Περί της κοινής μαθηματικής επιστήμης (14)

Περὶ δὲ ὁμοιότητος καὶ ἀνομοιότητος, ὡς μὲν πολλή τίς ἐστιν ἐν τοῖς μαθήμασι καὶ ἐπὶ τῆς

μαθηματικῆς οὐσίας, μεγάλην τε ἔχει τὴν δύναμιν ἐνταῦθα, πάντες ἂν συνομολογήσειαν· οὐδὲ γὰρ οἷόν τέ τι θεώρημα γνῶναι μαθηματικῶς, εἰ μή τις αὐτὸ κατασκευάσειεν ὁρισάμενός τι σχῆμα αὐτῷ ὅμοιον καὶ δι’ ἑτέρας εἰκόνος ποιησάμενος τὸν περὶ αὐτοῦ λόγον καὶ ἀφ’ ἑτέρου ἕτερον κατασκευάσας καθ’ ἕνα λόγον τὸν τῆς ὁμοιότητος. ἀλλ’ ἐκεῖνο ἄξιον θεωρίας, τίνες εἰσὶν αὗται αἱ κοινότητες αἱ τοῦ ὁμοίου καὶ ἀνομοίου, ἐπὶ πόσον τε διατείνουσιν ἐν τοῖς μαθήμασι, καὶ πῶς ὑπάρχουσιν ἐν αὐτοῖς, κατὰ τί τε διεστήκασι τῶν ἐν τοῖς νοητοῖς ἢ αἰσθητοῖς ὁμωνύμων λεγομένων ὁμοίων τε καὶ ἀνομοίων. δεῖ δὴ νοῆσαι τοῦτο, ὡς οὐ κατὰ ποιότητα τὸ ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον λέγεται ἐπὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, οὔτε κατὰ σχῆμα τοιοῦτον οἷον ἐπί τισιν ὡς ἕτερον περὶ ἑτέροις ἐπιγίνεται· τὰ μὲν γὰρ τοιαῦτα ποιὰ ἐν τοῖς συνθέτοις καὶ περὶ σύνθεσιν φιλεῖ συμβαίνειν, ἐφ’ ὧν ἕτερον μέν ἐστι τὸ ὑποκείμενον, ἕτερον δὲ τὸ ἐν ὑποκειμένῳ συμβεβηκός, χαρακτῆρά τε καὶ εἰδοποιίαν περὶ τὴν ὑποκειμένην φύσιν ἐναπεργαζόμενον· ὃ δὲ νῦν ζητοῦμεν ὅμοιόν τε καὶ ἀνόμοιον, πρεσβύτερόν ἐστι πάσης συνθέσεως. ἀλλ’ οὐδὲ κατὰ σχέσιν θεωρεῖται τοιαύτην, οἵα ἐν τῷ πῶς ἔχειν ὑφέστηκε· τῶν γὰρ καθ’ αὑτὰ ὑπαρχόντων οὐ δεῖ ἐξ ἄλλων ἠρτημένας νοεῖν τὰς ὑποστάσεις. ἔστω δὴ οὖν κατ’ οὐσίαν προηγούμενον τὸ νυνὶ λεγόμενον ὅμοιόν τε καὶ ἀνόμοιον, οὐσίαν δὲ οὐ πᾶσαν, ἀλλὰ τὴν μαθηματικήν. εἴδη τινὰ οὖν ταῦτα τῆς οὐσίας ἔσται τῆς μαθηματικῆς. οὐ γὰρ δεῖ τὸ ποιὸν καὶ ποσὸν ἀντιδιαιροῦντας τῇ οὐσίᾳ ἄλλην μὲν ἐπιστήμην ἐπὶ τῇ οὐσίᾳ θεωρητικὴν συντάττειν, ἄλλην δὲ ἐπὶ τῷ ποσῷ, καὶ ταύτην ἀφορίζεσθαι εἶναι τὴν μαθηματικήν· ἀλλ’ ὥσπερ ἔχει φύσεως, οὕτω καὶ τὴν οἰκείαν οὐσίαν τὴν μαθηματικὴν ἐπισκοπεῖν, καὶ τὰ εἴδη ταῦτα ὅσα τέ ἐστι καὶ ὁποῖα· καὶ ὃ δὴ καὶ τὸ ποσὸν συνεξετάζει, οὔτε τὸ ἐν τοῖς σώμασιν, οὔτε τὸ νοητὸν