Περί της κοινής μαθηματικής επιστήμης (20-24)

Ταύτῃ τοίνυν τῇ δυνάμει τῆς μαθηματικῆς ἐστιν ἄλλη ἀντίστροφος, ἡ ὁριστική· χρῆται γὰρ καὶ ὁρισμοῖς ἡ μαθηματική, καὶ τούτους δι’ ἀκριβείας ποιεῖται. τρόπος δὲ τῆς ὅλης τῶν ὁρισμῶν συστάσεώς ἐστιν οὗτος. ἐπειδὰν ἡ διαιρετικὴ τῆς μαθηματικῆς διέλῃ κατὰ γένη καὶ εἴδη τὰ ἐν τοῖς μαθήμασι, τότε τὰς διαφορὰς τὰς ἐκ τῆς διαιρέσεως εἰς ταὐτὸ συνάγει ἡ ὁριστική, λόγον τε ἕνα κοινὸν ἐκ πάντων συναθροίζει. ποιεῖ δὲ τὸ αὐτὸ καὶ ἀπὸ τῆς ἀναλύσεως· ἐπειδὰν γὰρ ἡ ἀνάλυσις ἐπὶ τὰ ἁπλούστερα καὶ κοινότερα ἀναγάγῃ τὴν νόησιν, καὶ τὰ γένη καὶ τὰς διαφορὰς διακρίνῃ ᾗ πεφύκασιν ἕκαστα, τότε ἡ συναγωγὸς σύνθεσις συνάγουσα εἰς ταὐτὸ τὰ διαφέροντα καὶ τὰ ἁπλᾶ ἀφορίζεται ἕκαστον τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι. καὶ οὕτως ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη οἰκεῖον ἔχει ἀφ’ ἑαυτῆς τὸν ὁριστικὸν λόγον καὶ δύναται αὐτὸν ἐξευρίσκειν θεωρητικῶς. ἐπειδὴ τοίνυν ἡ μὲν διαίρεσις τὸ ἓν πολλὰ ποιεῖ ἡ δὲ ὁριστικὴ τὰ πολλὰ ἕν, κατ’ ἀμφότερα ἀναγκαῖον τὴν μαθηματικὴν τὸ ἓν θεωρεῖν, ἀφ’ οὗ ὁρμᾶται καὶ πρὸς ὃ ἀνάγεται. τοῦτο δὴ οὖν ἔσται τὸ τέλος, ὅπερ ἄν τις καὶ εἶδος εἴποι, ἐπὶ πᾶσι τοῖς πολλοῖς θεωρήμασιν ἕν· τὸ δὲ αὐτὸ καὶ καλόν ἐστι καὶ ἀγαθόν, πρὸς ὃ τὰ διῃρημένα σπεύδει συνάπτεσθαι.

διὰ δὴ τοῦτο καὶ ἐν τοῖς μαθήμασι τὸ ἄπειρον καὶ καθ’ ἕκαστον ἀφίεμεν ἀεί, ἐπὶ δὲ τὸ κοινὸν καὶ τὸ ὡρισμένον σπεύδομεν ἀνιέναι, ὅσοι κατὰ τὰ ἀρέσκοντα τοῖς Πυθαγορείοις μαθηματικὴν ἀσκοῦμεν, ἕως ἂν ἐπὶ τὸ ἓν τὸ πάντων ὁμοῦ τῶν μαθημάτων ἀναγάγωμεν τὴν ὅλην θεωρίαν τῆς μαθηματικῆς πραγματείας. καὶ τοῦτό ἐστι τὸ τέλος, πρὸς ὃ δεῖ σπεύδειν τοὺς ὄντως φιλοθεάμονας τῶν ὅλων μαθηματικῶν εἰδῶν.

