Περί της κοινής μαθηματικής επιστήμης (25-29)

Δύο δ’ ἐστὶ τῆς Ἰταλικῆς φιλοσοφίας εἴδη, καλουμένης δὲ Πυθαγορικῆς. δύο γὰρ ἦν γένη καὶ τῶν μεταχειριζομένων αὐτήν, οἱ μὲν ἀκουσματικοί, οἱ δὲ μαθηματικοί. τούτων δὲ οἱ μὲν ἀκουσματικοὶ ὡμολογοῦντο Πυθαγόρειοι εἶναι ὑπὸ τῶν ἑτέρων, τοὺς δὲ μαθηματικοὺς οὗτοι οὐχ ὡμολόγουν, οὔτε τὴν πραγματείαν αὐτῶν εἶναι Πυθαγόρου, ἀλλὰ Ἱππάσου. τὸν δ’ Ἵππασον οἱ μὲν Κροτωνιάτην φασίν, οἱ δὲ Μεταποντῖνον. οἱ δὲ περὶ τὰ μαθήματα τῶν Πυθαγορείων

τούτους τε ὁμολογοῦσιν εἶναι Πυθαγορείους, καὶ αὐτοί φασιν ἔτι μᾶλλον, καὶ ἃ λέγουσιν αὐτοὶ ἀληθῆ εἶναι. τὴν δὲ αἰτίαν τῆς ἀνομοιότητος τοιαύτην γενέσθαι φασίν. ἀφικέσθαι τὸν Πυθαγόραν ἐξ Ἰωνίας καὶ Σάμου κατὰ τὴν Πολυκράτους τυραννίδα καὶ ἀκμαζού‐ σης Ἰταλίας, καὶ γενέσθαι συνήθεις αὐτῷ τοὺς πρώτους ἐν ταῖς πόλεσι. τούτων δὲ τοῖς μὲν πρεσβυτέροις καὶ ἀσχόλοις διὰ τὸ ἐν πολιτικοῖς 〈πράγμασι κατέχεσθαι,〉 ὡς χαλεπὸν ὂν διὰ τῶν μαθημάτων καὶ ἀποδείξεων ἐντυγχάνειν, ψιλῶς διαλεχθῆναι, ἡγούμενον οὐδὲν ἧττον ὠφελεῖσθαι ἂν καὶ ἄνευ τῆς αἰτίας εἰδότας τί δεῖ πράττειν, ὥσπερ καὶ οἱ ἰατρευόμενοι οὐ προσακούοντες διὰ τί αὐτοῖς ἕκαστα πρακτέον οὐδὲν ἧττον τυγχάνουσι τῆς ὑγείας. ὅσοις δὲ νεωτέροις ἐνετύγχανε καὶ δυναμένοις πονεῖν καὶ μανθάνειν, τοῖς τοιούτοις διὰ ἀποδείξεως καὶ τῶν μαθημάτων ἐνετύγχανεν. αὐτοὶ μὲν οὖν εἶναι ἀπὸ τούτων, ἐκείνους δὲ ἀπὸ τῶν ἑτέρων. περὶ δ’ Ἱππάσου λέγουσιν, ὡς ἦν μὲν τῶν Πυθαγορείων, διὰ δὲ τὸ ἐξενεγκεῖν καὶ γράψασθαι πρῶτος σφαῖραν τὴν ἐκ τῶν δώδεκα ἑξαγώνων ἀπόλοιτο κατὰ θάλατταν ὡς ἀσεβήσας, δόξαν δὲ λάβοι ὡς 〈εὑρών,〉 εἶναι δὲ πάντα ἐκείνου τοῦ ἀνδρός· προσαγορεύουσι γὰρ οὕτω τὸν Πυθαγόραν καὶ οὐ καλοῦσιν ὀνόματι. ἐπέδωκε δὲ τὰ μαθήματα, ἐπεὶ ἐξηνέχθησαν δισσοὶ προάγοντε μάλιστα, Θεόδωρός τε ὁ Κυρηναῖος καὶ Ἱπποκράτης ὁ Χῖος. λέγουσι δὲ οἱ Πυθαγόρειοι ἐξενηνέχθαι γεωμετρίαν οὕτως. ἀποβαλεῖν τινα τὴν οὐσίαν τῶν Πυθαγορείων, ὡς δὲ τοῦτ’ ἠτύχησε, δοθῆναι αὐτῷ χρηματίσασθαι ἀπὸ γεωμετρίας. ἐκαλεῖτο δὴ ἡ γεωμετρία πρὸς Πυθαγόρου ἱστορία. περὶ μὲν οὖν τῆς διαφορᾶς ἑκατέρας τῆς πραγματείας καὶ περὶ τῶν μαθημάτων σχεδὸν ταῦτά τε καὶ τοιαῦτά ἐστι τὰ συμβεβηκότα. οἱ δὲ Πυθαγόρειοι διατρίψαντες ἐν τοῖς μαθήμασι καὶ τό τε ἀκριβὲς τῶν λόγων ἀγαπήσαντες, ὅτι μόνα εἶχεν ἀποδείξεις ὧν μετεχειρίζοντο ἄνθρωποι, καὶ ὁμολογούμενα ὁρῶντες ἔνισον τὰ περὶ τὴν ἁρμονίαν [ὅτι] δι’ ἀριθμῶν καὶ τὰ περὶ τὴν ὄψιν μαθήματα διὰ 〈δια〉γραμμάτων, ὅλως αἴτια τῶν ὄντων ταῦτα ᾠήθησαν εἶναι καὶ τὰς τούτων ἀρχάς· ὥστε τῷ βουλομένῳ θεωρεῖν τὰ ὄντα πῶς ἔχει, εἰς ταῦτα βλεπτέον εἶναι, τοὺς ἀριθμοὺς καὶ τὰ γεωμετρούμενα εἴδη τῶν ὄντων καὶ λόγους, διὰ τὸ δηλοῦσθαι πάντα διὰ τούτων. ὡς οὖν οὔτ’ ἐγκαιροτέρων ἂν οὔτε τιμιωτέρων ἀνάψαντες ἑκάστων τὰς δυνάμεις ἢ εἰς τὰ πάντων αἴτια καὶ πρῶτα σχεδὸν ὁμοτρόπως καὶ τὰ ἄλλα τούτοις διώριζον. αἱ μὲν οὖν ἀγωγαὶ εἰς τοὺς ἀριθμοὺς καὶ τὰ μαθήματα τῶν πραγμάτων διὰ ταῦτά τε καὶ τοῦτον τὸν τύπον ἐδόκουν ἔχειν αὐτοῖς. τοιαύτη τις ἦν παρ’ αὐτοῖς καὶ ἡ μέθοδος τῶν ἀποδείξεων, ἐκ τοιούτων τε ἀρχῶν ὁρμωμένη καὶ οὕτως ἔχουσα τὸ πιστὸν καὶ βέβαιον ἐν τοῖς λόγοις.

