὴν ἐπισκοτοῦσαν τοῖς πράγμασιν, ὥστε εἰλικρινῶς τὴν ἀλήθειαν αὐτὴν θεᾶσθαι· ἔτι δὲ καὶ τῆς περὶ τὰ ἤθη ὁμολογίας συνεξευπορήσειν τὴν αἰτίαν τὴν τοιαύτην μάθησιν, ἀγαθοῦ τε καὶ κακοῦ τὴν φύσιν συναποκαλύψειν φιλοσοφίᾳ προσαρωγὸν γιγνομένην, τῆς τε περὶ τὸν κόσμον τάξεως καὶ τῆς περὶ τὸν οὐρανὸν ἐγκυκλίου φορᾶς τὴν συμμετρίαν δι’ αὐτῆς θεωρεῖσθαι. διόπερ ἐνόμιζον χωρὶς αὐτῆς μὴ οἷόν τε εἶναι φιλοσοφῆσαι. ἔτι τοίνυν πολλά, ὥσπερ διὰ κατόπτρων φανότητι διαφερόντων, θηρᾷ εἴδωλα τῶν τῆς φύσεως ἔργων, ὅπερ μαθηματικὸν

μέρος τῆς φιλοσοφίας ὠνόμαζον, καὶ τοὺς ἐμπείρους τῶν τοιῶνδε λόγων μαθηματικοὺς ἀπέφαινον. ἐνόμιζον δὲ καὶ κάλλιστα παραδείγματα εἶναι τὰ ἐν τοῖς μαθήμασι τῶν τῇδε, διότι πρὸς νόησιν ἐστάθμηται ταῦτα μόνιμά τε ὄντα καὶ ἀκίνητα καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἀεὶ ὡσαύτως ἔχοντα, πρὸς ἅπερ ἀποβλέπων τις καὶ μιμούμενος ἀπεργάζοιτο ἂν ἕκαστα τά τε σταθηρὰ καὶ βέβαια ἔργα. ἔχει δὲ ὁ μαθηματικὸς λόγος καὶ τὸ καθαρὸν καὶ ἐπιστημονικὸν καὶ ἀνέλεγκτον. πρότερός τε εἶναι δοκεῖ τοῖς παλαιοῖς ὁ μαθηματικὸς τοῦ φυσικοῦ καὶ ἀρχηγικώτερος· ἐκ γὰρ τούτου ἐκκρέμασθαι ὑπελάμβανε τὴν τῶν ἄλλων εἰλικρινῆ νόησιν. χαρακτὴρ μὲν οὖν οὗτός ἐστι τοῦ μαθηματικοῦ λόγου. προσέχειν δὲ δεῖ ἐν τῷ τὸ εἶδος αὐτοῦ ἐπικρίνειν τῇ ἀκριβείᾳ καὶ τῇ ἀνελέγκτῳ γνώσει καὶ τῇ ὀρθότητι τῶν λόγων καὶ τῇ συμφωνίᾳ πρὸς τὰ ὄντα· μετὰ γὰρ τούτων τὸ εἶδος αὐτοῦ ἄριστα διαφαίνεται. ἔστω δὴ καὶ ταῦτα τὰ ἡμῖν προσκείμενα μετὰ τῶν ἔμπροσθεν περὶ τούτων διωρισμένων.