Ἐπεὶ δὲ τῆς Πυθαγορείου μὲν μαθηματικῆς προηγουμένως ἀντιποιούμεθα, ταύτην δὲ οὐκ ἔνεστι τελέως τῷ λόγῳ παραθέσθαι, εἰ μή τις αὐτῆς τὰς πρώτας ἀρχὰς κατίδοι, ἀναγκαῖον διὰ τοῦτο καὶ τοὺς ἀρχηγοὺς γενομένους Πυθαγόρᾳ τῆς τοιαύτης θεωρίας συμπεριλαβεῖν εἰς τὴν περὶ τῶν παρόντων ἐξέτασιν· οὕτω γὰρ ἂν τελειοτάτη γένοιτο ἡ περὶ αὐτῶν ἐπίσκεψις, ἄνωθεν ἀπὸ τῶν πρώτων αἰτίων βεβαιωθεῖσα. φασὶ τοίνυν ὡς Θαλῆς πρῶτος ἐξευρὼν οὐκ ὀλίγα τῶν ἐν γεωμετρίᾳ παρέδωκε Πυθαγόρᾳ· ὥστε καὶ ὅσα παρειλήφαμεν μαθηματικὰ σκέμματα Θαλοῦ, δικαίως ἂν αὐτὰ προσοικειώσαιμεν τῇ Πυθαγορείῳ μαθηματικῇ. μετὰ δὴ Θαλῆν Αἰγυπτίοις συνεγένετο ἐν πολλῷ χρόνῳ, παρ’ αὐτῶν τε οὐκ ὀλίγα εἰς μαθηματικὴν ἐπιστήμην εὕρατο ἀγαθά· διόπερ οὐκ ἂν ἄπο τρόπου ποιοῖμεν πολλὰ καὶ τῶν παρ’ Αἰγυπτίοις συμπαραλαμβάνοντες. ἐπεὶ δὲ καὶ Ἀσσυρίοις ὕστερον συνεγένετο τοῖς τε παρ’ αὐτοῖς λεγομένοις Χαλδαίοις (οὕτω γὰρ οἱ μαθηματικοὶ παρ’ αὐτοῖς λέγονται), ἀνάγκη καὶ παρὰ τούτων

ἡμᾶς πολλὰ λαμβάνειν εἰς τὴν μαθηματικὴν μέθοδον.

Οὐ μὴν ἐξαρκεῖ γε τοῦτο. ἀλλ’ ἐπεὶ παραλαβὼν παρὰ βαρβάρων τὰ μαθήματα Πυθαγόρας ἀφ’ ἑαυτοῦ πολλὰ προσέθηκε, δεῖ καὶ τὰς τοιαύτας ἀρχὰς συνεισενεγκεῖν, τήν τε ἰδιότητα αὐτοῦ τῆς μαθηματικῆς προσθεῖναι. πολλὰ γὰρ φιλοσόφως ἐθεώρησε τῶν μαθημάτων, ᾠκειώσατό τε αὐτὰ ταῖς οἰκείαις ἐπιβολαῖς, καίτοι παρ’ ἄλλων παραδοθέντα, τάξιν τε αὐτοῖς ἐφήρμοσε τὴν πρέπουσαν καὶ ζητήσεις περὶ αὐτῶν ἐποιήσατο τὰς προσηκούσας, ὁμολογίαν τε δι’ ὅλων παρέχεται τὴν αὐτὴν ἀεί, ὡς μηδαμοῦ παραβαίνειν τὸ ἀκόλουθον. ταύταις οὖν ταῖς ἀρχαῖς ἐμμένοντας δεῖ τὴν Πυθαγορικὴν μαθηματικὴν ἀνιχνεύειν. ἐξαίρετα δὲ αὐτῆς ὡσπερεὶ στοιχεῖα κοινὰ λάβωμεν, ὡς μὲν αὐτόθεν ἀκοῦσαι τὴν συμβολικὴν καὶ ἀπεξενωμένην χρῆσιν τῶν μαθηματικῶν λέξεων· τῶν γὰρ ὄντων στοχαζόμενος καὶ τῶν ἀληθῶν, οὕτω καὶ τὰ κατὰ φύσιν ὀνόματα ἐτίθει τοῖς μαθήμασιν. ἀρχὴν δὲ διδασκαλίας ἀπ’ αὐτῶν ἐποιεῖτο δυναμένην ὁδηγεῖν τοὺς ἀκούοντας, εἴ τις δι’ ἐμπειρίας ἱκανῆς ἱκανῶς ἀκούοι τῶν ὀνομάτων. καὶ μὴν ἀποδείξεών γε καθαρότητι λεπτότητί τε καὶ ἀκριβείᾳ παραλλάττει πᾶσαν τὴν τῶν ἄλλων ὁμοειδῆ θεωρίαν, ἐναργείᾳ τε πολλῇ χρῆται καὶ ἀπὸ τῶν γνωρίμων ὁρμᾶται· κάλλιστον δὲ ἐν αὐτῇ τυγχάνει τὸ ὃν τὸ ὑψηλόνουν καὶ ἐπὶ τὰ πρῶτα αἴτια ἀναγόμενον, τῶν τε πραγμάτων ἕνεκα ποιούμενον τὰς μαθήσεις καὶ καθαρῶς ἀντιλαμβανόμενον

τῶν ὄντων, ἐνιαχοῦ δὲ καὶ συνάπτον τὰ μαθηματικὰ θεωρήματα τοῖς θεολογικοῖς. τοσαῦτα γὰρ ἄν τις ἐν τῷ παρόντι ὡς κοινὰ ἐξαίρετα τῆς τοιαύτης ἐπιστήμης προστήσαιτο ἂν στοιχεῖα.