Γεγόνασι δέ τινες, οἱ μὲν παλαιοὶ οἱ δὲ νέοι, οἵτινες τὴν ἐναντίαν δόξαν περὶ τῶν μαθημάτων ἐξενηνόχασι, ψέγοντες αὐτὰ ὡς παντελῶς ἄχρηστα καὶ πρὸς τὸν ἀνθρώπινον βίον οὐδὲν συμβαλλόμενα. ἔνιοι δὲ οὕτως ἐπιχειροῦσιν· εἰ ἀχρεῖον αὐτῶν τὸ τέλος, δι’ ὅπερ αὐτὰ μανθάνειν φασὶ δεῖν οἱ φιλόσοφοι, πολὺ πρότερον ἀνάγκη μάταιον εἶναι τὴν περὶ ταῦτα σπουδήν. περὶ δὲ τοῦ τέλους σχεδὸν ὁμολογοῦσι πάντες οἱ δοκοῦντες περὶ αὐτὴν μάλιστα ἠκριβωκέναι. φασὶ γὰρ οἱ μὲν εἶναι τὴν τῶν ἀδίκων καὶ δικαίων καὶ κακῶν καὶ ἀγαθῶν ἐπιστήμην, ὁμοίαν οὖσαν γεωμετρίᾳ καὶ ταῖς ἄλλαις ταῖς τοιαύταις, οἱ δὲ τὴν περὶ φύσεως τε καὶ τῆς τοιαύτης ἀληθείας φρόνησιν, οἵαν οἵ τε περὶ Ἀναξαγόραν καὶ Παρμενίδην εἰσηγήσαντο. δεῖ δὴ μὴ λεληθέναι τὸν μέλλοντα περὶ τούτων ἐξετάζειν, ὅτι πάντα τὰ ἀγαθὰ καὶ τὰ πρὸς τὸν βίον ὠφέλιμα τοῖς ἀνθρώποις ἐν τῷ χρῆσθαι καὶ πράττειν ἐστίν, ἀλλ’ οὐκ ἐν τῷ γινώσκειν μόνον· οὔτε γὰρ ὑγιαίνομεν τῷ γνωρίζειν τὰ ποιητικὰ τῆς ὑγιείας, ἀλλὰ τῷ προσφέρεσθαι τοῖς σώμασιν· οὔτε πλουτοῦμεν τῷ γιγνώσκειν πλοῦτον, ἀλλὰ τῷ κεκτῆσθαι πολλὴν οὐσίαν· οὐδὲ τὸ πάντων μέγιστον εὗ ζῶμεν τῷ γιγνώσκειν ἄττα τῶν ὄντων, ἀλλὰ τῷ πράττειν εὖ· τὸ γὰρ εὐδαιμονεῖν ἀληθῶς τοῦτ’ ἐστίν. ὥστε προσήκει καὶ τὴν φιλοσοφίαν, εἴπερ ἐστὶν ὠφέλιμος, ἤτοι πρᾶξιν εἶναι τῶν ἀγαθῶν ἢ χρήσιμον εἰς τὰς

