Περί της κοινής μαθηματικής επιστήμης (0-4)

α′. Τίς ἡ πρόθεσις τοῦ παρόντος βιβλίου ἡ ὅλη, καὶ τίνες οἱ ὑπ’ αὐτὴν μερικοὶ σκοποὶ καὶ ποσαχῶς καὶ εἰς τίνα διαιρούμενοι, πόθεν τε ἔχοντες τὰς πρώτας αἰτίας τῆς οἰκείας ἐπισκέψεως καὶ ἀπὸ ποίας οὐσίας.

β′. Τίς ἡ κοινὴ θεωρία περὶ τῶν μαθημάτων ὅλων καὶ περὶ τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, ὁπόθεν τε αὐτὴν καὶ ἀπὸ τίνων τὸν ὅρον αὐτῆς ληπτέον, πόσην τε ἔχει τὴν διάστασιν καὶ ἐπὶ πόσα γένη κοινὰ διήκουσαν.

γ′. Τίνες ἀρχαὶ τῶν ὅλων μαθημάτων καὶ τίνι διαφέρουσι τῶν ἄλλων ἀρχῶν, ὅσαι ἑτέρων οὐσιῶν εἰσιν ἀρχαί, πῶς τε κοινὴν τὴν αἰτίαν παρέχονται αἱ τοιαῦται εἰς ὅλα τὰ μαθήματα.

δ′. Τίνες αἱ ἴδιαι ἀρχαὶ ἑκάστου τῶν μαθημάτων καὶ τίνα ἔχουσαι τὴν καθ’ αὑτὰς ἰδιότητα καὶ τὴν πρὸς ἀλλήλας διαφορὰν καὶ τὴν πρὸς πάσας τὰς ἄλλας ἀρχὰς πάντων τῶν ὄντων.

ε′. Τίνα κοινῶς ὑπόκειται πᾶσι τοῖς μαθήμασι, περὶ ἃ ποιοῦνται τὴν πραγματείαν οἱ φιλομαθεῖς, καὶ πῶς ἔνεστι περὶ αὐτὰ καθόλου τὴν θεωρίαν ποιεῖσθαι.

ϛ′. Τίς ἀρίστη χρῆσις τῆς περὶ τὰ μαθήματα σπουδῆς, καὶ πρὸς τί τέλος ἀναφέρειν δεῖ τὴν ἀρίστην περὶ αὐτὰ πραγματείαν.

ζ′. Τί ἑκάστῃ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ ὑπόκειται οἰκεῖον ἐπιστητόν, καὶ πῶς ἔνεστιν ἐκ διαιρέσεως τὴν κοινὴν αὐτῶν διάκρισιν ποιήσασθαι, ὡς εἰδέναι τὸ ἐν τοῖς μαθήμασιν ἓν καὶ πλῆθος ποῖόν τί ἐστι καὶ πῶς αὐτὸ δεῖ ὁρίζειν.

η′. Τί κοινὸν κριτήριον τῶν μαθημάτων πάντων, καὶ πῶς ἀπὸ τῆς τομῆς εὑρίσκεται τῆς γραμμῆς, ἣν οἱ Πυθαγόρειοι παραδιδόασι.

θ′. Περὶ τῶν ὡρισμένην ἀπονεμόντων οὐσίαν τοῖς μαθήμασιν, ὧν πρώτη δόξα παράκειται τῶν εἰς ψυχὴν ἀναγόντων αὐτήν, αἰτίαι τε πλείονες τῆς τοιαύτης ὑποθέσεως λέγονται καὶ πρὸς τὴν ὅλην θεωρίαν περὶ αὐτῶν ἀφορμαί.

ι′. Πῶς ἐκ πάντων τῶν μαθημάτων συνέστηκεν ἡ τῆς ψυχῆς οὐσία, καὶ κατὰ τίνα διορισμὸν ἀφορισθείη ἂν αὐτῶν ἡ σύγκρασις ἐν αὐτῇ, καὶ εἰ πᾶσαν περιέχει τῶν μαθημάτων τὴν ὑπόστασιν ἐν ἑαυτῇ ἢ καὶ ἄλλη τις ἀρχὴ αὐτῶν θεωρεῖται.

ια′. Τί τὸ ἔργον τῆς μαθηματικῆς θεωρίας καὶ πῶς παραγίγνεται, καὶ ὅτι συμφώνως τούτοις μαθηματικὴ ἐπονομάζεται.

ιβ′. Τίνες αἱ δυνάμεις τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, καὶ τίνας ἔχουσι τάξεις ἐν αὑταῖς καὶ κατὰ πόσας διαφορὰς διαιροῦνται καὶ ποσαχῶς νοοῦνται.

ιγ′. Τίνα στοιχεῖα καὶ γένη τῆς μαθηματικῆς ἐστιν ἐπιστήμης, καὶ πῶς μὲν στοιχεῖα πῶς δὲ γένη τὰ αὐτὰ ὑπάρχει, τίνι τε διέστηκε ταῦτα τῶν ἐν ταῖς ἄλλαις ἐπιστήμαις καὶ οὐσίαις ταῖς τε νοηταῖς καὶ ὅσαι εἰσὶν ἐν γενέσει.

