Περί της κοινής μαθηματικής επιστήμης (10-14)

Πότερον δὲ μῖγμα ἐκ πάντων ἐστὶ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν ὄντων, ἢ πάντα ὑφίστησιν αὐτὴ καθ’ ἕνα λόγον προηγούμενον, χρὴ διασκέψασθαι. εἰ μὲν οὖν σύμμιξίς ἐστιν ἀφ’ ὅλων, προϋπάρχει αὐτῆς τὰ συμπληρωτικὰ ἀφ’ ὧν συνιόντων συγκίρναται, καὶ οὐκέτ’ ἂν εἴη αὐτὴ ἀρχὴ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, ἀλλ’ ἀπὸ τῶν σποράδην ὑφεστηκότων μαθημάτων συνιόντων εἰς ταὐτὸ ἀπογεννωμένης πρὸς τοῖς ἄλλοις ἀτόποις καὶ σύνθεσίν τινα συνάγει μετὰ τῆς ψυχῆς καὶ ὑστερογενῆ ὡς ἐκ προτέρων τινῶν ἐπισυνισταμένην ὑπόστασιν· εἰ μέντοι αὕτη πρώτως ἀρχηγός ἐστι τῆς μαθηματικῆς οὐσίας καὶ παράγει ταύτην ἐξ ἑαυτῆς, πρεσβυτέρα τε αὐτῆς ἔσται, καὶ ὡς ἐν αἰτίας λόγῳ προηγεῖται καὶ ὡς ἑτέρα ὑπερέχει. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο ὑπεναντίον πρὸς τὴν παροῦσαν δόξαν· τιμιωτέρα γὰρ ἂν οὕτω γένοιτο ἡ ψυχὴ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν ὄντων. βέλτιον οὖν λέγειν ὡς οὔτε προηγεῖται οὔτ’ ἐπακολουθεῖ τοῖς μαθηματικῶς οὖσι, συντρέχει δὲ ἅμα πρὸς αὐτὰ καὶ συνυφέστηκεν ἀσύνθετον καὶ ἀμέριστον ἔχουσα τὴν ἐν ὅλοις καὶ ἀφ’ ὅλων σύμμιξιν, μονοειδῶς τε αὐτοῖς παροῦσα καὶ ἑνιαίως αὐτῶν ὅλων μετέχουσα,

δύναμίν τε περιεκτικὴν τῶν ὅλων ἐν ἑαυτῇ συλλαβοῦσα καὶ ἑαυτὴν δοῦσα εἰς ὅλα τὰ μαθήματα ὡσαύτως. εἰ δὲ τοῦτο οὕτως ἔχει, καὶ πάντα περιείληφεν ἐν ἑαυτῇ τελέως καὶ ἀνενδεῶς, οὐδέν τε ἐκτὸς ἑαυτῆς ἀφίησιν (αὐτή τε γάρ ἐστι τελεία καὶ οὐχ οἷόν τε τῆς οἰκείας ἀρχῆς ἀπολείπεσθαί τι τῶν ὄντων), μία τε οὕτως ἔσται ἡ οὐσία τῆς αὐτῆς ἀρχῆς δι’ ὅλων διηκούσης. διαφοραί γε μὴν οὐδὲν ἧττον ἔσονται κατὰ τὰς διαφόρους δυνάμεις καὶ ζωὰς καὶ ἐνεργείας τῆς ψυχῆς καὶ τὸ τῶν οὐσιῶν αὐτῆς πλῆθος, ὅπερ ἐν ἑνὶ περιέχεται. τοιοῦτον ἄν τις καὶ τὸν περὶ τούτων διορισμὸν εὐλόγως ὑπόθοιτο.

Περὶ μὲν οὖν οὐσίας τῆς μαθηματικῆς θεωρίας τοσαῦτα ἡμῖν εἰρήσθω.

Ἔργον δὲ τῆς ἐπιστήμης ταύτης ἐστὶν οὐχ ὡρισμένον, οὐδὲ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἔχον, ὥσπερ τὸ τοῦ νοῦ, οὐδὲ παρ’ ἑαυτοῦ πάντως τὸ γιγνώσκειν ἔχον, ὥσπερ τῷ νῷ τὸ τοιοῦτον σύμφυτόν ἐστιν· ἔξωθεν δὲ διεγείρεται πρὸς τὰς εἰδήσεις, καὶ δεχόμενον παρ’ ἄλλων τὴν ἀρχὴν τῆς ἀναμνήσεως, οὕτως αὐτὴν ἀφ’ ἑαυτοῦ προβάλλει· σταθερόν τε οὐκ ἔστι κατὰ μίαν ἐνέργειαν, ὥσπερ τὸ τοῦ νοῦ, ἀλλ’ ἐν κινήσει μᾶλλον πρόεισιν ἀφ’ ἑαυτοῦ καὶ εἰς ἑαυτό. ἀλλ’ οὐδὲ πλῆρές ἐστιν ἑαυτοῦ, ὥσπερ τὸ νοερόν, ἐν δὲ τῷ ζητεῖν καὶ εὑρίσκειν ἀεὶ ἀπό τινος κενώσεως τοῦ γιγνώσκειν εἰς πλήρωσιν αὑτοῦ προέρχεται. πέρατός τε καὶ ἀπειρίας ὁμοίως ἐν μέσῳ διείληπται· ὅθεν