τοιαύτας πράξεις. ὅτι μὲν οὖν οὐκ ἔστιν οὔθ’ αὕτη πραγμάτων ἐργασία τις οὔτ’ ἄλλη τῶν προειρημένων ἐπιστημῶν οὐδεμία, φανερόν ἐστι πᾶσιν· ὅτι δ’ οὐδ’ ἐστὶ χρήσιμος εἰς τὰς πράξεις, ἐκεῖθεν ἄν τις κατα μάθοι. μέγιστον γὰρ ἔχομεν παράδειγμα τὰς ὁμοίας ἐπιστήμας αὐτῇ καὶ τὰς ὑποκειμένας δόξας· ὧν γάρ εἰσιν οἱ γεωμέτραι δι’ ἀποδείξεως θεωρητικοί, τούτων οὐδενὸς ὁρῶμεν αὐτοὺς ὄντας πρακτικούς, ἀλλὰ καὶ διελεῖν χωρίον καὶ τὰ ἄλλα πάντα πάθη τῶν τε μεγε θων καὶ τῶν τόπων οἱ μὲν γεωδαῖται δύνανται δι’ ἐμπειρίαν, οἱ δὲ περὶ τὰ μαθήματα καὶ τοὺς τούτων λόγους ἴσασι μὲν ὡς δεῖ πράττειν, οὐ δύνανται δὲ πράττειν. ὁμοίως δ’ ἔχει καὶ περὶ μουσικὴν καὶ τὰς ἄλλας ἐπιστήμας, ὅσαις διῄρηται τό τε τῆς γνώσεως καὶ τὸ τῆς ἐμπειρίας χωρίς. οἱ μὲν γὰρ τὰς ἀποδείξεις καὶ τοὺς συλλογισμοὺς διωρισμένοι περὶ συμφωνίας καὶ τῶν ἄλλων τῶν τοιούτων, ὥσπερ οἱ κατὰ φιλοσοφίαν, σκοπεῖν εἰώθασιν, οὐδενὸς δὲ κοινωνοῦσι τῶν ἔργων, ἀλλὰ κἂν τυγχάνωσιν αὐτῶν δυνάμενοί τι χει ρουργεῖν, ὅταν μάθωσι τὰς ἀποδείξεις, ὥσπερ ἐπίτηδες, εὐθὺς αὐτὰ χεῖρον ποιοῦσιν· οἱ δὲ τοὺς μὲν λόγους ἀγνοοῦντες, γεγυμνασμένοι δὲ καὶ δοξάζοντες ὀρθῶς ὅλῳ καὶ παντὶ διαφέρουσι πρὸς τὰς χρείας. ὡσαύτως δὲ καὶ περὶ τῶν κατὰ τὴν ἀστρολογίαν, οἷον ἡλίου καὶ σελήνης πέρι καὶ τῶν ἄλλων ἄστρων, οἱ μὲν τὰς αἰτίας καὶ τοὺς λόγους μεμελετηκότες οὐδὲν τῶν χρησίμων τοῖς ἀνθρώποις ἴσασιν, οἱ δὲ τὰς ὑπὸ τούτων ναυτικὰς καλουμένας ἐπιστήμας ἔχοντες χειμῶνας καὶ πνεύματα καὶ πολλὰ τῶν γινομένων δύνανται προλέγειν ἡμῖν. ὥστε πρὸς τὰς πράξεις ἀχρεῖοι παντελῶς ἔσονται αἱ τοιαῦται ἐπιστῆμαι· εἰ δὲ τῶν πράξεων τῶν ὀρθῶν ἀπολείπονται, τῶν μεγίστων ἀγαθῶν ἀπολείπεται ἡ φιλομάθεια.

Πρὸς δὴ ταῦτα ἀντιλέγοντες, εἶναί τέ φαμεν ἐπιστήμας τῶν μαθημάτων καὶ ταύτας δυνατὰς εἰς τὸ μεταλαβεῖν. ἀεὶ γὰρ γνωριμώτερα ἀμφότερα, τὰ πρότερα τῶν ὑστέρων καὶ τὰ βελτίω τὴν φύσιν τῶν χειρόνων. τῶν γὰρ ὡρισμένων καὶ τεταγμένων ἐπιστήμη μᾶλλόν ἐστιν ἢ τῶν ἐναντίων, ἔτι δὲ τῶν αἰτίων ἢ τῶν ἀποβαινόντων. ἔστι δὲ ὡρισμένα καὶ τεταγμένα τὰ ἐν τοῖς ἀκινήτοις μαθηματικοῖς εἴδεσιν. αἴτιά τε μᾶλλον τὰ πρότερα τῶν ὑστέρων· ἐκείνων γὰρ ἀναιρουμένων ἀναιρεῖται τὰ τὴν οὐσίαν ἐξ ἐκείνων ἔχοντα, μήκη μὲν ἀριθμῶν, ἐπίπεδα δὲ μηκῶν, στερεὰ δὲ ἐπιπέδων. ὥστε εἴπερ πάντων ἐστὶν ἁπλούστερα τὰ ἐν τοῖς μαθήμασιν, ἔσται καὶ ἀρχικώτερα πάντων. ὥστε περὶ τὰ ἀμείνονα καὶ ἀρχηγικώτερα ἔσονται πολὺ μᾶλλον ἐπιστῆμαι, καὶ δυναταὶ κτήσασθαι ὑπάρχουσι· πολὺ γὰρ πρότερον ἀναγκαῖον τῶν αἰτίων καὶ τῶν στοιχείων εἶναι φρόνησιν ἢ τῶν ὑστέρων. οὐ γὰρ ταῦτα τῶν ἄκρων οὐδ’ ἐκ τούτων τὰ πρῶτα πέφυκεν, ἀλλ’ ἐξ ἐκείνων καὶ δι’ ἐκείνων καὶ τἆλλα γίγνεται καὶ συνίσταται φανερῶς. ὅτι δὲ καὶ μέγιστόν ἐστι τῶν ἀγαθῶν καὶ πάντων ὠφελιμώτατον τῶν ἄλλων, ἐπίστασθαι τὰ μαθήματα, ἐκ τῶνδε δῆλον. λόγος γὰρ