ιδ′. Περὶ ὁμοιότητος καὶ ἀνομοιότητος τῆς μαθηματικῆς, τίνες τέ εἰσι καὶ ἐπὶ πόσον διατείνουσι καὶ πῶς ὑπάρχουσιν ἐπὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, κατὰ τί τε διενηνόχασι τῶν ὁμωνύμων γενῶν, ὅσα ἐπὶ τῶν νοητῶν λέγεται καὶ ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν.

ιε′. Πῶς διήκει ἡ ὅλη μαθηματικὴ ἐπιστήμη, αὐτή τε καὶ τὰ γένη αὐτῆς καὶ τὰ στοιχεῖα καὶ ἀρχαί, εἰς ὅλην φιλοσοφίαν καὶ τὰ τῆς φιλοσοφίας μέρη, πῶς τε πρὸς αὐτὰ ἐπικοινωνεῖ καὶ κατὰ τίνα συντέλειαν.

ιϛ′. Πόσα ταῖς τέχναις συμβάλλεται ἀγαθά, ταῖς τε ὅλαις καθολικῶς καὶ ταῖς κατὰ γένη διωρισμέναις, ὥσπερ ταῖς θεωρητικαῖς καὶ ποιητικαῖς καὶ πρακτικαῖς, ἐν κεφαλαίῳ τε περὶ αὐτῶν διδασκαλία.

ιζ′. Τίς ἡ τάξις τῆς ἐν τῇ μαθηματικῇ ἀγωγῆς, καὶ εἰ κατὰ φύσιν ἔχει τάξιν καὶ πρὸς μάθησιν, καὶ εἰ συμφωνεῖ ἑκατέρα τάξις πρὸς ἑκατέραν καὶ αἱ δύο πρὸς ἀλλήλας.

ιη′. Τίνες οἱ ἴδιοι τρόποι τῆς Πυθαγορικῆς παραδόσεως τῶν μαθημάτων καὶ πῶς αὐτοῖς ἐχρῶντο καὶ πρὸς τίνας, καὶ ὅτι τὸ οἰκεῖον προσέφερον ἀεὶ τοῖς τε πράγμασι καὶ τοῖς μανθάνουσι.

ιθ′. Διαίρεσις κατὰ τοὺς Πυθαγορείους τῆς ὅλης μαθηματικῆς ἐπιστήμης εἰς γένη τε καὶ εἴδη τὰ κυριώτατα, κοινὴν περὶ αὐτῶν ποιουμένη τὴν θεωρίαν.

κ′. Τίς ἡ ὁριστικὴ τῆς μαθηματικῆς μέθοδος καὶ πῶς γιγνομένη, τί τε ὄφελος εἰς ἐπιστήμην συμβάλλεται, καὶ ὅτι τέλος ἔχει ἡ μαθηματική, καὶ ποῖόν τι αὐτῆς ἐστι τέλος.

κα′. Τίνες ἀρχηγέται τῆς κατὰ Πυθαγόραν μαθηματικῆς προηγήσαντο καὶ τίνα ἐξαίρετα κατ’ αὐτόν ἐστι τῆς τοιαύτης ἐπιστήμης, πῶς τε δεῖ ἑπομένως αὐτῷ τὰς περὶ τῶν μαθημάτων διατάξεις ποιεῖσθαι, κοινὴ διάληψις.

κβ′. Τίς ἡ ἰδιάζουσα κατὰ Πυθαγόραν ἦν μελέτη τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, καὶ πρὸς πόσα ἀπέβλεπε χρήσιμα τῇ ψυχῇ καὶ τοῖς ἀνθρώποις, πῶς τε αὐτὴν μετεχειρίζοντο παρ’ ὅλην τὴν οἰκείαν ἑαυτῶν ζωήν.

κγ′. Ὅτι οὐκ εἰκῇ οἱ Πυθαγόρειοι τὰ μαθήματα ἐπὶ πλεῖον προῆγον, ἀλλὰ πρὸς τὸν βίον τῆς ἀναγκαίας χρήσεως, τίνες τε αἱ τούτου αἰτίαι διὰ πλειόνων ὑπόμνησις.

κδ′. Τίς ἦν ἡ συνήθεια ἐν τοῖς μαθήμασι τῆς

διατριβῆς τῶν Πυθαγορείων, καὶ τίς ἡ ἐν ταῖς ἐπιστήμαις γυμνασία αὐτῶν καὶ ἐξεργασία.

κε′. Τίνες ἦσαν οἱ μαθηματικοὶ τῶν Πυθαγορείων καὶ κατὰ τί διέφερον τῶν ἀκουσματικῶν, τί τε ἦν αὐτῶν τὸ ἔργον καὶ ποῖόν τι τὸ εἶδος τῶν λόγων καὶ τῶν ἀποδείξεων.

κϛ′. Ἀντιλήψεις τῶν μαθημάτων ὡς οὐδενὸς ἀξίων ὄντων, καὶ ἀντιλογίαι πρὸς αὐτὰς ἀντιδιατάξεις τε διὰ πλειόνων.

κζ′. Τί ἀπαιτεῖν δεῖ παρὰ τοῦ μαθηματικοῦ τὸν ὄντως πεπαιδευμένον, καὶ πῶς δεῖ κρίνεσθαι αὐτοῦ τὴν θεωρίαν, καὶ ἐκ τίνων ὅρων τὴν ὀρθότητα περιλαμβάνεσθαι.

κη′. Πότε μαθηματικῆς ἐστὶν ἢ ἄλλης ἐπιστήμης τὸ πρόβλημα ἢ ὁ τρόπος τῶν ἀποδείξεων, διάκρισις ἐπιστημονική.