ἀπὸ τοῦ ἀπείρου ἐπὶ τὸ ὁρίζεσθαι ἀεὶ προχωρεῖ, καὶ ἐπὶ τὸ μεταλαμβάνειν τῶν μαθηματικῶν εἰδῶν μεθίσταται. διὰ δὴ πάντα ταῦτα καὶ παραγίγνεται ἡ ἐπιστήμη αὕτη μαθήσεως πρώτης προηγησαμένης, ἧς τὴν ἀρχὴν ὁ διδάσκων παρέχει, εἶτα εὑρέσεως ἐπακολουθούσης, ἥτις συνήρτηται ταῖς καταβαλλομέναις ἀπὸ τοῦ διδάσκοντος ἀρχαῖς· κατὰ γὰρ ταύτας ἀναμιμνῄσκεται ἡ ψυχὴ τῶν ἀληθῶν ἐν μαθηματικῇ εἰδῶν καὶ προβάλλει τοὺς οἰκείους αὐτῶν λόγους. ἐνίοτέ γε μὴν καὶ κοινὴ ἐξ ἀμφοτέρων γίγνεται ἡ ἐνέργεια, διόπερ ὁ Ἀρχύτας ἐν τῷ Περὶ μαθηματικῶν λέγει· ‘δεῖ γὰρ μαθόντα παρ’ ἄλλω ἢ αὐτὸν ἐξευρόντα, ὧν ἀνεπιστάμων ἦσθα, ἐπιστάμονα γενέσθαι. τὸ μὲν ὦν μαθέν, παρ’ ἄλλω καὶ ἀλλοτρίᾳ, τὸ δὲ ἐξευρέν, δι’ αὔταυτον καὶ ἴδιον, ἐξευρεῖν δὲ μὴ ζατοῦντα, ἄπορον καὶ σπάνιον, ζατοῦντα δὲ εὔπορον καὶ ῥᾴδιον, μὴ ἐπιστάμενον δὲ ζητεῖν ἀδύνατον.’ ἐν γὰρ τούτοις τὴν μάθησιν πρώτην ἔθηκεν ὡς ἀρχὴν τῆς τοιαύτης ἐπιστήμης, καὶ τὸ ἴδιον αὐτῆς παρέδειξεν, ὡς παρ’ ἄλλου ἐνδιδομένης. δεύτερον ἐπήγαγε τὸ ‘αὐτὸν ἐξευρόντα’· εἰ γὰρ καὶ τῇ δυνάμει τοῦτο προηγεῖται, ἀλλὰ κατά γε τὴν ἀνθρωπίνην τάξιν ὡς πρὸς ἡμᾶς ἐστι δευτέρα· εἰς γένεσιν γὰρ πεσόντας ἀνάγκη ὑπ’ ἄλλων ὑπομιμνῄσκεσθαι πρότερον. ἔστι μὲν οὖν καὶ ὡς δύο τούτους τρόπους ὑπολαμβάνειν τοῦ παραδέχεσθαι ἐπιστήμην, ἔστι δὲ καὶ ὡς ἕνα αὐτοὺς τῷ λογισμῷ περιλαμβάνειν· ἐπειδὰν γὰρ ὡς παρ’ ἄλλου καὶ ἀλλότρια μεταλάβωμεν τὰ μαθήματα, τότε αὐτὰ ὡς ἴδια αὐτοὶ ἀφ’ ἑαυτῶν προχειρίζομεν. τοῦτο δὲ ῥᾴδιον καταμαθεῖν ἀπὸ τῶν εὑρέσεων· ὡς γὰρ ἔχοντες αὐτὰ ἐν ἑαυτοῖς, οὕτως εὑρίσκομεν καὶ ἐπιγιγνώσκομεν αὐτὰ εὑρεθέντα. καὶ ἀπὸ τῶν ζητήσεων δὲ τὸ αὐτὸ καταφαίνεται. εἰ γὰρ μὴ ἐπιστάμενον ζητεῖν ἀδύνατον, ἦν χρόνος ὅτε ἠπιστάμεθα ταῦτα, καὶ οὐχ ὁ παρὼν οὗτος (νῦν γὰρ αὐτὰ ἀγνοοῦμεν)· πρότερον ἄρα αὐτὰ ἠπιστάμεθα. καὶ διὰ τοῦτο ζητοῦντι εὔπορα καὶ ῥᾴδια τὰ μαθήματα πρὸς εὕρεσιν, μὴ ζητοῦντι δὲ ἄπορα καὶ σπάνια, διότι ἔνεστί πως ἐν ταῖς ψυχαῖς καὶ ἦν ποτε πρότερον περὶ αὐτὰς ἐν τῇ κατ’ ἐνέργειαν ἐπιστήμῃ. ὁδὸς ἄρα ἀπὸ ζητήσεως εἰς εὕρεσιν, καὶ ἀπὸ μαθήσεως εἰς ζήτησιν καὶ εὕρεσιν, ἡ διὰ τῶν μαθημάτων ἐστὶ πραγματεία. ὅθεν δὴ καὶ τὸ ὄνομα τοῦτο ἔσχε τὸ μαθηματικὴ καλεῖσθαι. ἀφ’ οὗ γὰρ πρώτου τὴν ἀρχὴν παραδέχεται ἡ ἐπιστήμη καὶ οὗ χωρὶς οὐχ οἷόν τε αὐτὴν ἐγγενέσθαι, λέγω δὲ τοῦ μανθάνειν, ἀπὸ τούτου τὸ ὄνομα εἴληφεν.