Πῶς δὲ δεῖ μεταδιώκειν αὐτῆς τὴν θήραν, ἄξιον τόδε σύμπαν εἰπεῖν ἑπομένως τοῖς ὑπ’ αὐτῶν τῶν ἀνδρῶν παραδοθεῖσιν. ἀλλ’ ἐπεὶ τὰ πλεῖστα ἐνεργὰ ἦν παρ’ αὐτοῖς, ἐν μνήμαις τε ἀγράφοις διεσῴζετο, αἳ νῦν οὐκέτι διαμένουσι, περὶ ὧν οὐδὲν τεκμήρασθαι ῥᾴδιον οὐδὲ ἀνευρεῖν ἢ ἀπὸ γραμμάτων ἢ παρ’ ἄλλου ἀκούοντα, δεῖ τοιόνδε τι ποιεῖν· ἀπὸ σμικρῶν αἰθυγμάτων ὁρμωμένους σωματοποιεῖν ἀεὶ τὰ τοιαῦτα καὶ συναύξειν, εἰς ἀρχάς τε αὐτὰ ἀνάγειν τὰς προσηκούσας καὶ τὰ παραλειπόμενα ἀναπληροῦν, στοχάζεσθαί τε κατὰ τὸ δυνατὸν τῆς ἐκείνων γνώμης, τίνα ἂν εἶπον, εἰ ἐνεχώρει τινὰ αὐτῶν διδάσκειν. ἤδη δὲ καὶ ἀπὸ τῆς ἀκολουθίας τῶν ἀναμφισβητήτως ἡμῖν παραδοθέντων δυνάμεθα τὰ ἑξῆς ἀνευρίσκειν μαθήματα προσηκόντως. οἱ γὰρ τοιοῦτοι τρόποι τῆς διερευνήσεως ἢ τυχεῖν ἡμᾶς ποιήσουσι τῆς ὄντως μαθηματικῆς Πυθαγορείου ἐπιστήμης, ἢ ἐγγυτάτω προσελθεῖν πρὸς αὐτήν, καθ’ ὅσον οἷόν τ’ ἐστὶ μάλιστα. συνομολογεῖν δὲ ταύτῃ νενόμικα τὴν ἐπιτήδευσιν αὐτῆς, τὴν κατὰ τὸν οἰκεῖον ἀρχηγέτην διαμελετωμένην· πάντῃ γὰρ ἦν ἰδιάζουσα καὶ παρὰ τὰς ἄλλας ἀσκήσεις ἐξαίρετος, πρὸς τὴν ψυχὴν ἀποβλέπουσα καὶ τὴν κάθαρσιν τοῦ τῆς ψυχῆς ὄμματος, εὕρεσίν τε τῶν πρώτων εἰδῶν καὶ αἰτίων τῆς μαθηματικῆς οὐσίας ποιουμένη, καὶ πρὸς τὴν φύσιν αὐτῶν τῶν ὄντων συναρμόζουσα, προσοικειοῦσα

δὲ τοῖς νοητοῖς εἴδεσι, καὶ τὸ συγγενὲς αὐτῶν πρὸς τὸ ἀγαθὸν καὶ τὸ πρὸς ἄλληλα τῶν μαθημάτων οἰκεῖον ἀναδιδάσκουσα.