κθ′. Περὶ τῶν μαθηματικῶν συλλογισμῶν καὶ τῶν μαθηματικῶν διαιρέσεων τε καὶ ὁρισμῶν πῶς χρῆται αὐτοῖς ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη, πότερον κατὰ τὸν οἰκεῖον τρόπον ἢ παρὰ διαλεκτικῆς λαμβάνουσα τὰς ἀρχάς.

λ′. Ὅτι φιλοσοφίᾳ πάσῃ καὶ τοῖς μέρεσιν αὐτῆς ὅλοις μεγάλα συμβάλλεται ἡ μαθηματικὴ ὑπουργοῦσα πρὸς πάντα αὐτῇ, καὶ μάλιστα ἡ κατὰ τοὺς Πυθαγορείους, ἥτις πολὺ διαφέρει τῆς ἄλλης μαθηματικῆς.

λα′. Ὅτι τοῖς αὐτοῖς μαθήμασιν ἐπὶ πολλὰ πράγματα διάφορα ἐχρῶντο οἱ Πυθαγόρειοι, καὶ πλείονα

μαθήματα τοῦ αὐτοῦ πράγματος ἐποιοῦντο δηλωτικά, καὶ διὰ τίνας αἰτίας.

λβ′. Πῶς ἐνίοτε καὶ περὶ αἰσθητῶν μαθηματικῶς ἐπιχειροῦμεν καὶ ποσαχῶς τοῦτο γίγνεται, καὶ πῶς ἐν τοῖς μαθήμασι πολλὰ εἰς ἄλλα ἀνάγεται καὶ διὰ τίνας αἰτίας.

λγ′. Τί τὸ κοινὸν ἐν ὅλῃ τῇ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ καὶ τὸ ἴδιον αὐτῆς ἐστι κατὰ τὰς ἐν πολλοῖς εἴδεσι θεωρουμένας διαφοράς, ὅπως τε δεῖ τέμνειν αὐτὸ κατὰ τὴν διαιρετικὴν ἐπιστήμην ἀφ’ ἑνὸς ἐπὶ δύο, εἶτα ἐπὶ πλείονα εἴδη.

λδ′. Πόθεν ὠνόμασται ἡ τῶν μαθημάτων ἐπιστήμη καὶ τίς αὐτῆς ὁ χαρακτήρ, τίσι τε δεῖ προσέχειν ἐν τῷ τὸ εἶδος τῶν μαθημάτων ἐπικρίνειν.

λε′. Ἀνακεφαλαίωσις τοῦ κοινοῦ λόγου περὶ πάντων τῶν μαθημάτων, τῆς τε τάξεως τῶν κεφαλαίων παράδειξις, καὶ ὑπόμνησις ἅμα καὶ περὶ τοῦ ὀρθῶς διῃρῆσθαι τὴν ὅλην αὐτῶν σύνοψιν.

Ἡ μὲν πρόθεσις τῆς παρούσης ἐπισκέψεως τὴν κοινὴν βούλεται τῶν μαθημάτων θεωρίαν παραδεῖξαι, τίς ἐστιν ἡ ὅλη καὶ τίνα ἔχει μίαν αἰτίαν καὶ οὐσίαν πρεσβυτάτην προηγουμένην, μετὰ μίαν δὲ δύο εἴ πως εἰσὶν ἀρχαὶ ταύτης ἐπισκεψόμεθα, καὶ μετὰ ταύτην τὴν διχοτομίαν εἴ τις ἐστὶν ἀριθμὸς ὡρισμένος τῶν ἐν αὐτοῖς γενῶν πειρασόμεθα ἀπολογίζεσθαι μετ’ ἐπιστημονικῆς τινος διαιρέσεως· καὶ τότε δὴ τὰ κοινὰ εἴδη τῶν μαθημάτων πάντων ἐπισκεψόμεθα κατὰ κοινήν τινα ἐπιβολήν, μηδέπω τῶν καθ’ ἕκαστον θεωρημάτων ἐφαπτόμενοι. καθ’ ἕκαστον δὲ τῶν εἰρημένων παραδείξομεν τὴν οὐσίαν περὶ ἣν ἕκαστον γένος καὶ εἶδος τῶν μαθηματικῶν ἐνυπάρχει, τίς τέ ἐστιν ἡ τούτων συντέλεια πρὸς τὸ πᾶν καὶ ἡ πρὸς ἄλληλα σύνταξις οὐ παρήσομεν εἰπεῖν, τίς τε αὐτοῖς καὶ πόθεν ἡ συγγένεια ἐφήκει, καὶ ἀπὸ τίνων συνδεῖται ἀρχῶν, εἰς τίνας τε ἀνάγεται τὰς πρεσβυτέρας ἑαυτῆς αἰτίας, καὶ πῶς ἄν τις αὐτῶν ἐπιτυχεῖν δυνηθείη, τί τε χρήσιμός ἐστιν ἡ πραγματεία καὶ πρὸς πόσα ἀγαθὰ ὁδηγεῖ, καὶ ὅτι καθ’ αὑτήν τέ ἐστιν αἱρετὴ καὶ διὰ τὰς παραγινομένας

ἀπ’ αὐτῆς ἐπιστήμας, καὶ ὅτι πρὸς πᾶσαν φιλοσοφίαν περιάγει τὴν διάνοιαν καὶ πρὸς πᾶσαν τὴν περὶ τῶν ὄντων καὶ νοητῶν ἐπιστήμην. τὰ μὲν οὖν προκείμενα ἡμῖν ἐστι τοσαῦτα ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ 5 διελθεῖν, ἀρξώμεθα δὲ ἀπὸ τοῦ πρώτου ἄνωθεν ἀναλαβόντες.