Ἔστω δὴ οὖν ἡμῖν καὶ ταῦτα περὶ αὐτῆς οὑτωσὶ διηυκρινημένα.

Δυνάμεις δὲ αὐτῆς διαριθμήσαιτο μὲν ἄν τις καὶ ἄλλας πλείονας, ἐν δὲ ταῖς πρώταις θεωρείσθωσαν αἱ ἀπὸ τοῦ πλήθους συναγωγοὶ πρὸς τὸ ταὐτὸν καὶ ἡνωμένον αἴτιον, καὶ ὅσαι ἀπὸ τοῦ ἑνὸς

διαιρετικαί εἰσιν εἰς πλῆθος. ἐπεὶ γὰρ ἐκ πέρατος καὶ ἀπειρίας συνεστήκασι καὶ ἑνὸς καὶ πλήθους, μέσαι τέ εἰσι τοῦ μεριστοῦ καὶ ἀμερίστου, καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον τῆς οὐσίας μετειλήφασι καὶ συναγωγῆς καὶ διαιρέσεως, ἀναπλώσεώς τε καὶ συνειλήσεως, ἐπιστροφῆς τε ἐπὶ τὸ ὡρισμένον καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀποστάσεως. ἔστι μὲν οὖν καὶ ἐν τῇ διαλεκτικῇ, τῇ περὶ τὸ ὄν προηγουμένως πραγματευομένῃ, ἡ τοιαύτη τῆς θεωρίας ἐνέργεια, οὐ μὴν ἀλλ’ ἔχει γέ τι διάφορον αὕτη πρὸς ἐκείνην οὐ σμικρόν· ἡ μὲν γὰρ τὸ ἁπλῶς ὄν θεωρεῖ καὶ τοῦτο συνάγει ἢ διαιρεῖ, ἡ δὲ τὸ μαθηματικὸν ἐπισκοπεῖται καὶ περὶ αὐτὸ ποιεῖται τοῦ λόγου τὰς διττὰς ταύτας ἐνεργείας. εἰσὶ δὲ καὶ ἄλλαι δυνάμεις αἱ τὸ κοινὸν ἐπὶ πολλοῖς ἐπιβλέπουσαι, ὅσαι ἐν τοῖς διαφέρουσι μαθήμασι κοινά τινα εἴδη καὶ κοινοὺς λόγους θεωροῦσι καὶ κοινὰ μέτρα οἷς ἀφορίζεται τὰ διαφέροντα, οἷον αἱ τῆς ἰσότητος καὶ ἀνισότητος θεωρίαι καὶ αἱ τοῦ συμμέτρου καὶ ἀσυμμέτρου· αὗται γὰρ αἱ δυνάμεις τὰ κοινῶς ἐπὶ πλειόνων ὑφεστηκότα θεωροῦσιν. ἀντιτίθενται δὲ ταύταις αἱ τὸ ἴδιον ἑκάστου τῆς οὐσίας θεωροῦσαι, οἷον τῶν ἀριθμῶν καθόσον εἰσὶν ἀριθμοί, καὶ τῶν μεγεθῶν καθόσον ὑφέστηκε [τὰ] μεγέθη, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον. ἐν δὴ ταῖς τοιαύταις εἰσὶ καὶ αἱ τὴν ἀναλογίαν τὴν πανταχοῦ ὑφισταμένην νοοῦσαι, ἄνωθεν μὲν ἀπὸ τῶν πρωτίστων ἀρχόμεναι, τελευτῶσαι δὲ ἐπὶ τὰ ἔσχατα, προϊοῦσαι δὲ διὰ τῶν μέσων, τηροῦσαι δὲ πανταχοῦ τοὺς αὐτοὺς λόγους καὶ ἑτέρους ἐν τοῖς διαφέρουσι καὶ δι’ ὅλων αὐτοὺς ἐναπεργαζόμεναι φανερούς. οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ τὰς θεωρούσας τὸ καλὸν καὶ τὸ μέτρον τῶν μαθηματικῶν οὐσιῶν τό τε ἡρμοσμένον καὶ τὸ σύμμετρον αὐτῶν ἐν λόγῳ τινὶ θετέον· ἔχουσι γὰρ κατὰ τὴν οἰκείαν αὐτῶν φύσιν εὐταξίαν καὶ τελειότητα καὶ πάντα ὅσα προσήκει ἀγαθὰ τοῖς μαθηματικοῖς εἴδεσι. τοῖς μὲν οὖν πολλοῖς αὗταί τε ἀκίνητοι δοκοῦσιν εἶναι καὶ περὶ ἀκίνητα τὰ γνωστὰ ἐνεργεῖν, οὐ μὴν ὀρθῶς γε ἀρέσκει τοῦτο· ἔστι γάρ τινα μαθήματα, ἃ τὸν τῆς κινήσεως ἀριθμὸν καὶ τὰ μέτρα αὐτά τε καθ’ αὑτὰ καὶ πρὸς ἄλληλα πῶς ἔχει τάξεως καὶ συμμετρίας ἐπισκοπεῖ, τάς τε ἀσωμάτους τῆς ψυχῆς περιόδους, αἷς καὶ τοῦ οὐρανοῦ περιφοραὶ συνυπάρχουσι, πῶς ἔχουσι συμμετρίας καὶ κατὰ τίνας ἀριθμούς, καὶ διὰ τί συναρμόζουσι, καὶ πάντα τὰ τοιαῦτα ἐπισκοπεῖται· ἐν οἷς δὴ καὶ ἀστρονομία καὶ ἁρμονικὴ περιέχονται. ἵνα τοίνυν διατείνωσιν αἱ μαθηματικαὶ δυνάμεις καὶ ἐπὶ τὰς τῶν κινήσεων θεωρητικάς, θετέον καὶ ταύτας ὡς περιεχομένας ὑπ’ αὐτῆς. ταύταις δὲ ἀντιδιαιρεῖν χρὴ τὰς σταθερὰς καὶ τῶν ἀκινήτων εἰδῶν καὶ λόγων θεωρητικάς, καὶ τὴν τούτων πρὸς ἄλληλα τάξιν δυναμένων συλλογίζεσθαι, ἐν αἷς αἱ πολλαὶ τῆς μαθηματικῆς εἰσι σύμφυτοι δυνάμεις. τάξεις δὲ αὐτῶν κατὰ τὴν οὐσίαν τῶν γνωστῶν ὧν εἰσι θεωρητικαὶ δεῖ ἀφορίζεσθαι, εἰ τὰ μὲν προηγεῖται τὰ δὲ ὑποτάττεται, καὶ κατὰ τὴν τοῦ καλοῦ προτίμησιν, εἰ τὰ μὲν τὸ πρεσβύτατον καὶ ἄκρον καλὸν θεωρεῖ τὰ δὲ τὸ ὑποδεέστερον καὶ ἀτελές. τὰς δὲ διαφορὰς ἐν αὐταῖς ληπτέον ἀπὸ τοῦ τρόπου τῶν ἐνεργειῶν καὶ τοῦ ἐξηλλαγμένου τῆς γνώσεως καὶ ἀπὸ τῶν συνεζευγμένων αὐταῖς διαφόρων ὄντων, πρὸς ἃ συμπλέκουσι τὰς μαθήσεις. τὸ δὲ ποσαχῶς αὐτῶν ἐπισκεπτέον ἀπὸ τῶν ἐξηλλαγμένων γνωστῶν τῆς μαθήσεως· ἀπὸ γὰρ τούτων φαίνονται πολλαχῶς αὐταί τε ὑφεστῶσαι αἱ δυνάμεις καὶ πολυτρόπως ποιούμεναι τὰς ἐνεργείας.