καὶ φρόνησις ἡγεῖται τῶν ἀγαθῶν· κανών τε καὶ ὅρος ἀκριβέστατος τῶν ἀγαθῶν οὐδεὶς ἄλλος ἐστὶ πλὴν ὁ φρόνιμος· ὅσα γὰρ ἂν οὗτος ἕλοιτο, ταῦτ’ ἐστὶν ἀγαθά, κακὰ δὲ τἀναντία τούτοις. ἐπεὶ δὲ πάντες αἱροῦνται μάλιστα 〈τὰ〉 κατὰ τὰς οἰκείας ἕξεις (τὸ μὲν γὰρ δικαίως ζῆν ὁ δίκαιος, τὸ δὲ κατὰ τὴν ἀνδρείαν ὁ τὴν ἀνδρείαν ἔχων, ὁ δὲ σώφρων τὸ σωφρονεῖν), ὁμοίως δῆλον ὅτι καὶ τὸ φρονεῖν ὁ φρόνιμος αἱρήσεται πάντων μάλιστα· τοῦτο γὰρ ἔργον ταύτης τῆς δυνάμεως. ὥστε φανερὸν ὅτι κατὰ τὴν κυριωτάτην κρίσιν κράτιστόν ἐστι τῶν ἀγαθῶν ἡ φρόνησις. καὶ οὐ δεῖ πάντας χρείας ἕνεκα αὐτὴν μεταδιώκειν· καὶ γὰρ αὕτη δι’ αὑτήν ἐστιν αἱρετή.

Καὶ περὶ μὲν ὠφελείας καὶ μεγέθους τοῦ πράγ ματος ἱκανῶς ἀποδεδεῖχθαι νομίζω, διότι δὲ πολλῷ ῥᾴστη τῶν ἄλλων ἀγαθῶν ἡ κτῆσις αὐτῆς, ἐκ τῶνδε πέπεισμαι. τὸ γὰρ μήτε μισθοῦ παρὰ τῶν ἀνθρώπων γινομένου τοῖς φιλοσόφοις, δι’ ὃν συντόνως οὕτως ἂν διαπονήσειαν, πολύ τε προεμένους 〈εἰς〉 τὰς ἄλλας τέχνας ὅμως ἐξ ὀλίγου χρόνου θέοντας παρεληλυθέναι ταῖς ἀκριβείαις, σημεῖόν μοι δοκεῖ τῆς περὶ τὴν φιλοσοφίαν εἶναι ῥᾳστώνης. ἔτι δὲ τὸ πάντας φιλοχωρεῖν ἐπ’ αὐτῇ καὶ βούλεσθαι σχολάζειν ἀφεμένους τῶν ἄλλων ἁπάντων, οὐ μικρὸν τεκμήριον ὅτι μεθ’ ἡδονῆς ἡ προσεδρεία γίγνεται· πονεῖν γὰρ οὐδεὶς ἐθέλει πολὺν χρόνον. πρὸς δὲ τούτοις ἡ χρῆσις πλεῖστον διαφέρει πάντων· οὐδὲν γὰρ δέονται πρὸς τὴν ἐργασίαν ὀργάνων οὐδὲ τόπων, ἀλλ’ ὅπῃ τις ἂν θῇ τῆς οἰκουμένης τὴν

διάνοιαν, ὁμοίως πανταχόθεν ὥσπερ παρούσης ἅπτεται τῆς ἀληθείας. ἀλλὰ ταῦτα μὲν ἴσως ἀποχρώντως εἴρηται πρὸς τὸν ἐνεστῶτα καιρόν· καὶ γὰρ ὅτι δυνατὸν καὶ διότι μέγιστον τῶν ἀγαθῶν καὶ κτήσασθαι ῥᾴδιον ἡ φρόνησις, ἀποδέδεικται.

Νεώτατον οὖν ὁμολογουμένως ἐστὶ τῶν ἐπιτηδευμάτων ἡ περὶ τὴν ἀλήθειαν ἀκριβολογία. μετὰ γὰρ τὴν φθορὰν καὶ τὸν κατακλυσμὸν τὰ περὶ τὴν τροφὴν καὶ τὸ ζῆν πρῶτον ἠναγκάζοντο φιλοσοφεῖν, εὐπορώτεροι δὲ γενόμενοι τὰς πρὸς ἡδονὴν ἐξειργάσαντο τέχνας, οἷον μουσικὴν καὶ τὰς τοιαύτας, πλεονάσαντες δὲ τῶν ἀναγκαίων οὕτως ἐπεχείρησαν φιλοσοφεῖν. τοσοῦτον δὲ νῦν προεληλύθασιν ἐκ μικρῶν ἀφορμῶν ἐν ἐλαχίστῳ χρόνῳ ζητοῦντες οἵ τε περὶ τὴν γεωμετρίαν καὶ τοὺς λόγους καὶ τὰς ἄλλας παιδείας, ὅσον οὐδὲν ἕτερον γένος ἐν οὐδεμιᾷ τῶν τεχνῶν. καίτοι τὰς μὲν ἄλλας πάντες συνεξορμῶσι τιμῶντες κοινῇ καὶ τοὺς μισθοὺς τοῖς ἔχουσι διδόντες, τοὺς δὲ ταῦτα πραγματευομένους οὐ μόνον οὐ προτρέπομεν ἀλλὰ καὶ διακωλύομεν πολλάκις, ἀλλ’ ὅμως ἐπιδίδωσι πλεῖστον, διότι τῇ φύσει ἐστὶ πρεσβύτατα· τὸ γὰρ τῇ γενέσει ὕστερον, οὐσίᾳ καὶ τελειότητι προηγεῖται.