Κοινῇ δὴ περὶ πάντων τῶν μαθημάτων ἀξιώματα ἡμῖν προσκείσθω ταῦτα· ὡς ἔστιν ἀσώματα καὶ καθ’ ἑαυτὰ ὑφεστηκότα, τῶν τε ἀμερίστων οὐσιῶν καὶ τῶν περὶ τὰ σώματα μεριστῶν μέσα, εἰδῶν τε καὶ λόγων, τὴν μεταξὺ τοῦ τε ἀμεροῦς καὶ τοῦ μεριστοῦ τάξιν εἰληχότα, καὶ τῶν μὲν ὄντα καθαρώτερα τῶν δὲ ποικιλώτερα, συνθέσει μὲν καὶ διαιρέσει χρώμενα, ἀγενήτως δὲ καὶ ἀιδίως τὸ συντιθέμενον καὶ διαιρούμενον ἐπισκοπούμενα, τῶν μὲν νοητῶν οὐσιῶν καταδεέστερα ὄντα, τῶν δὲ ἐν τῇ φύσει πρότερα, κάλλει τε καὶ τάξει καὶ ἀκριβείᾳ προέχοντα τῶν ὁρατῶν, ἀπολειπόμενα δὲ τῶν νοητῶν, συμμετρίᾳ τε ὡσαύτως καὶ ὁμολογίᾳ μέσῃ χρώμενα, δύναμίν τε ἔχοντα διαπορθμεύειν καὶ διαβιβάζειν ἐπὶ τὰ ἀμέριστα εἴδη, ἅτε συγγενῆ πρὸς αὐτὰ ὑπάρχοντα, καὶ τῶν μὲν σωμάτων ἀπάγοντα τοὺς συνήθεις πρὸς αὐτὰ γιγνομένους, περιάγοντα δὲ ἐπὶ τὰς θείας οὐσίας ὥσπερ διά τινος κλίμακος ἀναγούσης ἐπὶ τὸ ὕψος. δεῖ δὴ θεωρεῖν οὐκ ἀφ’ ἑνὸς μόνου

γένους τῶν ὄντων καθήκουσαν εἰς ταῦτα δευτέραν τῆς ἀσωμάτων οὐσίας δόσιν, ἀλλ’ ἀπὸ πάντων ὅσα ποτέ ἐστιν ἐν τῷ ὄντως ὄντι καὶ τῷ νῷ γένη· κάτεισι γὰρ ἀπὸ πάντων τούτων εἰς τὰς μεταξὺ φύσεις τῶν μαθημάτων ἡ μεσότης τῶν τε αἰτίων καὶ τῶν ἀποτελουμένων ὑπ’ αὐτῶν, συνάπτει τε τὰ γιγνόμενα πρὸς τὰ ὄντα καὶ κοινωνίαν αὐτῶν πρὸς ἄλληλα ἀπεργάζεται. τοσαύτης δὴ οὖν οὔσης 〈τῆς〉 τῶν μαθημάτων θεωρίας καὶ οὕτως ἐπὶ πάντα διατεινούσης, ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη γνῶσίς ἐστι μέση, πλεονάζουσα τοῦ νοῦ τῇ συνθέσει, διανοητική τις οὖσα, πολλὰ ἐν ταὐτῷ συλλαμβάνουσα, διεξόδοις τισὶ χρωμένη μᾶλλον καὶ ἀνελίξεσιν, εἴδεσί τε καὶ λόγοις μέσοις καὶ οὐ πάντῃ πεπερασμένοις, ἀλλὰ περὶ τὸ ἄπειρον ἀφορίζουσι τὸ πέρας, σαφήνειάν τε ἐν τοῖς μὴ πάνυ γνωρίμοις παρεχομένοις.

Τοιαύτης δὴ οὖν οὔσης τῆς ἐπιστήμης, ληπτέον αὐτὴν σωμάτων ἀφισταμένους καὶ γενέσεως, φαντασιῶν τε καὶ αἰσθήσεων καθαρεύοντας, συνεθιζομένους τε τοῖς καθ’ αὑτὰ ἀσωμάτοις καὶ τῇ μελέτῃ τῶν λόγων συνεχεῖ χρωμένους. τὸν δὲ ὅρον αὐτοῖς ἐπιτιθέναι ἄξιον ἀπὸ τῆς τῶν ὄντων ἐπιστήμης καὶ τῆς καθαρᾶς νοήσεως τῶν τε καθαρῶν λόγων καὶ τῶν ἀύλων εἰδῶν καὶ τῆς πεπερασμένης τῶν νοητῶν ἀληθείας· ἀπὸ γὰρ τούτων ἄν τις τὸ τέλειον καὶ εἰλικρινὲς προσλάβοι τῆς ἐν αὐτοῖς εἰδήσεως. διατείνει δὲ ἐπὶ πάντα ὅσα μέσα ἐστὶ γένη τε καὶ εἴδη τῶν ὄντων, ὅσα τε ἐν ἀριθμοῖς ὡρισμένοις περιείληπται, καὶ ὅσα πρόεισιν ὡρισμένως κατά τινας εἰδητικὰς διαφοράς. καὶ τὰ μὲν ἐπὶ τὸ πρόσω προχωρεῖ εἰς ὕψος τε ἄνεισι, τὰ δὲ τοῖς ὑποδεεστέροις

