Περί της κοινής μαθηματικής επιστήμης (17)

Καὶ μὴν ὅτι γε τάξις ἐστὶν ἐν αὐτῇ διττή, ἡ μὲν κατὰ φύσιν αὐτῇ συνυπάρχουσα, ἡ δὲ ὡς πρὸς τὴν μάθησιν, ῥᾴδιον ἐντεῦθεν καταμαθεῖν. εἰ γὰρ πᾶσι τοῖς ἄλλοις τὸ τεταγμένον ἀπὸ τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης παραγίγνεται καὶ τὸ ἐξ ἀνάγκης ἀκολουθεῖν τόδε τῷδε, πολὺ δήπου πρότερον αὐτὴ ἡ μαθηματικὴ θεωρία τάξιν περιέχει ἐν ἑαυτῇ, καὶ τὴν ἀγωγὴν τὴν πρὸς τὸ τέλειον τεταγμένως ποιεῖται. ἡ μὲν οὖν κατὰ φύσιν τῶν μαθημάτων τάξις προτάττει τὰ ἁπλούστερα ὡς πρότερα, οἷον ἀριθμητικὴν γεωμετρίας, ἐνίοτε δὲ καὶ πρὸς διδασκαλίαν τὰ αὐτὰ προηγεῖται, ὅταν ἀπὸ τῶν στοιχείων γίγνηται τῶν συνθέτων ἡ μάθησις· οὐ μὴν ἀλλ’ ἐνίοτε καὶ ὡς πρὸς ἡμᾶς τὰ σύνθετα τῶν ἁπλουστέρων ἔσται εἰς μάθησιν πρότερα, ὅταν ᾖ γνωριμώτερα, οἷον ὁ σύμπας οὐρανὸς καὶ ἡ περὶ αὐτὸν κίνησις τῆς ἁπλῶς σφαίρας καὶ τῆς αὐτὸ τοῦτο κινουμένης σφαίρας ἐστὶ δήπου γνωριμωτέρα. εἰ δή τις διὰ τῶν φανερῶν τὰ ἀφανῆ ἐνδεικνύοιτο, οὐκ ἔσται ὁ τοιοῦτος τρόπος ἀπόβλητος τῆς ἐφόδου. οὕτω δὲ τούτων διχῇ διῃρημένων, χρηστέον μὲν ἀμφοτέροις τοῖς τρόποις, τοῖς μὲν ὡς ἐπιστημονικωτέροις τοῖς δὲ

ὡς γνωριμωτέροις. καὶ δὴ ὅταν μὲν ἀναγκαῖον ᾖ τῷ ἑτέρῳ μόνῳ χρῆσθαι τρόπῳ, προκρίνειν δεῖ τὸν οἰκειότερον αὐτῶν καὶ μᾶλλον συμβαλλόμενον πρὸς τὸ προκείμενον ἐπιστητόν· ὅταν δὲ ἐξῇ ἀμφοτέροις χρῆσθαι, δι’ ἀμφοτέρων ὁδηγεῖν χρὴ εἰς τὴν ἐπιστήμην. ὅθεν δὴ ἐν πολλαῖς μαθηματικαῖς θεωρίαις τὰ αὐτὰ προβλήματα δι’ ἀναλύσεως τε καὶ συνθέσεως ἀποδείκνυται. ἐφ’ ὧν οὖν συμφωνοῦσιν οἱ δύο τρόποι τῆς ἐπιστήμης, ἐπὶ τούτων χρηστέον ἀμφοτέροις. δεῖ δὲ καὶ τῆς ἕξεως ἑκάστου στοχάζεσθαι, οἷον εἰ εὐφυὴς ὀξὺς ὤν τις δύναται ἀφ’ ἑνὸς ἐπὶ πολλὰ ῥᾳδίως μετιέναι καὶ ἀθρόως ἅμα πολλὰ παραδέχεσθαι τὰ συγγένειαν ἔχοντά τινα πρὸς ἄλληλα. κἀκεῖνο δὲ δεῖ σκοπεῖν, τὸ τέλος τῆς ἀναφορᾶς τί ποτ’ ἐστὶ τῆς ἐν μαθηματικῇ διατριβῆς, πότερον αὐτὸ τοῦτο τὸ μαθεῖν τὰ τῆς ἐπιστήμης θεωρήματα, ἢ εἰς φιλοσοφίαν τις αὐτὰ ἀνάγει καὶ προτίθεται ὁδηγεῖσθαι δι’ αὐτῶν ἐπὶ τὴν τοῦ νοητοῦ θέαν· τῷ γὰρ τοιούτῳ ἄλλη ἂν εἴη ἡ τάξις, ἐνίοτε τὴν κατὰ φύσιν ἀκολουθίαν τῶν μαθημάτων ὑπερβαίνουσα. πάλιν τοίνυν ἕκαστον τῶν ἐν μαθηματικῇ θεωρημάτων τὰ μὲν αὐτόθεν φαινόμενα καὶ ἀτελέστερα ὑποδείκνυσιν ὡς πρότερα, οἷον ὅτι τὸ ὀρθογώνιον τρίγωνον ἴσον ἔχει δυναμένην τὴν ὑποτείνουσαν ταῖς περιεχούσαις, τὰ μέντοι τελειότερα καὶ περιττῆς δεόμενα ἀποδείξεως ὕστερα παραδίδο‐ ταί, ὅσα περὶ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου εἴς τε τὴν τῶν ἄστρων φορὰν καὶ τὴν εἰς τὸν ζῳδιακὸν συντέλειαν καὶ τὴν ἡλίου καὶ σελήνης φορὰν συντείνει. καὶ τὰ περὶ ἁρμονίας δὲ ὡσαύτως, τὰ μὲν περὶ τῆς ἁπλῆς πρότερα διδάσκεται, τὰ δὲ περὶ τῆς τοῦ κόσμου ὕστερα.

Ταῦτα δὴ οὖν τούτου ἕνεκα προειρήκαμεν, ἵνα μεθόδῳ τινὶ χρώμενοι ἐν τῇ τάξει τῆς μαθηματικῆς πραγματείας δυεῖν στοχαζώμεθα, τῆς τε φύσεως τῶν πραγμάτων καὶ τῆς δυνάμεως τῶν μανθανόντων, ἑκατέρῳ τε χρώμεθα ἁρμοττόντως, καὶ ὅταν συμφωνῇ ταῦτα πρὸς ἄλληλα, ἀμφοτέροις ἐπ’ ἴσης.