Τοιαύτη τοίνυν οὖσα ἡ μαθηματικὴ ἄσκησις συντόνως καὶ σφοδρῶς καὶ ἀδιαλείπτως ἀνεζήτει τὰ ὑφ’ ἑαυτὴν θεωρήματα. συνεβάλλετο δὲ τῇ μὲν ψυχῇ πρὸς γνώσεως καθαρότητα καὶ λεπτότητα τῶν διανοήσεων, ἀκρίβειάν τε τοῦ λόγου καὶ συναφὴν πρὸς τὰς καθ’ ἑαυτὴν ἀσωμάτους οὐσίας, πρὸς συμμετρίαν τε καὶ εὐαρμοστίαν καὶ περιαγωγὴν ἐπὶ τὸ ὄν· τῷ δὲ ἀνθρώπῳ τάξιν εἰς τὸν βίον παρέχει ἠρεμίαν τε τῶν παθῶν καὶ κάλλος ἐν τοῖς ἤθεσιν εὑρέσεις τε τῶν ἄλλων τῶν εἰς τὸν ἀνθρώπινον βίον λυσιτελούντων. μετεχειρίζοντο δὲ αὐτὴν παρ’ ὅλην τὴν οἰκείαν ζωήν, ταῖς τε πράξεσι συνυφαίνοντες τὸ ἀπ’ αὐτῆς ὄφελος καὶ τοῖς τῆς ψυχῆς τρόποις, ταῖς τε τῶν πόλεων κατασκευαῖς καὶ ταῖς τῶν οἴκων διοικήσεσι, τεχνικαῖς τε ἐργασίαις καὶ πολεμικαῖς ἢ εἰρηνικαῖς παρασκευαῖς, καὶ ὅλως περὶ πάντα τὰ μέρη τοῦ βίου τὴν μαθηματικὴν προσέφερον, οἰκείως μὲν τοῖς πράγμασι, λυσιτελούντως δὲ τοῖς χρωμένοις, ἐμμελῶς δὲ πρὸς ἀμφότερα ταῦτα, καὶ περὶ τἆλλα πάντα συμμέτρως. δεῖ τοίνυν κατὰ ταῦτα τὰ ἴχνη συνεπομένους οὐχ ἁπλῶς ἀσκεῖν μαθηματικήν· ἡ γὰρ νῦν ἐπιπολάζουσα αἰσθήσει καὶ φαντασίᾳ χρῆται μᾶλλον, ἀλλοτρία τέ ἐστιν ἀληθείας, γενέσει τε μᾶλλον προσφιλὴς παραπέφυκεν. εἰ δὴ βουλοίμεθα Πυθαγορικῶς μαθηματικὴν ἀσκεῖν, τὴν ἔνθεον αὐτῆς ὁδὸν καὶ ἀναγωγὸν καὶ καθαρτικὴν καὶ τελεσιουργὸν μεταδιώκειν σπουδῇ προσήκει.

Ὅτι τοίνυν οὐδὲ εἰκῇ Πυθαγόρας τὴν περὶ τὰ μαθήματα φιλοσοφίαν εἰς σχῆμα παιδείας ἐλευθερίου μετέστησε, καὶ τῷ τε πλήθει τῶν δεικνυμένων πολὺ προῆγεν αὐτὰ καὶ τῇ τῶν ἀποδείξεων ἀκριβείᾳ, τῆς τε ἀναγκαίας χρήσεως πρὸς τὸν βίον περιττότερον αὐτὰ ἤσκησεν, ἐντεῦθεν ῥᾴδιον καταμαθεῖν. εἰ γάρ τι σπέρμα καὶ ἀρχὴν τοιαύτης γνώσεως ἐκομισάμεθα, ἀφ’ ἧς τὸ τῆς ἐπιστήμης γένος ὀνομαστὶ παρειληφότες πρότερον ἀκριβῶς ἐθεωρήσαμεν οἷόν τι τὴν φύσιν ἐστίν, οὐκ ἀλλαχόθεν ἡμῖν γέγονεν ἢ ἀπὸ τούτων. ἀλλὰ καὶ ἡ δύναμις τῆς ἐπιστήμης φανερὰ κατέστη διὰ τῶν οἰκείων λόγων ἐν ταῖς περὶ ταῦτα ἀποδείξεσιν. ἔτι δὲ πολλοῖς πιστεύοντας ἡμᾶς εἰκῇ τῶν φαινομένων ἐπηνώρθωκεν ἡ περὶ ταῦτα σύνεσις, φανερὸν καθιστᾶσα περὶ αὐτῶν τἀληθὲς ὅπως ποτὲ ἔχει. μάλιστα δὲ θέας ἐλευθερίου τε καὶ φιλοσόφοις ἁρμοττούσης