καὶ κατωτέρω πελάζει, τὰ δ’ ἐν μέσῳ τούτων ὄντα συνάπτει τὰ ἄκρα. γένη δὲ αὐτῶν καὶ εἴδη κατὰ πάντα ταῦτα διοριστέον, καὶ ἔτι τὰ μὲν ὡς καθ’ αὑτά, τὰ δὲ ὡς πρὸς ἕτερα διαιρετέον· καὶ κατὰ τὰς τοῦ ποσοῦ δὲ διαφορὰς ὑποληπτέον αὐτῶν τὴν διάκρισιν, καὶ κατὰ τὰς τῶν λόγων τῶν μέσων καὶ εἰδῶν διαιρέσεις· καὶ τὰ μὲν πρότερα αὐτῶν, τὰ δὲ ὕστερα ὑποθετέον, ὅπως ἂν αἱ φύσεις ἔχωσι τὸ πρὸς ἀλλήλας τεταγμένον. δύναται δέ τις καὶ κατὰ τὰς δυνάμεις τῆς ψυχῆς τὰς γνωριστικάς, ὅσαι μέσαι εἰσὶ καὶ διανοητικαί, συλλογίζεσθαι αὐτῶν τὴν ἑτερότητα, ὥσπερ καὶ Ἀρχύτας φαίνεται ποιῶν ἐν τῇ τῆς γνωριστικῆς γραμμῆς τομῇ. τοιαύτη τις ἔστω ὡς ἐν τύποις ὑπογράψαι ἡ πρώτη περίληψις τῆς κοινῆς περὶ μαθημάτων θεωρίας, τὰ δὲ ἐντεῦθεν ἄνωθεν ἀναλαβόντες πειραθῶμεν καθ’ ἕκαστον ἐπελθεῖν τὰ ἤδη προειρημένα προβλήματα.

Κοινῶς δὴ περὶ πάντων τῶν μαθημάτων ἀφορισώμεθα τίνες τῆς μαθηματικῆς οὐσίας εἰσὶν ἀρχαί· ἐπειδὴ γὰρ πᾶσα ἐπιστήμη παραγίνεται διὰ τῶν οἰκείων ἀρχῶν, καὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας ἀρίστη ἂν γένοιτο ἡ ἐντεῦθεν ὁρμωμένη εἴδησις. ὅτι μὲν οὖν τὸ πεπερασμένον καὶ ἄπειρον ἀρχαί εἰσι πάντων τῶν μαθημάτων καὶ πάσης μαθηματικῆς οὐσίας, παντὶ δῆλον, ὡς δοκεῖ τοῖς Πυθαγορείοις· ἀλλὰ τούτων ἑκάτερον οὐχ ἕνα λόγον οὐδ’ ἐπὶ πάσης οὐσίας τὸν αὐτόν, ἀλλ’ ἐπὶ μὲν