Οὕτως ἄν τις ὡς ἐν ὑπογραφῇ ταῦτα ἐν ἀρχῇ διαστείλαιτο. χρὴ δ’, ὅπερ ἐστὶ προσῆκον, περιμένειν τὸν πάντα περὶ αὐτῶν λόγον· οὕτω γὰρ ἂν μάλιστα τελεία ἡ περὶ αὐτῶν διδαχὴ παραδοθείη.

Ἐπεὶ δὲ πᾶσα θεωρία καὶ πᾶσα ἐπιστήμη ἐκ τῶν πρώτων στοιχείων παραλαμβάνει τὸ ἀμετάπτωτον, ὅταν ᾖ ταῦτα ὡρισμένα καὶ μήποτε ἄλλως ἔχοντα, ἀπό τε τῆς διεξόδου τῆς διὰ τῶν στοιχείων τὴν τελειοτάτην ποιεῖται κατάληψιν, ἔτι τε ἀπὸ τῶν οἰκείων γενῶν ἑκάστη τὸν πρόσφορον ἑαυτῇ τῶν λόγων καὶ τῶν ἀποδείξεων εὑρίσκει τρόπον, ἀναγκαῖον καὶ ἐπὶ τῆς μαθηματικῆς στοιχεῖά τε αὐτῆς προδιελέσθαι τὰ κοινότατα εἰς πᾶσαν τὴν τῶν μαθημάτων σύντασιν, καὶ γενῶν θήραν ποιήσασθαι τῶν οἰκειοτάτων καὶ μάλιστα ἐπὶ πάντα κοινῶς διατεινόντων. ἐπειδὰν δὲ ταῦτα κατίδωμεν, σκεψώμεθα πάλιν εἰ ἕτερα μὲν ἔσται τὰ στοιχεῖα ἕτερα δὲ τὰ γένη, ἢ τὰ αὐτὰ πῶς μὲν γένη θεωρεῖται πῶς δὲ στοιχεῖα, καὶ τίνι δὴ διέστηκε τὰ ἐν τῇ μαθηματικῇ τοιαῦτα τῶν ἐν ταῖς ἄλλαις ἐπιστήμαις καὶ οὐσίαις γενῶν καὶ στοιχείων, ὅσα τέ ἐστι νοητὰ καὶ ὅσα φέρεται ἐν τῇ γενέσει.