πρῶτον ἐν τῇ τούτων κοινωνίᾳ μεταλαμβάνομεν· οἰκεῖον γάρ ἐστιν ἑκάστῳ τὸ τὴν φύσιν ὅμοιον, τοῦ δὲ ἐλευθέρου τὸ κύριον τέλος τῆς κατὰ τὸν οἰκεῖον βίον ἐνεργείας πρὸς αὑτὸν τὴν ἀναφορὰν ἔχει καὶ πρὸς οὐδὲν ἕτερον τῶν ἐκτός * * * λεχθείσαις ἐπιστήμαις θεωρητικαῖς οὔσαις ὑπάρχει τε καὶ πρώταις ὑπάρχει διὰ τὸ τὴν μάθησιν αὐτῶν πρώτην ἔχειν τάξιν κατὰ τὸν τῆς ἡλικίας χρόνον, οὐδὲν προσδεομένην τοιαύτης ἐπαγωγῆς, ἢ διὰ συνηθείας ἐκ τῶν καθ’ ἕκαστα γίνεσθαι πέφυκεν· ὅ τε φιλόσοφος ἔοικεν (εἰ δεῖ καθάπερ τὰς ἄλλας οἰκείας ὀρέξεις, ὅσαι τῇ φιλοστοργίᾳ τῇ

πρός τι γένος εἰσὶν ὠνομασμέναι, καὶ τούτῳ προσάψαι τοὔνομα οἰκείως ἀπὸ τοῦ πάθους) ἐπιστήμης τινὸς ἔχειν ἔφεσιν δι’ αὑτὴν τιμίας, ἀλλ’ οὐ διά τι τῶν ἀποβαινόντων ἀπ’ αὐτῆς ἕτερον. οὐ γὰρ ἂν δόξειαν αὐτοῖς τὴν πρέπουσαν ἀπονέμειν τάξιν ἔνιοι τῶν προάγειν μὲν αὐτὰ βουλομένων, φασκόντων δὲ τὴν μάθησιν αὐτῶν δεῖν ἡμᾶς ποιεῖσθαι διὰ τὸ χρησίμην εἶναι τὴν ἐν τούτοις γυμνασίαν πρὸς ἑτέρας θεωρίας. ὧν γὰρ χάριν τοῦτο παρακελεύονται δρᾶν, τῇ τούτων φύσει τἀληθοῦς ἧττόν ἐστιν οἰκεῖα, καὶ τοῖς εἰωθόσιν ὑπὲρ αὐτῶν λέγεσθαι λόγοις, οὐδὲ παράμιλλα κατὰ τὴν τῶν ἀποδείξεων ἀκρίβειαν. ἱκανὸν δὲ τούτου σημεῖον· τὰς μὲν γὰρ διαμενούσας τε καὶ πιστευομένας ὁρῶμεν διὰ τέλους ὁμοίως ὑπὸ τῶν μεταχειριζομένων αὐτάς, τῶν δὲ παντελῶς ὀλίγας ἄν τινας εὕροιμεν τοιαύτας. πρὸς πολλὰς μὲν οὖν καὶ τῶν πρὸς τὸν βίον ἀναγκαίων καὶ τῶν ἐκ περιουσίας ἤδη καὶ καθ’ αὑτὰ τιμίων ἡ περὶ τὰ μαθήματα φιλοσοφία βεβοήθηκεν ἡμῖν. καὶ γὰρ τῶν δημιουργικῶν τεχνῶν οὐκ ὀλίγαις εὕροιμεν ἂν ἐπικουρίαν ἀπ’ αὐτῶν γεγενημένην· καὶ τὴν περὶ φύσεως φιλοσοφίαν, κἂν εἴ τις ἑτέρα ταύτης ἔχῃ τάξιν ἐντιμοτέραν, πολλοῖς ἂν χρωμένην ἴδοιμεν ἐν ταῖς οἰκείαις ἀποδείξεσιν, ἃ διὰ τῶν λεχθέντων τεθεωρήκαμεν. ἔτι δὲ τοῦ τεταγμένου τε καὶ τάξεως οἰκείους ἡμᾶς καθιστᾶσα, καὶ πρὸς ἀρετὴν καὶ τὸ καλὸν ἅπαν ποιοῖτ’ ἄν τινα προτροπήν. οὐ μόνον δὲ διὰ τὴν τοιαύτην βοήθειαν ἀγαπήσειεν ἄν τις αὐτῶν τὴν δύναμιν, ἀλλὰ μᾶλλον ἔτι δι’ αὐτὰς καὶ διὰ τὴν οἰκείαν φύσιν. συγχωρεῖται μὲν γὰρ ὡς εἰσί τινες τῶν ἐπιστημῶν δι’ αὑτὰς αἱρεταί, καὶ οὐ μόνον διὰ τὰ συμβαίνοντα