τῶν νοητῶν εἰδῶν καὶ τῶν ἀύλων λόγων ἄλλαι εἰσὶν αἱ τοιαῦται ἀρχαί, νοηταί τε πάντῃ καὶ ἄυλοι καὶ καθ’ ἑαυτὰς οὖσαι ἀμέριστοι, ἐπὶ δὲ τῶν μαθημάτων πλήθους καὶ μεγέθους, διαιρέσεώς τε καὶ διαστάσεως ἔσονται αἰτίαι, μεριστῆς τε φύσεως μεθέξουσι καὶ οἰκεῖα γένη λήψονται τὰ προσήκοντα τοῖς ὅλοις μαθήμασι, συνθέσεώς τε μεταλήψονται καὶ κριθήσονται διανοήσει ἑτέρᾳ οὔσῃ παρὰ τὴν κρίνουσαν δύναμιν τὰς ἁπλᾶς καὶ ἀμερίστους καὶ νοερὰς οὐσίας. κίνησιν δὲ ταῖς ἀρχαῖς ταύταις τῶν μαθημάτων ἔνιοι μὲν ἴσως δώσουσιν, ὅσοι ἐν τῇ ψυχῇ καὶ ταῖς τῆς ψυχῆς ζωαῖς καὶ δυνάμεσι τὰς ἀρχὰς ταύτας ὑποτίθενται, βέλτιον δὲ τὴν μὲν ψυχὴν ἐν ἑτέρῳ γένει τῆς οὐσίας τιθέναι, τὰς δὲ μαθηματικὰς ἀρχὰς καὶ τὴν μαθηματικὴν οὐσίαν ἀκινήτους ὑπολαμβάνειν· ἕστηκέ τε γὰρ αὐτῶν ἀεὶ τὰ εἴδη καὶ ὡσαύτως αὐτὰ θεωροῦμεν καὶ κατὰ τὰ αὐτά. μέσαι δή τινες οὖν εἰσιν αὗται αἱ ἀρχαὶ τοῦ τε ἀπείρου καὶ τοῦ πέρατος, κρατούσης ἀεὶ τῆς τοῦ πέρατος ἰδέας τοῦ ἀπείρου καὶ περιοριζούσης αὐτὴν ἐν ἑαυτῇ· διὸ καὶ πρόεισι μὲν ἐπὶ τὸ ἄπειρον ἀεί, ὁρίζεται δὲ ὑπὸ τοῦ περαίνοντος. τῶν μὲν οὖν ἐν τῷ νῷ ὑπαρχόντων διαφέρουσιν αἵδε αἱ ἀρχαὶ τῷ διαιρέσεως καὶ πλήθους καὶ μεγέθους καὶ συνθέσεως ἐνδιδόναι τὴν αἰτίαν ἀφ’ ἑαυτῶν, τῶν δὲ τῆς φύσεως καὶ τῶν τῆς ψυχῆς λόγων χωρίζονται τῷ τε ἀκίνητοι εἶναι καὶ διότι τῶν μεταξὺ τεταγμένων μέσων ἀσωμάτων καθ’ ἑαυτὰς ὑπάρχουσι κεχωρισμέναι τῆς ὕλης, αἱ δὲ καὶ τῆς ὕλης ἐφάπτονται. ὅτι μὲν οὖν διαφέρουσι τῶν ἄλλων αἰτίων, ἐκ τούτων ἄν τις πεισθείη. τὴν δὲ κοινότητα αὐτῶν τὴν ἐπὶ πάντα διατείνουσαν ἀπό τε τῆς μεσότητος τῆς ἁπλῶς οὕτω νοουμένης ὑποληπτέον, καὶ ἀπὸ τῆς ὑποδεεστέρας φύσεως τῶν ἀμερίστων καὶ νοητῶν εἰδῶν, πρεσβυτέρας δὲ τῶν περὶ τὰ σώματα μεριστῶν. καὶ εἰ λόγους δέ τις λαμβάνοι, κατὰ ταύτην τὴν κοινότητα αὐτῶν ἐν τοῖς λόγοις θεωρητέον. καὶ τὴν ἀοριστίαν δὲ ὡσαύτως κοινῶς ἐπὶ πάντα διατείνουσαν ὑποθετέον. εἴ τέ τινες ὑποδοχαὶ νοοῦνται τῶν μαθηματικῶν εἰδῶν, κοινὰς ταύτας ἀπολιπεῖν ἄξιον πάσης τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι θεωρουμένης πολυειδοῦς συστάσεως· οὕτω γὰρ ἄν τις τὴν κοινότητα αὐτῶν κατανοήσειε, δύσληπτον μὲν οὖσαν νοῆσαι ὥστε αὐτὴν ἑνὶ λογισμῷ περιλαβεῖν, διὰ τὸ ἐν πολλοῖς καὶ διαφέρουσιν ἐνυπάρχειν, μόλις δ’ ἂν οὕτως ἐπινοηθῆναι δυναμένην. τοσαῦτα μὲν οὖν καὶ περὶ τῶν κοινῶν ἡμῖν διωρίσθω.

Εἰ δὲ δεῖ καὶ τὰς ἰδίας ἀρχὰς καθ’ ἕκαστον τῶν μαθημάτων ἀφορίσασθαι, τίνες τέ εἰσι καὶ ὁποῖαι καὶ τίνα ἔχουσαι τὴν καθ’ αὑτὰς ἰδιότητα καὶ τὴν πρὸς ἀλλήλας διαφορὰν καὶ τὴν πρὸς ἁπάσας τὰς ἄλλας ἀρχὰς πάντων τῶν ὄντων, καιρός ἐστιν ἤδη καὶ περὶ τούτων διελθεῖν. πάντων δὲ ἄριστον, ἐπεὶ τάξις τίς ἐστιν ἐν αὐτοῖς, καὶ τὰ μὲν ὡς πρότερα προηγεῖται οὐ τῇ τάξει μόνον ἀλλὰ καὶ τῇ φύσει (συναναιρεῖ μὲν γὰρ οὐ συναναιρεῖται δέ, καὶ συνεπιφέρει μὲν οὐ συνεπιφέρεται δέ),

τὰ δὲ ἐν ἀμφοτέροις τούτοις ἀπολείπεται πρεσβείᾳ καὶ ἁπλότητι, τούτων δὴ ἕνεκα καὶ ἡμῖν προσήκει τῇ κατὰ φύσιν αὐτῶν τάξει συνακολουθῆσαι, καὶ πρῶτον μὲν εἰπεῖν περὶ τῶν πρώτων, ἔπειθ’ οὕτω περὶ τῶν ἄλλων.