Καὶ ἡ τῶν μαθημάτων οὖν ἐπιστήμη κρατεῖ πρὸς ἅπαντα ταῦτα τῶν ἄλλων ἐπιστημῶν ἐκ περιττοῦ, κάλλει καὶ ἀκριβείᾳ τῶν πάντων ἐπιτηδευμάτων προέχουσα·

ἔχει δὲ καὶ τὸ κατὰ λόγον οὕτως. πρῶτα μὲν γὰρ τὰ τῇ γενέσει ὁμοφυῆ περισπούδαστά ἐστι τοῖς ἀνθρώποις ὥστε κτᾶσθαι κατὰ δύναμιν, ἐπὶ δὲ τούτοις τὰ ἀπολύοντα ἡμᾶς τῆς σωματοειδοῦς φύσεως πολὺ τῶν προτέρων ἐστὶ τιμιώτερα· τὰ μὲν γὰρ ὡς ἀναγκαῖα προϋπόκειται, τὰ δὲ ὡς δι’ αὑτὰ αἱρετὰ καὶ σεμνὰ πρεσβείων καὶ τιμῆς ἠξίωται. συμβάλλεται μὲν οὖν καὶ πρὸς τὴν ὅλην ἀνθρωπίνην ζωὴν οὐκ ὀλίγας χρείας ἡμῖν τὰ μαθήματα, ὡς πρόδηλον τοῖς ἐπὶ τοῦ βίου τὰ ἀπὸ τῶν μαθηματικῶν τεχνῶν ἔργα ἐπισκοπουμένοις· οὐ μὴν ἀλλὰ ταῦτα μέν ἐστι ἐλάττονος σπουδῆς ἄξια, τὰ δὲ μέγιστα ἡ κάθαρσίς ἐστι τῆς ἀθανάτου ψυχῆς, καὶ ἡ τοῦ νοῦ περιαγωγὴ πρὸς τὸ νοητόν, καὶ ἡ μετουσία τῆς τοῦ ὄντος ἐνεργείας. ταῦτα δ’ ἡμῖν παρασκευάζουσα ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη τὰ πάντα ἀγαθὰ παρέχει, ὥστε πρὸς τὸ τέλος τῆς εὐδαιμονίας οὐκ οἶδ’ εἴ τις ἄλλη μέθοδος οὕτω συναίρεται. διὰ δὴ τούτων οὐ μόνον ψευδεῖς οἱ· ἐναντίοι λόγοι πεφήνασιν, ἀλλὰ καὶ τὰ μαθήματα χρησιμώτατα ὄντα ἡμῖν ἀποδέδεικται.

Ἐπεὶ δὲ τοῦ πεπαιδευμένου ἔργον ἐστὶ τὸ δύνασθαι κρῖναι εὐστόχως τί καλῶς ἢ μὴ καλῶς ἀποδίδωσιν ὁ λέγων, τοιοῦτον δή τινα τὸν ὅλως πεπαιδευμένον οἰόμεθα εἶναι, καὶ τὸ πεπαιδεῦσθαι τὸ δύνασθαι ποιεῖν τὸ εἰρημένον. δῆλον δὴ τοῦθ’ ὅτι καὶ περὶ τὰ μαθήματα τὸν ὀρθῶς πεπαιδευμένον ἀπαιτεῖν