ἀπ’ αὐτῶν· μόναις δὴ μάλιστα τοιαύταις εἶναι ταῖς θεωρητικαῖς ἐνδέχεται, διὰ τὸ μηδὲν αὐτῶν εἶναι τέλος ἕτερον παρὰ τὴν θεωρίαν. ἔστι δὲ ταὐτά, οἷς ἑτέραν ἀνθ’ ἑτέρας ἐπιστήμην αἱρετωτέραν εἶναι τίθεμεν, καὶ οἷς αὐτὴν ἑκάστην αἱρετήν. αἱρούμεθα δὲ ἑτέραν πρὸ ἑτέρας ἢ διὰ τὴν αὐτῆς ἀκρίβειαν ἢ διὰ τὸ βελτιόνων καὶ τιμιωτέρων εἶναι θεωρητικήν· ὧν τὸ μὲν ἅπαντες συγχωρήσειαν 〈ἂν〉 ἡμῖν διαφόρως ὑπάρχειν ταῖς μαθηματικαῖς τῶν ἐπιστημῶν, τὸ δ’ ὅσοι ταῖς μὲν ἀρχαῖς ταῖς πρώταις τὴν εἰρημένην προεδρίαν ἀπονέμουσιν, ἀριθμοῖς δὲ καὶ γραμμαῖς καὶ τοῖς τούτων πάθεσιν οἰκείαν ὑπολαμβάνουσιν εἶναι τὴν τῆς ἀρχῆς φύσιν διὰ τὴν ἁπλότητα τῆς οὐσίας. ἔτι τὰ περὶ τὸν οὐρανὸν θεωρήματα τιμιωτάτην ἔχοντα καὶ θειοτάτην τάξιν τῶν ἡμῖν αἰσθητῶν διὰ τῆς ἀστρολογικῆς ἐπιστήμης γνωρίζεσθαι πέφυκεν, ἣ μία τῶν μαθηματικῶν οὖσα τυγχάνει· ἄτοπον δ’ ἂν δόξειεν εἶναι καὶ οὐδαμῶς ὁμολογούμενον τό, φάσκοντας οἰκεῖον εἶναι τῆς ἀληθείας τὸν φιλόσοφον, ζητεῖν τιν’ αὐτὸν οἴεσθαι δεῖν καρπὸν ἕτερον ἀπὸ τῶν τοιούτων θεωρημάτων, ἃ τῆς ἀκροτάτης ἀληθείας κεκοινώνηκε· καὶ φιλοθεάμονα ὄντα τὰς τοιαύτας τῶν ἐπιστημῶν ἀξιοῦν δι’ ἕτερον λαμβάνειν, αἳ περὶ τὰ κοινότατά τε τῆς φύσεώς εἰσι καὶ τῶν ἡμῖν αἰσθητῶν τὰ θειότατα, πλείστων τε καὶ θαυμασιωτάτων θεαμάτων οὖσαι πλήρεις ἀκρίβειαν οὐ πλαστὴν ἐκ λόγων κενῶν ἔχουσιν, ἀλλ’ οἰκείαν καὶ βέβαιον ἐκ τῆς ὑποκειμένης αὐταῖς φύσεως. ὅλως δ’ ὅσα ζητήσειεν ἄν τις δεῖν ὑπάρχειν ταῖς δι’ αὑτὰς αἱρεταῖς τῶν ἐπιστημῶν, ἁπάντων τούτων εὑρήσομεν κοινωνούσας τὰς μαθηματικάς. περὶ φύσιν γὰρ ἑκάστη τινά ἐστιν αὐτῶν, καὶ ταύτην ἀίδιον καὶ θεάματα ἔχουσαν ἐν αὑτῇ πολλὰ καὶ θαυμαστά, κατὰ τὴν τάξιν τῶν οἰκείων παθῶν καὶ κατὰ τὴν ἀπόστασιν τῆς ἐκ τῶν αἰσθητῶν ὑπολήψεως. ἔτι δὲ τὰς τῶν ἀποδείξεων ἀρχὰς γνωρίμους λαμβάνουσαι καὶ δι’ αὑτῶν πιστάς, οὕτω ποιοῦνται τοὺς ὑπὲρ τούτων συλλογισμοὺς διὰ τούτων, ὥστ’ εἶναι παράδειγμα τοῖς βουλομένοις ἀκριβῶς τι συναγαγεῖν τὰς ἐν τούτοις ἀποδείξεις· διόπερ ἁρμόττειν ἂν δόξειε τοῖς οἰομένοις τὴν μὲν ἐν τῷ φιλοσοφεῖν διαγωγὴν καθ’ αὑτὴν αἱρετὴν εἶναι, τὴν δὲ περὶ τὰ μαθήματα θεωρίαν οἰκείαν καὶ συγγενῆ φιλοσοφίᾳ. εἰκότως ἄρα διὰ ταῦτα πάντα ἐτίμων τὴν περὶ τὰ μαθήματα σπουδὴν οἱ Πυθαγόρειοι, καὶ πρὸς τὴν τοῦ κόσμου θεωρίαν αὐτὴν ποικίλως συνέταττον· οἷον τὸν μὲν ἀριθμὸν ἀπὸ τῶν περιφορῶν καὶ τῆς διαφορᾶς τούτων τῷ λογισμῷ περιλαμβάνοντες, τὰ δὲ δυνατὰ καὶ ἀδύνατα τῇ τοῦ κόσμου συστάσει ἀπὸ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι δυνατῶν καὶ ἀδυνάτων θεωροῦντες, τὰς δὲ οὐρανίους περιφορὰς κατὰ τοὺς συμμέτρους ἀριθμοὺς μετ’ αἰτίας νοοῦντες, μέτρα τε τοῦ οὐρανοῦ κατά τινας μαθηματικοὺς λόγους ἀφορίζοντες, καὶ ὅλως τὴν φυσιολογίαν τὴν προγνωστικὴν ἀπὸ τῶν μαθημάτων συστησάμενοι, καὶ πρὸς τὰ ἄλλα τὰ περὶ τοῦ κόσμου θεωρήματα ὥσπερ ἀρχὰς τὰ μαθήματα προστησάμενοι. ἀφ’ ὧν δὴ καὶ εἰς τὰ περὶ φύσεως πολλὰς ἀποδείξεις ἐπορίσαντο, καὶ εἰς τὸ καλὸν κἀγαθὸν τὴν ἀρετὴν προτρέπουσι, καὶ [εἰς] τὸ μέγιστον θεολογικῶς ἀστρονομοῦσι διὰ τὰ μαθήματα. ὥστε διὰ πάντα ταῦτα θαυμαστὴν εἰκότως σπουδὴν περὶ αὐτὰ ἐποιοῦντο.

Τὸ δὴ μετὰ τοῦτο καὶ τὴν συνήθειαν ἄξιον εἰπεῖν τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι διατριβῆς τῶν Πυθαγορείων. ἐκεῖνοι τοίνυν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν ἀπέστησαν τοὺς περὶ τῶν μαθημάτων λόγους, εἴς τε πίστιν ἀσωμάτου οὐσίας περιῆγον δι’ αὐτῶν τὴν διάνοιαν, διαπορθμεύουσί τε αὐτοῖς ἐχρῶντο ἐπὶ τὰ νοητά, καὶ ἐν τοῖς μάλιστα ἐσκόπουν τί πρὸς τὰ καθαρὰ εἴδη καὶ τοὺς ἑνιαίους λόγους ἐστὶν ἐν αὐτοῖς ἀπεικασμένον. τοῖς μὲν οὖν θεωρήμασι τοῦτον προσεφέροντο τὸν τρόπον, ἅπαξ δὲ ἀποστήσαντες αὐτῶν τὴν ἐπιστήμην τῆς κοινῆς καὶ δεδημοσιευμένης γνώσεως, καὶ τὴν μετάδοσιν ἐποιοῦντο αὐτῶν κατὰ τὰ αὐτὰ ἐν ἀπορρήτοις· ὀλίγοις τε πάνυ τῆς γνώσεως αὐτῶν ἐκοινώνουν, καὶ εἴ πού τι ἔκφορον γένοιτο εἰς τοὺς πολλούς, ἀφωσιοῦντο τοῦτο ὡς ἀσέβημα· διόπερ ἀπωθοῦντο καὶ τοὺς ἔξω τῆς συνηθείας, ὡς ἀναξίους ὄντας αὐτῶν μεταλαμβάνειν. ὑπέλαβε γὰρ Πυθαγόρας οὐ πᾶσι δεῖν κοινωνεῖν τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι φιλοσοφίας, ἀλλ’ αὐτοῖς μόνοις, οἷσπερ ἄν τις τοῦ παντὸς βίου κοινωνήσειε. καὶ πρὸς ταύτην τὴν ὁμιλίαν οὐκ εἰκῇ προσίετο οὐδὲ τοὺς τυχόντας, ἀλλὰ πεῖράν τε