Ὅτι μὲν οὖν ὡρισμένα καὶ ἑστηκότα ἀεὶ τὰ τῆς

μαθηματικῆς ἐστι στοιχεῖα καὶ γένη, οἵ τε ἄριστοι τῶν ἐν φιλοσοφίᾳ συνομολογοῦσι, καὶ αὐταὶ αἱ ἀποδείξεις αἱ μαθηματικαὶ συμμαρτυροῦσι σαφῶς, ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἔχουσαι. ὅτι δὲ καὶ ταῖς πρώταις ἀρχαῖς τῆς μαθηματικῆς οὐσίας συμφωνεῖ καὶ ὁ περὶ τούτων λόγος, ῥᾴδιον καταμαθεῖν· καὶ γὰρ ἐπὶ τούτων τὸ ἓν καὶ τὸ πλῆθος, πέρας τε καὶ ἄπειρον, ταὐτόν τε καὶ ἕτερον, στοιχεῖα καὶ γένη τῆς ἐπιστήμης ἐστὶ καὶ τῶν ὑπ’ αὐτῆς γιγνωσκομένων πραγμάτων. ὅταν μὲν οὖν ταῦτα ὡς αἴτια θεωρῶμεν καὶ ποιητικὰ τῆς ὅλης μαθηματικῆς οὐσίας καὶ τῆς περὶ αὐτὴν θεωρίας, ἀρχαὶ νοείσθωσαν αἱ νῦν εἰρημέναι αἰτίαι· ὅταν δὲ ὡς ἐνυπάρχοντα ταῦτα καὶ συμπληροῦντα τὴν οὐσίαν καὶ τὸν τῆς ἐπιστήμης λόγον νοῆται, ὡς στοιχεῖα ταῦτα νοείσθω· ἐπειδὰν δὲ ὡς κοινὰ κατὰ πάντων τῶν μαθημάτων κατίδωμεν αὐτά, τῆς οὐσίας τὸν σύνδεσμον παρέχοντα τῶν ἐν μέρει καὶ οὐδὲν ἧττον αὐτὰ καθ’ αὑτὰ ὑφεστηκότα, τότε δὴ καθορῶμεν αὐτὰ ὡς γένη. τὰ αὐτὰ ἄρα πὼς μέν ἐστιν ἀρχηγὰ τῆς μαθηματικῆς θεωρίας καὶ τῶν ὑπ’ αὐτῆς γιγνωσκομένων ὡς ὄντων, πὼς δὲ στοιχεῖα νοεῖται, ἄλλως δὲ πάλιν ὡς γένη· οὐχ ὅτι κατ’ ἐπίνοιαν τῷ λόγῳ μόνῳ διαφέρει, οὐδ’ ὅτι συμμεταβάλλεται καὶ ἕτερα ἐξ ἑτέρων γίγνεται κατὰ τὰς διαφόρους σχέσεις, ἀλλ’ ὅτι τὰ αὐτὰ προόδους ποιεῖται καὶ διαφορὰς ἐν ἑαυτοῖς πλείονας. καὶ δὴ καὶ κατὰ τὴν τῆς αἰτίας διαφορὰν ἔχει τὸ ἀδιάφορον· οὐ γὰρ ταὐτόν ἐστι καθ’ αὑτὸ εἶναί τι τῶν ἀσωμάτων καὶ συμπληρωτικὸν ἄλλων ὑπάρχειν, ἀλλ’ οὐδὲ τὸ ποιητικόν τινων καὶ τὸ ὁπωσοῦν εἰς οὐσίαν συντελοῦν τῆς αὐτῆς τάξεως τετύχηκεν. οὐδ’ ἔστιν ὅπως ποτὲ τὸ συνταττόμενον μεθ’ ἑτέρων τὴν καθ’ αὑτὸ οὐσίαν κατατάττει εἰς τὴν σύνταξιν, ἀλλ’ ἐκείνην μὲν ἀφίησι χωρίς, τὴν ἄλλην δὲ συνυφαίνει εἰς τὴν συμπλήρωσιν ἐκείνων τῶν οὐσιῶν, αἷς συντελεῖ εἰς τὸ εἶναι. κατὰ δὴ τὸν αὐτὸν λόγον οὐδὲ ἡ παρέχουσα τὸ εἶναι αἰτία συνυπάρχει τοῖς ὑφ’ ἑαυτῆς ἀποτελουμένοις, ἀλλ’ ἔστιν αὐτῶν πρεσβυτέρα κατ’ αὐτὸν τὸν τῆς οὐσίας λόγον, χωριστήν τε ἔχει ἐν ἑαυτῇ τὴν ὑπόστασιν, δι’ ἣν καὶ τοῖς σπαραττομένοις ὑφ’ ἑαυτῆς δίδωσιν ἑτέραν ὑπόστασιν μεθ’ ἑαυτήν. οὕτω δὴ οὖν ἡμῖν τὸ ἄπειρον καὶ τὸ πέρας εὐλόγως καὶ ἐν ἀρχαῖς καὶ στοιχείοις καὶ γένεσιν ἀφωρίσθη. διαφέρει δὲ ταῦτα τῶν μὲν νοητῶν ἀρχῶν καὶ στοιχείων καὶ γενῶν, διότι ἀπολείπεται αὐτῶν τελειότητι καὶ καθαρότητι καὶ ἁπλότητί τε καὶ τῇ ἐπὶ πλεῖστον διατεινούσῃ περιοχῇ, τῷ τε ὡρίσθαι καὶ ἔτι τῷ κάλλει καὶ τοῖς ἀγαθοῖς ἅπασι· τῶν δὲ ἐν γενέσει προέχει τάξει, συμμετρίᾳ, τῇ ἀκινήτῳ καὶ σταθερᾷ φύσει, εἰδῶν καθαρᾷ μετουσίᾳ, τῇ ἀσωμάτῳ καὶ ἀύλῳ φύσει, καὶ συλλήβδην φάναι, πᾶσι τοῖς βελτίοσιν. ἐκ δὴ τούτων οὖν συνάγεται μέσα αὐτὰ ἀμφοτέρων εἶναι τούτων, ἔχειν τε μεταξὺ τάξιν δυναμένην ἀμφοτέροις ἐπικοινωνεῖν καὶ πρὸς ἀμφότερα δὴ αὐτὰ διαπορθμεύειν ἐπ’ ἴσης.