δεῖ παρὰ τοῦ μαθηματικοῦ τὴν ὀρθότητα καὶ τὸ οἰκεῖον ἔργον, εἰ καλῶς ἢ μὴ καλῶς ποιεῖται τὴν περὶ αὐτῶν θεωρίαν. ὥσπερ γὰρ τὸν ἁπλῶς πεπαιδευμένον περὶ πάντων ὡς εἰπεῖν κριτικὸν νομίζομεν εἶναι ἕνα τὸν ἀριθμὸν ὄντα, οὕτως καὶ περί τινος ἐπιστήμης ἀφωρισμένης εἴη ἄν τις ἕτερος τὸν αὐτὸν τρόπον τῷ εἰρημένῳ διακείμενος περὶ μόριον. ὥστε δῆλον ὅτι καὶ τῆς περὶ τὰ μαθήματα θεωρίας δεῖ τινας ὑπάρχειν ὅρους τοιούτους, πρὸς οὓς ἀναφέρων ἀποδέξεται ὁ πεπαιδευμένος τὸν τρόπον τῶν δεικνυμένων, χωρὶς τοῦ πῶς ἔχειν τἀληθές, εἴτε οὕτως εἴτε ἄλλως. λέγω δὲ οἷον πότερον δεῖ λαμβάνοντας ἓν ἕκαστον θεώρημα τῶν μαθηματικῶν περὶ τούτου διορίζειν καθ’ αὑτό, οἷον περὶ τῶνδε τῶν τριγώνων, ἢ τὰ κοινὰ θεωρήματα καὶ τὰ πᾶσιν ὑπάρχοντα δεῖ σκοπεῖν κατά τι κοινὸν ὑποθεμένους. πολλὰ γὰρ ὑπάρχει τὰ αὐτὰ πολλοῖς γένεσιν ἑτέροις οὖσιν ἀλλήλων, οἷον εἴ τις καθόσον ἐστὶ τρίγωνα ποιοῖτο τὴν ἀπόδειξιν, ἢ καθόσον ἐστὶν εὐθύγραμμα κοινῶς. εἰ γάρ τινα τὰ αὐτὰ ὑπάρχοι τοῖς εἴδει διαφέρουσιν, οὐδ’ ἡ ἀπόδειξις αὐτῶν οὐδεμίαν ὀφείλει ἔχειν διαφοράν. ἕτερα δὲ ἴσως ἐστίν, οἷς συμβαίνει τὴν μὲν κατηγορίαν ἔχειν τὴν αὐτήν, διαφέρειν δὲ τῇ κατ’ εἶδος διαφορᾷ· οἷον τὸ ὅμοιον ἐπὶ μὲν τριγώνων ἐστὶν ἄλλο, ἐπ’ ἀριθμῶν δὲ ἕτερον. καὶ δεῖ καθ’ ἑκάτερον ἰδίας ποιεῖσθαι ἀποδείξεις. ἐπισκεπτέον οὖν, πότε κοινῶς κατὰ γένος καὶ πότε ἰδίως καθ’ ἕκαστον θεωρητέον· τὸ γὰρ διωρίσθαι περὶ τούτων μέγα μέρος εἰς παιδείαν μαθηματικὴν συμβάλλεται. ἔτι κατὰ τὴν ὑποκειμένην οὐσίαν δεῖ τοὺς λόγους ἀπαιτεῖν τὸν μαθηματικόν, καὶ τὸν τρόπον τῶν ἀποδείξεων οἰκεῖον ποιεῖσθαι. ὥσπερ οὖν τοῦ ῥητορικοῦ πιθανολογοῦντος ἀνεχόμεθα, οὕτω τὸν μαθηματικὸν ἀποδείξεις δεῖ ἀπαιτεῖν ἀναγκαίας. οὐ πανταχοῦ δὲ τὰς αὐτὰς ἀνάγκας δεῖ ζητεῖν οὐδ’ ὁμοίως τὴν αὐτὴν ἀκρίβειαν ἐν ἅπασιν, ἀλλ’ ὥσπερ τὰ κατὰ τὰς τέχνας ταῖς ὑποκειμέναις ὕλαις διαιροῦμεν, οὐχ ὁμοίως ἐν χρυσῷ καὶ καττιτέρῳ καὶ χαλκῷ ζητοῦντες τὸ ἀκριβές, οὐδὲ ἐν φελλῷ καὶ πύξῳ καὶ λωτῷ, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἐν ταῖς θεωρητικαῖς. εὐθὺς γὰρ ποιήσει τὰ ὑποκείμενα διαφοράς, ὅταν 〈τὰ μὲν〉 ἁπλούστερα ᾖ τὰ δὲ ἐν συνθέσει μᾶλλον, καὶ τὰ μὲν ὅλως ἀκίνητα τὰ δὲ κινούμενα, οἷον τὰ ἐν ἀριθμοῖς καὶ ἐν ἁρμονίᾳ ἢ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ καὶ ἀστρονομίᾳ, καὶ τῶν μὲν ὁ νοῦς ἡ ἀρχὴ τῶν δὲ ἡ διάνοια, ἐνίων δὲ καὶ ἀπὸ τῆς αἰσθήσεως μικραί τινες ἂν ὦσιν ἀφορμαί, καθάπερ τῶν οὐρανίων. οὐ γὰρ οἷόν τε τὰς αὐτὰς οὐδὲ τὰς ὁμοίας αἰτίας περὶ τῶν τοιούτων φέρειν, ἀλλ’ ὅσον αἱ ἀρχαὶ διαφέρουσι, τοσοῦτον καὶ τὰς ἀποδείξεις διαφέρειν· ἐν ἑκάσταις γὰρ συγγενὴς ὁ τρόπος. ἔτι δ’ ἐν μείζονι διαστάσει τούτων, ὅτι ἐπιζητοῦσιν οἱ μὲν ἔχοντες οἱ δὲ οὐκ ἔχοντες ἀρχάς· ὥστε οὐδ’ ἐνταῦθα ὁμοίας αἰτίας οὐδ’ ὁμοίους τοὺς λόγους ἀποδεικτέον. ἀνάγκη δὲ πρὸς ταῦτα γνωρίζειν τί ταὐτὸ καὶ ἕτερον ἔχουσι καὶ τί κατ’ ἀναλογίαν ταὐτόν, καὶ αἱ ποῖαι πλειόνων δέονται καὶ κατὰ ποίας πλείω τὰ ἀπορούμενα· σχεδὸν γὰρ τούτοις καὶ τοῖς τοιούτοις αἱ παραλλαγαὶ τῶν περὶ ἕκαστον ἀποδείξεων καὶ λόγων εἰσίν. οὐ μόνον δὲ πρὸς τὸ κρίνειν, ἀλλὰ καὶ πρὸς τὸ ζητεῖν ὡς δεῖ, συμβάλοιτ’ ἂν ἡ τοιαύτη θεωρία· διορισμὸν γὰρ ἔχουσα τῆς καθ’ ἕκαστον αἰτίας, οἰκείους ποιήσει λόγους, ὅπερ οὐ ῥᾴδιον μὴ συνεθισθέντα δρᾶν. ἡ γὰρ φύσις αὐτὴ καθ’ ἑαυτὴν ἐπὶ μὲν τὰς ἀρχὰς ὑφηγήσασθαι δύναται, κρῖναι δὲ ἕκαστα μὴ προσλαβοῦσα σύνεσιν ἑτέραν οὐκ αὐτάρκης. ἔτι διακριτέον εἰ πλείους αἰτίαι εἰσὶ περὶ ὧν δεῖ τὸν μαθηματικὸν λέγειν, ποία τε τούτων πρώτη καὶ δευτέρα πέφυκεν. ἐξεταστικὸς γὰρ καὶ τῶν ἀποδιδομένων αἰτίων ὁ πεπαιδευμένος μαθηματικῶς, καὶ τῆς τάξεως αὐτῶν θεωρητικός.