παράδειγμα, ἀλλ’ ὅσον ἐστὶ μαθηματικόν· ὡσαύτως δὴ οὖν καὶ τὸ ὅμοιον καὶ τὸ ἀνόμοιον, εἴτε ὡς κοινὰ γένη περὶ τὴν οὐσίαν ἢ εἴδη, εἴτε ὡς κοινὰς δυνάμεις γεννητικὰς εἰδῶν τῶν ἐν τοῖς καθ’ ἕκαστα μαθημάτων, πέφυκε συνθεωρεῖν κατ’ αὐτὸν τὸν τοῦ εἶναι λόγον. διατείνει δὲ ἐπὶ μὲν τῆς ὅλης οὐσίας μαθηματικῆς εἰς τὸ ὅλον αὐτῆς ὄν, ἐπὶ δὲ τῶν κατὰ μέρος μαθημάτων εἰς τὰς μεριστὰς αὐτῶν ὑποστάσεις, καὶ οὕτως καθ’ ὅσον ἄν τις θεωρῇ πλείονας ἢ ἐλάττονας ἢ μείζονας ἢ καταδεεστέρας τούτων περιγραφάς, πάσαις συμπαρεκτείνει τὸ ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον ἢ ἐπὶ πλεῖον ἢ ἔλαττον διήκοντα. οὐδὲ γὰρ ὅλως πλῆθος ἢ διαίρεσιν ἢ ἕνωσιν ἢ ταυτότητα καὶ ἑτερότητα δυνατὸν ἐν τοῖς ὄντως μαθηματικοῖς ὑποστῆναι, μὴ προηγησαμένης τῆς κατ’ οὐσίαν ὁμοιότητός τε καὶ ἀνομοιότητος. μηκέτι οὖν θαυμάζωμεν εἰ καὶ ἐφ’ ἓν γένος καὶ ἐπὶ πλείονα καὶ ἐπ’ ἐλάττονα καὶ ἐπὶ πάντα διατείνουσιν, ἀλλὰ πολὺ μᾶλλον ἐκεῖνο χρὴ θεωρεῖν, ὡς κατὰ τὴν οἰκειότητα ἑκάστων συγγενῶς αὐτοῖς ἐνυπάρχουσι. καὶ δεῖ θεωρεῖν καὶ τοῦτο, λέγω δὴ τοῦ ὁμοίου καὶ ἀνομοίου τὸ ἓν καὶ τὰ πολλὰ καὶ τὰ μεταξὺ τούτων, τάξιν τε αὐτῶν ἐπιβλέπειν ἥτις ἐστὶν ἡ προσήκουσα, καὶ διανομὴν ἐφ’ ἑκάστοις τοῖς μαθήμασιν ὡς πέφυκεν ἕκαστα αὐτῶν μεταλαμβάνειν. εἰ δὴ ταῦτα οὕτως ἔχει, καὶ ἐπιστήμη μαθηματικὴ πασῶν ἂν εἴη κυριωτάτη, ἥτις τὸ αὐτὸ τῆς ὁμοιότητος αἴτιον καὶ τῆς ἀνομοιότητος ἐπὶ προτέρων καὶ ὑστέρων ὡσαύτως ἀνευρίσκει, ἐπὶ δὲ τῶν ὁμοταγῶν ποιεῖται αὐτῶν τὴν δέουσαν διάκρισιν. καὶ δὴ καὶ παρὰ δόξαν τῶν πολλῶν κατὰ τὸν τῶν ἀσωμάτων τρόπον ἐν μὲν τοῖς διαφέρουσι τὸ ὅμοιον, ἐν δὲ τοῖς ἀδιαφόροις τὸ ἀνόμοιον θεωρεῖ. καὶ ὁμοίως τἀναντία ἐν ἀλλήλοις συνεξετάζει, ὥσπερ ἐν τῷ ὁμοίῳ τὸ ἀνόμοιον ἐπιθεωροῦσα. πῶς οὖν ἐγγίνεται αὐτῶν ἑκάτερον, ἄριστα ἂν κατανοήσαιμεν, εἰ φυλάττοιμεν καὶ ἐνταῦθα τὸ ἰδίωμα τῆς οὐσίας περὶ ἧς ποιούμεθα τὸν λόγον. μήτε γὰρ οὕτως αὐτὰ νοῶμεν ἐγγίγνεσθαι ὡς τὰ εἴδη τὰ ἔνυλα περὶ τὴν ὕλην ἐμφαντάζεται (συμφυῆ γάρ ἐστι καὶ ἀμετάστατα τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, ἐν ᾗ ἔχει τὸ εἶναι), μήτε οὕτως ὥσπερ τὰ ἔμφυτα ἐν τοῖς σώμασιν, οἷον ἡ θερμότης ἐν τῷ πυρί· καὶ γὰρ ταῦτα εἰ καὶ ὅ τι μάλιστα συνυφέστηκε τοῖς ἔχουσιν αὐτά, ἀλλ’ ὅμως θεωρεῖταί τις συνθέτου διαφορότης, καθόσον μετέχεται ὡς ἑτέρα, τὰ δὲ μετέχει ὡς ἄλλα. ἐπὶ δέ γε τῶν κατ’ οὐσίαν προϋπαρχόντων ἐν τοῖς μαθηματικοῖς οὖσιν ἁπλῆ τις οὐσία θεωρεῖται δι’ ὅλης ἑαυτῆς ἀσύνθετος οὖσα· ὅσῳ γὰρ μᾶλλον ἀσώματός ἐστι καὶ χωριστὴ τῶν συνθέτων καὶ διαστατῶν ὄγκων, τοσούτῳ μᾶλλον ἁπλούστερον καὶ καθ’ ἑαυτὸ ὑφεστηκὸς ἔχει καθαρώτερον τό τε ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον ἀμιγές. ὡσαύτως καὶ τὸ κοινὸν ἐν αὐτοῖς εἰλικρινὲς καὶ ἀδιάφθορον. ὁπότε δὴ οὖν ταῦτα συνομολογοῦμεν, δεῖ κἀκεῖνο καταμαθεῖν, ὡς ἡ μαθηματικὴ ὁμοιότης καὶ ἀνομοιότης ἑτέρα τῆς ἐπὶ τῶν νοητῶν καὶ τῆς ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν ὑπολαμβάνεσθαι ὀφείλει ὁμοιότητός τε καὶ ἀνομοιότητος. διακριθήσεται δὲ ἀπ’ αὐτῶν καθ’ ἕνα μὲν τρόπον, καθ’ ὃν τὰς τρεῖς οὐσίας διεστειλάμεθα (δῆλον γὰρ ὅτι 〈τριχῇ〉 τούτων διαφερουσῶν καὶ τὰ ἐν αὐταῖς εἴδη τριχῇ διοίσει), καθ’ ἕτερον 〈δέ〉, διότι τῇ μεσότητι αὐτῶν διορίζεται, ἐκείνων ἄκρων ὄντων καὶ τὴν ἀρχὴν καὶ τὸ τέλος ἀφοριζόντων τῶν περὶ τὴν οἰκείαν οὐσίαν εἰδῶν· καὶ ἄλλως δὲ τὰ μὲν ἀρχηγικὰ νοείσθω, τὰ δ’ ὡς ἐν ἀποτελέσματος τάξει γιγνόμενα, τὰ δὲ μεταξὺ φυόμενα τῶν τε προηγουμένων αἰτίων καὶ τῶν ὡς ἐσχάτων ἀποτελουμένων. ταῦτα δὴ προειληφότες, ῥᾳδίως ἂν δυνηθείημεν ἀπὸ τούτων καὶ τὰ ἐν ἑκάστῳ τῶν μαθημάτων ἴδια αὐτῶν ὅμοια καὶ ἀνόμοια ἐν τάξει θεωρεῖν, ὁπόταν τὸν ἴδιον περὶ αὐτῶν λόγον ποιώμεθα· νῦν δὲ τὰ κοινὰ ἡμῖν περὶ αὐτῶν ἄχρι τούτων εἰρήσθω.

Ἀπὸ δὴ τοιούτων καὶ τοσούτων γενῶν ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη συνισταμένη ἀρχῶν τε καὶ στοιχείων, καὶ τοιαύτη οὖσα οἵαν αὐτὴν προειρήκαμεν, οὐκ ἐπὶ βραχὺ διατείνει οὐδὲ ἐπὶ ὀλίγα ἄττα τῶν ἐν τῷ βίῳ πραγμάτων, ἀλλ’ ἐπὶ τὰ μέγιστα καὶ κάλλιστα τῶν τε θείων καὶ ἀνθρωπίνων ἀγαθῶν συμβάλλεται.