Τοιαῦτα ἄν τις καὶ περὶ τούτων διαγιγνώσκων, οὐκ ἂν διαμαρτάνοι τοῦ προσήκοντος.

Περὶ δὲ ὁμοιότητος καὶ ἀνομοιότητος, ὡς μὲν πολλή τίς ἐστιν ἐν τοῖς μαθήμασι καὶ ἐπὶ τῆς

μαθηματικῆς οὐσίας, μεγάλην τε ἔχει τὴν δύναμιν ἐνταῦθα, πάντες ἂν συνομολογήσειαν· οὐδὲ γὰρ οἷόν τέ τι θεώρημα γνῶναι μαθηματικῶς, εἰ μή τις αὐτὸ κατασκευάσειεν ὁρισάμενός τι σχῆμα αὐτῷ ὅμοιον καὶ δι’ ἑτέρας εἰκόνος ποιησάμενος τὸν περὶ αὐτοῦ λόγον καὶ ἀφ’ ἑτέρου ἕτερον κατασκευάσας καθ’ ἕνα λόγον τὸν τῆς ὁμοιότητος. ἀλλ’ ἐκεῖνο ἄξιον θεωρίας, τίνες εἰσὶν αὗται αἱ κοινότητες αἱ τοῦ ὁμοίου καὶ ἀνομοίου, ἐπὶ πόσον τε διατείνουσιν ἐν τοῖς μαθήμασι, καὶ πῶς ὑπάρχουσιν ἐν αὐτοῖς, κατὰ τί τε διεστήκασι τῶν ἐν τοῖς νοητοῖς ἢ αἰσθητοῖς ὁμωνύμων λεγομένων ὁμοίων τε καὶ ἀνομοίων. δεῖ δὴ νοῆσαι τοῦτο, ὡς οὐ κατὰ ποιότητα τὸ ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον λέγεται ἐπὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, οὔτε κατὰ σχῆμα τοιοῦτον οἷον ἐπί τισιν ὡς ἕτερον περὶ ἑτέροις ἐπιγίνεται· τὰ μὲν γὰρ τοιαῦτα ποιὰ ἐν τοῖς συνθέτοις καὶ περὶ σύνθεσιν φιλεῖ συμβαίνειν, ἐφ’ ὧν ἕτερον μέν ἐστι τὸ ὑποκείμενον, ἕτερον δὲ τὸ ἐν ὑποκειμένῳ συμβεβηκός, χαρακτῆρά τε καὶ εἰδοποιίαν περὶ τὴν ὑποκειμένην φύσιν ἐναπεργαζόμενον· ὃ δὲ νῦν ζητοῦμεν ὅμοιόν τε καὶ ἀνόμοιον, πρεσβύτερόν ἐστι πάσης συνθέσεως. ἀλλ’ οὐδὲ κατὰ σχέσιν θεωρεῖται τοιαύτην, οἵα ἐν τῷ πῶς ἔχειν ὑφέστηκε· τῶν γὰρ καθ’ αὑτὰ ὑπαρχόντων οὐ δεῖ ἐξ ἄλλων ἠρτημένας νοεῖν τὰς ὑποστάσεις. ἔστω δὴ οὖν κατ’ οὐσίαν προηγούμενον τὸ νυνὶ λεγόμενον ὅμοιόν τε καὶ ἀνόμοιον, οὐσίαν δὲ οὐ πᾶσαν, ἀλλὰ τὴν μαθηματικήν. εἴδη τινὰ οὖν ταῦτα τῆς οὐσίας ἔσται τῆς μαθηματικῆς. οὐ γὰρ δεῖ τὸ ποιὸν καὶ ποσὸν ἀντιδιαιροῦντας τῇ οὐσίᾳ ἄλλην μὲν ἐπιστήμην ἐπὶ τῇ οὐσίᾳ θεωρητικὴν συντάττειν, ἄλλην δὲ ἐπὶ τῷ ποσῷ, καὶ ταύτην ἀφορίζεσθαι εἶναι τὴν μαθηματικήν· ἀλλ’ ὥσπερ ἔχει φύσεως, οὕτω καὶ τὴν οἰκείαν οὐσίαν τὴν μαθηματικὴν ἐπισκοπεῖν, καὶ τὰ εἴδη ταῦτα ὅσα τέ ἐστι καὶ ὁποῖα· καὶ ὃ δὴ καὶ τὸ ποσὸν συνεξετάζει, οὔτε τὸ ἐν