Οὐ δεῖ δὲ λανθάνειν κἀκεῖνο, ὅτι πολλοὶ τῶν νεωτέρων Πυθαγορικῶν μόνα τὰ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα τὰ ὑποκείμενα τοῖς μαθήμασιν ὑπελάμβανον, καὶ μόνας ταύτας ἀρχὰς ὑπετίθεντο· καὶ τὰς ἐπιστήμας οὖν κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον περὶ τῶν τοιούτων ἀφωρίζοντο καὶ τὰς ἀποδείξεις. ἐπεὶ δὲ ἡμεῖς ἔν τε τοῖς προάγουσι νυνὶ λόγοις καὶ ἐν τοῖς ὕστερον ῥηθησομένοις ἀποδείξομεν, ὅτι πολλαὶ οὐσίαι καὶ ἕτεραι ἀκίνητοι καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἔχουσαι, οὐ μόναι αἱ τῶν μαθημάτων, καὶ ὅτι πρεσβύτεραι καὶ τιμιώτεραι αὐτῶν εἰσιν ἐκεῖναι, ἀποδείξομεν δὲ καὶ ὅτι οὐ μόνον ἀρχαί εἰσιν αὗται αἱ μαθηματικαί, ἀλλὰ καὶ ἄλλαι, καὶ αἵ γε πρεσβύτεραι καὶ δυνατώτεραι αὐτῶν εἰσιν ἐκεῖναι, καὶ

ὅτι οὐ πάντων τῶν ὄντων εἰσὶν ἀρχαὶ αἱ μαθηματικαὶ ἀλλὰ τινῶν· διὰ δὴ ταῦτα διορισμὸν ἀπαιτεῖ νυνὶ ἡ μαθηματικὴ ἀπόδειξις, τῶν ποίων τινῶν κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἐχόντων ἐστὶν ἀποδεικτική, καὶ ἐκ ποίων τινῶν ἀρχῶν συλλογίζεται, καὶ περὶ ποίων τινῶν προβλημάτων ποιεῖται τὰς ἀποδείξεις. ἡ γὰρ περὶ τούτων ἐπικρίνουσα παιδεία τήν τε ὀρθότητα καὶ τὸ τέλος ἀφορίζεται τῆς μαθηματικῆς, τήν τε ἐπίκρισιν αὐτῆς ποιεῖται δεόντως, καὶ τὸν τρόπον πῶς δεῖ ποιεἶσθαι τὰς ζητήσεις καλῶς περιλαμβάνει. ὥστε καὶ περὶ τούτων ἡμῖν ταυτὶ διωρίσθω.

Ἐπεὶ δὲ πολλάκις οὐκ ἔστι φανερὸν εἴτε μαθηματική ἐστιν εἴτε κατ’ ἄλλην ἐπιστήμην ἡ προκειμένη ζήτησις, ὅ τε τρόπος τῶν ἀποδείξεων ἀμφισβητεῖται ποῖός ἐστι μαθηματικός, δεῖ διευκρινῆσαι καὶ περὶ τούτων τὰ ποῖα προβλήματα καὶ τὰ πῶς ἀποδεικνύμενα μαθηματικὴν ἐμφαίνει μέθοδον. καθόλου μὲν οὖν δεῖ προειδέναι ὡς παράκεινται τῇ μαθηματικῇ θεωρίᾳ ἥ τε θεολογικὴ ἐπιστήμη καὶ ἡ φυσική, ὥστε καὶ αἱ ἀποδείξεις καὶ τὰ προβλήματα ἐπικοινωνεῖ τούτων τῶν ἐπιστημῶν πρὸς ἀλλήλας. ἔχει μὲν οὖν καὶ τἀληθὲς οὕτως ἡ τῆς γνώσεως συγγένεια περὶ τὰς διαφόρους γνωριστικὰς δυνάμεις συνάπτουσά τινα μίαν οἰκειότητα, ἔχει δὲ καὶ τὰ πράγματα σύνεγγύς πως ὄντα τὴν συνέχειαν τὴν κοινὴν τῶν ἐπιστημῶν πρὸς ἀλλήλας. οὐ μὴν ἀλλὰ οἵ γε Πυθαγόρειοι ἔτι μᾶλλον τὴν κοινωνίαν ταύτην συνάπτουσιν ἀδιαίρετον, πολλὰ μὲν περὶ τῶν νοητῶν εἰδῶν διὰ τῶν μαθημάτων παραδιδόντες, πολλὰ δὲ περὶ τῆς φύσεως, πολλὰ δὲ καὶ περὶ τῶν ἠθῶν μαθηματικῶς ἀναδιδάσκοντες. δεῖ δ’ ὅμως διακρίνειν τὰ τρία γένη τῶν λόγων τούτων καὶ