Τῶν δὴ ἀριθμῶν τῶν μαθηματικῶν δύο τὰς πρωτίστας καὶ ἀνωτάτω ὑποθετέον ἀρχάς, τὸ ἕν (ὅπερ δὴ οὐδὲ ὄν πω δεῖ καλεῖν, διὰ τὸ ἁπλοῦν εἶναι καὶ διὰ τὸ ἀρχὴν μὲν ὑπάρχειν τῶν ὄντων, τὴν δὲ ἀρχὴν μηδέπω εἶναι τοιαύτην οἶα ἐκεῖνα ὧν ἐστιν ἀρχή), καὶ ἄλλην πάλιν ἀρχὴν τὴν τοῦ πλήθους, ἣν καὶ διαίρεσιν οἷόν τ’ εἶναι καθ’ αὑτὸ παρέχεσθαι, καὶ διὰ τοῦτο ὑγρᾷ τινι παντάπασι καὶ εὐπλαδεῖ ὕλῃ, προσηκόντως εἰς δύναμιν παραδεικνύντες, ἀποφαίνοιμεν ἂν ὁμοίαν εἶναι· ἐξ ὧν ἀποτελεῖσθαι, τοῦ τε ἑνὸς καὶ τῆς τοῦ πλήθους ἀρχῆς, τὸ πρῶτον γένος, ἀριθμῶν ἐξ ἀμφοτέρων τούτων μετά τινος πιθανῆς ἀνάγκης συντιθεμένων. καὶ χρὴ καθ’ ἕκαστον ἐπεξιόντα τῶν ἀριθμῶν διαίρεσιν μὲν ἅπασαν λέγειν ἅπαντι ἀριθμῷ καὶ μέγεθος ὡς καθόλου εἰρῆσθαι ταύτην τὴν φύσιν παρέχεσθαι, τὸ δὲ ποιὸν εἶναι ἕκαστον αὐτῶν, ἔτι δὲ ὡρισμένον καὶ ἕν, τὴν ἀδιάφορον καὶ ἄτμητον ἀρχὴν ἐπισφραγιζομένην ἀποτυποῦν. κακὸν δὲ ἢ αἰσχρὸν τὸ τοιοῦτον οὐ προσῆκον ἴσως ἐστὶ τιθέναι, ᾧ συμβαίνει μεγέθους τε καὶ διαιρέσεως, ἔτι δὲ αὔξης, καθ’ ἑαυτὸ αἰτίῳ εἶναι· οὔτε γὰρ ἐν τοῖς ἄλλοις τὸ τοιοῦτο γένος εἰς κακὴν μοῖραν εἰώθαμεν τιθέναι, ἔστιν ὅτε δὲ τοῦ μεγαλοπρεποῦς καὶ ἐλευθερίου μετὰ ποιότητος συμπλεκόμενόν τινος τὸ μέγα αἴτιον λέγοιμεν ἂν ἴσως ἀληθεύοντες·

ὥστε πολλοῦ δέον ἂν εἴη κακὸν προσαγορεύεσθαι αὐτό. εἰ γὰρ δὴ καὶ τὴν τοῦ ἑνός τις φύσιν ἐπαινῶν τυγχάνοι δι’ αὐτάρκειάν τε καὶ τὸ καλῶν τινων ἐν τοῖς ἀριθμοῖς αἴτιον εἶναι, πῶς οὐκ ἄλογον ἂν εἴη λέγειν τὸ κακὸν ἢ τὸ αἰσχρὸν δεκτικὸν κατὰ φύσιν τοῦ τοιούτου πράγματος εἶναι; οὐ γὰρ ἂν ἔτι πάντῃ συμβαίνοι ψεκτὸν εἶναι τὸ κακὸν καὶ τὸ αἰσχρόν, εἴπερ τὸ δεκτικόν τινος ἐπαινετοῦ καὶ αὐτὸ δεῖ ἐπαινετὸν προσαγορεύειν. αὕτη μὲν οὖν οὕτως ἡμῖν νοείσθω ἀρχή. τὸ δὲ ἓν οὔτε καλὸν οὔτε ἀγαθὸν ἄξιον καλεῖν, διὰ τὸ καὶ τοῦ καλοῦ καὶ τοῦ ἀγαθοῦ ὑπεράνω εἶναι· προϊούσης γὰρ πορρωτέρω ἀπὸ τῶν ἐν ἀρχῇ τῆς φύσεως πρῶτον μὲν τὸ καλὸν ἐφάνη, δεύτερον δὲ καὶ μακροτέραν ἀπόστασιν ἐχόντων τῶν στοιχείων τἀγαθόν. ἡ τοίνυν πρώτη ὑποδοχή τε καὶ μέγεθος, ἢ ὅ τι δήποτε δεῖ προσαγορεύειν αὐτήν, τὸ τῶν ἀριθμῶν εἶδος ἀπετύπωσε, πλήθει μὲν ἀόριστον εἰκότως, εἴδει δέ πως ὡρισμένον ἐκ τῆς τοῦ ἑνὸς παραλαβοῦσα μοίρας. εἰ μὲν οὖν μίαν ἄπειρον ἅπασιν ὑποθήσει τις ὕλην τε καὶ ὑποδοχήν, ἄλογον ὡς τὸ εἰκὸς συμβήσεται τό, τῆς ἑνὸς ἰδέας ἐγγιγνομένης ἐν αὐτῇ, εἴπερ ὁμοία διὰ παντός, μὴ οὐ τὰ αὐτὰ καὶ γένη πάλιν ἀποτελεῖσθαι. ὥστε πάντα ἀριθμοὺς τὰ γένη παντελῶς συμβήσεται εἶναι· διαφορὰν γὰρ οὐχ ἕξομεν ἁρμόττουσαν προσάψαι, διὰ τί δήποτε ἐνθάδε μὲν ἀριθμῶν ἐγεννήθη φύσις, μετὰ δὲ τοῦτο γραμμῶν καὶ ἐπιπέδων καὶ σχημάτων, καὶ οὐκ ἀεὶ τὸ αὐτὸ γένος, ἀπό γε τῶν ὁμοίων καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον ἀλλήλοις συμπλεκομένων στοιχείων. εἰ δέ τις μίαν μὲν ὑποθήσεται τὴν ἅπαντος πλήθους τε καὶ μεγέθους αἰτίαν πρώτην, διαφορὰς δὲ πολλὰς ἐν αὑτῇ παρεχομένην, δι’ ὅπερ ἄλλα καὶ ἄλλα γένη κατὰ πᾶσαν τὴν φύσιν ἀποτίκτειν πεφυκέναι, καίπερ τοῦ ἑνὸς ὁμοίου ἐγγιγνομένου διὰ παντός, οὐδὲ μὴν οὐδὲ τούτου διὰ τὴν παχύτητα τῆς ὕλης ἀκριβῆ τὴν ἑαυτοῦ φύσιν ἐμφαίνοντος ἀεί, καθάπερ ἔν τισιν εἰκαίοις ξύλοις σχῆμα, ταῦτα μὲν οὖν οὐκ ἀλόγως ἂν ἴσως συμβαίνοι αὐτῷ, τὸ δὲ πρῶτον στοιχεῖον εἰς τοσαύτας διαφορὰς διαιρέσεις ἔχειν δυσχεραίνοι ἄν τις προσηκόντως ἴσως, ἄλλως τε καὶ εἰ παντάπασιν εἴη διήκων κατὰ ταῦτα τὰ παραδείγματα· τὸ γὰρ ἁπλούστατον πανταχοῦ στοιχεῖον εἶναι. λοιπὸν οὖν τινα ἑτέραν μεγέθους αἰτίαν ὑποθεμένους, ὡς ἐν ἀριθμοῖς μονάδα κατὰ τὸ ἕν, οὕτως στιγμὴν ἐν γραμμαῖς τιθέναι, θέσιν δὲ καὶ διάστασιν τόπων περί τε γραμμὰς καὶ χωρία καὶ στερεὰ πρῶτον, κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ τόπον ἐνταῦθα φανῆναι παρὰ τὸ τὴν τῆς ὑποδοχῆς διαφορὰν ἴδιόν τι παραδιδόναι τῷ ἀπ’ αὐτῆς γένει. ἔτι δὲ καὶ τὸ συνεχὲς καὶ τὸ συμμεμολυσμένον μᾶλλον τῶν ἀριθμῶν καὶ παχύτερον ἐκ ταύτης ἄν τις αἰτιώμενος καὶ λέγων, ἴσως οὐ διαμαρτάνοι. καὶ μέχρι μὲν δὴ τούτων γένος ἂν εἴη ἀποτετελεσμένον δεύτερον· εἰς ταὐτὸ γὰρ τίθημι γραμμάς τε καὶ στερεὰ καὶ πλάτη χωρίων. πρώτη μὲν οὖν ἡ τῶν ἀριθμῶν ἐστιν ὕλη, δευτέρα δὲ ἡ τῶν γραμμῶν τε καὶ τῶν ἐπιπέδων καὶ στερεῶν σχημάτων. καὶ τῶν ἄλλων δὲ ὡσαύτως μαθημάτων, ὅσα ἂν καὶ ὁποῖα ἂν εὕρῃ ὁ λόγος, τὰς οἰκείας ὑποδοχὰς προυποθετέον.