τοῖς σώμασιν, οὔτε τὸ νοητὸν παράδειγμα, ἀλλ’ ὅσον ἐστὶ μαθηματικόν· ὡσαύτως δὴ οὖν καὶ τὸ ὅμοιον καὶ τὸ ἀνόμοιον, εἴτε ὡς κοινὰ γένη περὶ τὴν οὐσίαν ἢ εἴδη, εἴτε ὡς κοινὰς δυνάμεις γεννητικὰς εἰδῶν τῶν ἐν τοῖς καθ’ ἕκαστα μαθημάτων, πέφυκε συνθεωρεῖν κατ’ αὐτὸν τὸν τοῦ εἶναι λόγον. διατείνει δὲ ἐπὶ μὲν τῆς ὅλης οὐσίας μαθηματικῆς εἰς τὸ ὅλον αὐτῆς ὄν, ἐπὶ δὲ τῶν κατὰ μέρος μαθημάτων εἰς τὰς μεριστὰς αὐτῶν ὑποστάσεις, καὶ οὕτως καθ’ ὅσον ἄν τις θεωρῇ πλείονας ἢ ἐλάττονας ἢ μείζονας ἢ καταδεεστέρας τούτων περιγραφάς, πάσαις συμπαρεκτείνει τὸ ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον ἢ ἐπὶ πλεῖον ἢ ἔλαττον διήκοντα. οὐδὲ γὰρ ὅλως πλῆθος ἢ διαίρεσιν ἢ ἕνωσιν ἢ ταυτότητα καὶ ἑτερότητα δυνατὸν ἐν τοῖς ὄντως μαθηματικοῖς ὑποστῆναι, μὴ προηγησαμένης τῆς κατ’ οὐσίαν ὁμοιότητός τε καὶ ἀνομοιότητος. μηκέτι οὖν θαυμάζωμεν εἰ καὶ ἐφ’ ἓν γένος καὶ ἐπὶ πλείονα καὶ ἐπ’ ἐλάττονα καὶ ἐπὶ πάντα διατείνουσιν, ἀλλὰ πολὺ μᾶλλον ἐκεῖνο χρὴ θεωρεῖν, ὡς κατὰ τὴν οἰκειότητα ἑκάστων συγγενῶς αὐτοῖς ἐνυπάρχουσι. καὶ δεῖ θεωρεῖν καὶ τοῦτο, λέγω δὴ τοῦ ὁμοίου καὶ ἀνομοίου τὸ ἓν καὶ τὰ πολλὰ καὶ τὰ μεταξὺ τούτων, τάξιν τε αὐτῶν ἐπιβλέπειν ἥτις ἐστὶν ἡ προσήκουσα, καὶ διανομὴν ἐφ’ ἑκάστοις τοῖς μαθήμασιν ὡς πέφυκεν ἕκαστα αὐτῶν μεταλαμβάνειν. εἰ δὴ ταῦτα οὕτως ἔχει, καὶ ἐπιστήμη μαθηματικὴ πασῶν ἂν εἴη κυριωτάτη, ἥτις τὸ αὐτὸ τῆς ὁμοιότητος αἴτιον καὶ τῆς ἀνομοιότητος ἐπὶ προτέρων καὶ ὑστέρων ὡσαύτως ἀνευρίσκει, ἐπὶ δὲ τῶν ὁμοταγῶν ποιεῖται αὐτῶν τὴν δέουσαν διάκρισιν. καὶ δὴ καὶ παρὰ δόξαν τῶν πολλῶν κατὰ τὸν τῶν ἀσωμάτων τρόπον ἐν μὲν τοῖς διαφέρουσι τὸ ὅμοιον, ἐν δὲ τοῖς ἀδιαφόροις τὸ ἀνόμοιον θεωρεῖ. καὶ ὁμοίως τἀναντία ἐν ἀλλήλοις συνεξετάζει, ὥσπερ ἐν τῷ ὁμοίῳ τὸ ἀνόμοιον ἐπιθεωροῦσα. πῶς οὖν ἐγγίνεται αὐτῶν ἑκάτερον, ἄριστα ἂν κατανοήσαιμεν, εἰ φυλάττοιμεν καὶ ἐνταῦθα τὸ ἰδίωμα τῆς οὐσίας περὶ ἧς ποιούμεθα τὸν λόγον. μήτε γὰρ οὕτως αὐτὰ νοῶμεν ἐγγίγνεσθαι ὡς τὰ εἴδη τὰ ἔνυλα περὶ τὴν ὕλην ἐμφαντάζεται (συμφυῆ γάρ ἐστι καὶ ἀμετάστατα τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, ἐν ᾗ ἔχει τὸ εἶναι), μήτε οὕτως ὥσπερ τὰ ἔμφυτα ἐν τοῖς σώμασιν, οἷον ἡ θερμότης ἐν τῷ πυρί· καὶ γὰρ ταῦτα εἰ καὶ ὅ τι μάλιστα συνυφέστηκε τοῖς ἔχουσιν αὐτά, ἀλλ’ ὅμως θεωρεῖταί τις συνθέτου διαφορότης, καθόσον μετέχεται ὡς ἑτέρα, τὰ δὲ μετέχει ὡς ἄλλα. ἐπὶ δέ γε τῶν κατ’ οὐσίαν προϋπαρχόντων ἐν τοῖς μαθηματικοῖς οὖσιν ἁπλῆ τις οὐσία θεωρεῖται δι’ ὅλης ἑαυτῆς ἀσύνθετος οὖσα· ὅσῳ γὰρ μᾶλλον ἀσώματός ἐστι καὶ χωριστὴ τῶν συνθέτων καὶ διαστατῶν ὄγκων, τοσούτῳ μᾶλλον ἁπλούστερον καὶ καθ’ ἑαυτὸ ὑφεστηκὸς ἔχει καθαρώτερον τό τε ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον ἀμιγές. ὡσαύτως καὶ τὸ κοινὸν ἐν αὐτοῖς εἰλικρινὲς καὶ ἀδιάφθορον. ὁπότε δὴ οὖν ταῦτα συνομολογοῦμεν, δεῖ κἀκεῖνο καταμαθεῖν, ὡς ἡ μαθηματικὴ ὁμοιότης καὶ ἀνομοιότης ἑτέρα τῆς ἐπὶ τῶν νοητῶν καὶ τῆς ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν ὑπολαμβάνεσθαι ὀφείλει ὁμοιότητός τε καὶ ἀνομοιότητος. διακριθήσεται δὲ ἀπ’ αὐτῶν καθ’ ἕνα μὲν τρόπον, καθ’ ὃν τὰς τρεῖς οὐσίας διεστειλάμεθα (δῆλον γὰρ ὅτι 〈τριχῇ〉 τούτων διαφερουσῶν καὶ τὰ ἐν αὐταῖς εἴδη τριχῇ διοίσει), καθ’ ἕτερον 〈δέ〉, διότι τῇ μεσότητι αὐτῶν διορίζεται, ἐκείνων ἄκρων ὄντων καὶ τὴν ἀρχὴν καὶ τὸ τέλος ἀφοριζόντων τῶν περὶ τὴν οἰκείαν οὐσίαν εἰδῶν· καὶ ἄλλως δὲ τὰ μὲν ἀρχηγικὰ νοείσθω, τὰ δ’ ὡς ἐν ἀποτελέσματος τάξει γιγνόμενα, τὰ δὲ μεταξὺ φυόμενα τῶν τε προηγουμένων αἰτίων καὶ τῶν ὡς ἐσχάτων ἀποτελουμένων. ταῦτα δὴ προειληφότες, ῥᾳδίως ἂν δυνηθείημεν ἀπὸ τούτων καὶ τὰ ἐν ἑκάστῳ τῶν μαθημάτων ἴδια αὐτῶν ὅμοια καὶ ἀνόμοια ἐν τάξει θεωρεῖν, ὁπόταν τὸν ἴδιον περὶ αὐτῶν λόγον ποιώμεθα· νῦν δὲ τὰ κοινὰ ἡμῖν περὶ αὐτῶν ἄχρι τούτων εἰρήσθω.

Ἀπὸ δὴ τοιούτων καὶ τοσούτων γενῶν ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη συνισταμένη ἀρχῶν τε καὶ στοιχείων, καὶ τοιαύτη οὖσα οἵαν αὐτὴν προειρήκαμεν, οὐκ ἐπὶ βραχὺ διατείνει οὐδὲ ἐπὶ ὀλίγα ἄττα τῶν ἐν τῷ βίῳ πραγμάτων, ἀλλ’ ἐπὶ τὰ μέγιστα καὶ κάλλιστα τῶν τε θείων καὶ ἀνθρωπίνων ἀγαθῶν συμβάλλεται.