τὸ μαθηματικὸν διορίζειν κατ’ ἰδίαν, ὥστε πρὸς μηδὲν αὐτῶν συγκεχύσθαι. ἔστωσαν μὲν οὖν ἀκίνητοι καθ’ ἑαυτοὺς καὶ ἀνέλεγκτοι οἱ μαθηματικοὶ λόγοι τοῖς καθ’ αὑτὰ εἴδεσι καὶ γένεσι μαθηματικοῖς συνηρμοσμένοι, οὐ κατὰ ἀφαίρεσιν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν ταῦτα περιλαμβάνοντες, ἀλλ’ ὡρισμένως αὐτοῖς ἐπιβάλλοντες, ἅτε δὴ καθ’ ἑαυτὰ ὑφεστηκόσιν, οὔτε κινήσεως ἐφαπτομένοις, οὔτε τῶν νοητῶν καὶ ἀμερίστων εἰδῶν ἢ τῶν νοήσεων εἰς ταυτότητα συνιοῦσι, κατὰ δὲ τὰ νοητὰ διεξιοῦσι καὶ τὰς διανοήσεις τὰς περὶ αὐτὰ συνισταμένας μέσον τέ τινα τρόπον τοῦτον μεταχειριζομένοις γνώσεως. ἡ γὰρ τοιαύτη μέθοδος τῶν λόγων καὶ τῶν ἀποδείξεων μαθηματική τέ ἐστι καὶ πολὺ κεχωρισμένη τῶν παρὰ τοῖς ἄλλοις ἐπιστήμοσι λόγων.

Ἕπεται δὲ τοῖς τοιούτοις προβλήμασι κἀκεῖνο συνεπισκέψασθαι, πῶς χρῆται διαιρέσει καὶ ὁρισμῷ καὶ συλλογισμοῖς ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη, εἴπερ δεχομένη παρὰ διαλεκτικῆς τὴν μάθησιν αὐτῶν, ἢ καὶ αὐτὴ ἀφ’ ἑαυτῆς ἐνεργοῦσα περὶ ταῦτα. εἰ μὲν δὴ παραλαμβάνει ταῦτα ἀπὸ τῆς περὶ τὸν λόγον θεωρίας, πολλῶν ἔσται ἐπιδεὴς καὶ τῆς οἰκείας γνώσεως τὰς ἀρχὰς ἑτέρωθεν μεταλαμβάνει· εἰ δὲ τὸ τοιοῦτον ἄλλῃ τινὶ μᾶλλον ἢ τῇ μαθηματικῇ ἀκριβείᾳ προσήκει, δεῖ νοεῖν τὰ τρία ταῦτα, οἷον διαίρεσιν, ὁρισμόν, συλλογισμόν, ἄλλα μὲν ὄντα ἐν διαλεκτικῇ, ἄλλα δὲ ἐν τῇ μαθηματικῇ, κατὰ τὸ οἰκεῖον δὲ γένος ἑκατέρων διωρισμένα ἐφ’ ἑκατέρων. τὰ μὲν οὖν τῆς διαλεκτικῆς μείζονά τέ ἐστι θεωρήματα καὶ οὐ πρόκειται νυνὶ

διεξιέναι, τὰ δὲ τῆς μαθηματικῆς οἰκεῖα αὐτῇ μόνῃ διαφέρει τῇ μαθηματικῇ. ἀφ’ ἑαυτῆς οὖν εὑρίσκει τε αὐτὰ καὶ τελειοῖ καὶ ἐξεργάζεται, τά τε οἰκεῖα αὑτῇ καλῶς οἶδε δοκιμάζειν, καὶ οὐ δεῖται ἄλλης ἐπιστήμης πρὸς τὴν οἰκεῖαν θεωρίαν. οὐ γὰρ τὸ ἁπλῶς καθάπερ ἡ διαλεκτική, ἀλλὰ τὰ ὑφ’ ἑαυτὴν διαγινώσκει, οἰκείως τε αὐτὰ θεωρεῖ καθόσον αὑτῇ ὑπόκειται, καὶ περὶ αὐτῶν ποιεῖται τοὺς ἀκριβεῖς διορισμούς, κριτήριά τε οἷς δεῖ δοκιμάζεσθαι αὐτὰ ἔχει παρ’ αὑτῇ, καὶ τρόπους τῶν ἀποδείξεων πλείονας ποιεῖται, καὶ τούτων διαιρεῖ τούς τε βελτίονας καὶ ἀληθινούς, ὅσοι τέ εἰσιν ἀμφίβολοι καὶ δεόμενοι πλείονος ἐπιστάσεως. ἤδη δὲ καὶ διττὴν ποιεῖται πραγματείαν· τὴν μὲν πρὸς εὕρεσιν συντείνουσαν, τὴν δὲ πρὸς κρίσιν. κριτικὴ δέ ἐστι καὶ εὑρετικὴ κατὰ τὸν ἴδιον τῆς οἰκείας τέχνης λόγον, οὐ κατὰ τὸν ἁπλῶς θεωρητικὸν νοῦν. δύναται οὖν διακρίνειν κατὰ τοῦτον πῶς μὲν δεῖ διαιρεῖν τὰ ἐν μαθηματικῇ εἴδη, τίνες δέ εἰσιν αἱ διαιροῦσαι αὐτὰ οἰκείως διαφοραί, τίνες δέ εἰσιν οἱ ὅροι οἱ ἐν τῇ μαθηματικῇ, καὶ πῶς δεῖ συνάγειν αὐτοὺς ἀπὸ τῶν μαθηματικῶν διαιρέσεων, πῶς δὲ γίγνεται μαθηματικὸς συλλογισμός, καὶ κατὰ πόσους διορισμοὺς τὸ ἀκριβὲς λαμβάνει, καὶ πότε δυνατός ἐστι καὶ πότε ἀδύνατος, καὶ ποσαχῶς ἔχει τὸ ἀναγκαῖον. ἡ γὰρ ἐν τούτοις πᾶσιν οἰκεία αὐτῆς εὕρεσις καὶ χρῆσις καὶ κρίσις οὐδεμιᾶς ἐπεισάκτου δεῖται παρασκευῆς, ὡς ἔνιοι νομίζουσιν.