λαμβάνων ἐν πολλῷ χρόνῳ καὶ τοὺς ἀναξίους ἀπωθούμενος. καὶ τοῖς μὲν ἔξω τῆς συνηθείας οὐκ ἐποιήσατο κοινὴν τὴν δι’ αὑτοῦ γενομένην ἐπίδοσιν ἀπορρήτους ποιησάμενος πρὸς τοὺς ἄλλους τοὺς περὶ αὐτῶν λόγους, ἐν δὲ τοῖς ὀνομασθεῖσι Πυθαγορείοις διὰ τὴν πρὸς ἑαυτὸν ἑταιρίαν πολλὴν ἐπίδοσιν παρέσχε τῇ τε περὶ τὰ μαθήματα φιλοσοφίᾳ καὶ τῇ περὶ γεωμετρίαν θεωρίᾳ, καὶ σχεδὸν ἁπάντων τῶν ὕστερον ἐπὶ πλέον προελθόντων εὕροι τις ἂν τὰς ἀρχὰς ἡμῖν παρ’ ἐκείνου γεγενημένας. ἠγάπα δ’ ἐν αὐτοῖς οὐχ ὥσπερ ἔνιοι τῶν ὕστερον τὴν δύναμιν, ἀφ’ ἧς οἷοί τ’ ἔσονται τὸ προβληθὲν εὑρίσκειν, ἀλλ’ αὐτὰ τὰ θεωρήματα· καὶ τούτων οὐχ ὅσα χαλεπώτατα ἦν εὑρεῖν, καθάπερ [ἦν] οἱ πλεῖστοι τῶν ὕστερον, ἀλλ’ ἐν οἷς ἦν μάλιστα αὐτῶν κατανοῆσαι τάξιν ἤ τι σύμπτωμα φυσικόν. ἔπαθον δὲ τοῦτο διὰ τὸ τῆς ὅλης φύσεως οἴεσθαι τὰς ἀρχὰς ὑπάρχειν ἐν τούτοις καὶ μάλιστα εὐθεωρήτους εἶναι τίνες τέ εἰσι καὶ πόσαι, διὰ τὸ περὶ μένουσάν τε φύσιν εἶναι καὶ κινήσεως ἀπηλλαγμένην, ἔτι δὲ ἁπλῆν· διόπερ οὔτε τῶν προβληματικῶν ἥψαντο, πλὴν ὅσα ἦν στοιχειώδη, καθάπερ ἡ παραβολὴ καὶ ὁ τετραγωνισμός, οὔτ’ ἐν τοῖς θεωρήμασιν ἐπραγματεύοντο πάντα ἐπεξιέναι βουλόμενοι καὶ μηδὲν τῶν ἐνδεχομένων παραλιπεῖν, ἀλλ’ αὐτὰς μόνον τὰς ἀρχὰς ἰδεῖν ἐν ἑκάστοις ἐζήτουν. γυμνασίαν δὲ ἐν ταῖς ἐπιστήμαις ταύταις καὶ ἐξεργασίαν λογικὴν ἐποιοῦντο ἀκριβῆ θεωρητικὴν εἰς ἐπιστήμην οἰκείαν, τάξιν τε ἐν ταῖς ἐπιστήμαις προσέθηκαν τὴν προσήκουσαν, ὀλίγα τε κατ’ ἀρχὰς παραλαβόντες ἐξειργάσαντο ταῦτα, καὶ μάλιστα τὰ τιμιώτατα καὶ σεμνότατα τῶν θεωρημάτων ἐτελεώσαντο, ἄλλως τε ἀσκούμενα τὰ θεωρήματα ἐπ’ ἄλλα περιήγαγον, τάξιν τ’ ἐν αὐτοῖς ἐποιοῦντο τοιαύτην ὡς τὰ μὲν ἁπλούστερα 〈πρότερα〉 παραδιδόναι τὰ δὲ συνθέσεως ἐφαπτόμενα δεύτερα, καὶ τῇ φύσει τῶν ὄντων ἑπομένως συνέταττον τὰ θεωρήματα καὶ τῇ ἡμετέρᾳ δυνάμει προσφόρως καὶ τῇ ἀξίᾳ τῶν παραλαμβανόντων αὐτὰ οἰκείως τῇ τε πρὸς ἀρετὴν ἀγωγῇ καὶ τῇ ὅλῃ παιδείᾳ ὁμολογουμένως καὶ τῇ καθάρσει τῆς ψυχῆς προσηκόντως.

Τοιαῦτα ἄν τις καὶ περὶ τούτου γνωρίσματα τοῦ Πυθαγορικοῦ τύπου ποιήσαιτο, περὶ ὧν πλείονα ἐροῦμεν ἐν τοῖς κατ’ ἰδίαν περὶ ἑκάστου τῶν μαθημάτων λεχθησομένοις.