Καὶ τοῦτο μὲν οὖν οὕτως ἡμῖν ἐχέτω. τὰ δὲ στοιχεῖα, ἐξ ὧν οἱ ἀριθμοί, οὐδέπω ὑπάρχει οὔτε καλὰ οὔτε ἀγαθά· ἐκ δὲ τῆς συνθέσεως τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς τοῦ πλήθους αἰτίας ὕλης ὑφίσταται μὲν ὁ ἀριθμός, πρώτοις δὲ ἐν τούτοις τὸ ὂν φαίνεται καὶ κάλλος, ἐφεξῆς ἐκ τῶν στοιχείων τῶν γραμμῶν τῆς γεωμετρικῆς οὐσίας φανείσης, ἐν ᾗ ὡσαύτως τὸ ὃν καὶ τὸ καλόν, ἐν οἷς [οὔτε] οὐδὲν οὔτε αἰσχρόν ἐστιν οὔτε κακόν· ἐπ’ ἐσχάτῳ δὲ ἐν τοῖς τετάρτοις καὶ πέμπτοις τοῖς συντιθεμένοις ἀπὸ τῶν στοιχείων τῶν τελευταίων κακίαν γενέσθαι οὐ προηγουμένως, ἐκ δὲ τοῦ ἐκπίπτειν καὶ μὴ κατακρατεῖν τινα τοῦ κατὰ φύσιν.

Ἐκ δὴ τούτων φανερόν ἐστι καὶ τίνα ἔχουσι τὴν διαφορὰν αἱ μαθηματικαὶ ἀρχαὶ πρὸς τὰς ἄλλας· τῶν μὲν γὰρ τελευταίων προέχουσι, διότι σωματικῶν πως ἐκείνων οὐσῶν αὗταί εἰσιν ἀσώματοι, τῶν δὲ κατὰ τὴν ζωὴν θεωρουμένων, διότι κατὰ κίνησιν ἐκείνων χαρακτηριζομένων αὗταί εἰσιν ἀκίνητοι, τῶν δὲ νοητῶν, διότι ἀμερίστων ἐκείνων προϋπαρχουσῶν αὗται συνθέσεως καὶ διαιρέσεως ἀρχὴν παρέχονται. οὕτως ἡμῖν ὁ κοινὸς λόγος περὶ τῶν μαθηματικῶν ἀρχῶν καὶ ὁ ἴδιος περὶ ἑκάστων ἐχέτω διορισμόν· πῇ τε διαφέρει τῶν ἄλλων ἀρχῶν, οὑτωσὶ διακεκρίσθω.