Opticorum recensio Theonis (44-48)

Τὸ δʼ αὐτὸ συμβήσεται, κἂν παράλληλος ᾖ ἡ γραμμὴ τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει, ἐφʼ ἧς τὸ ὄμμα μεθίσταται.

ἔστω γὰρ παράλληλος ἡ ΒΓ τῷ ὁρωμένῳ τῷ Ζ,
καὶ δίχα τετμήσθω ἡ Ζ κατὰ τὸ Κ, πρὸς ὀρθὰς δὲ ἀνήχθω ἡ ΚΝ. κείσθω οὖν τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Ν, ΝΖ, περὶ δὲ τὴν Ζ τμῆμα γεγράφθω, ὃ δέξεται τὴν Φ, Α γωνίαν. ἐπεὶ οὖν διάμετρός ἐστιν ἡ ΚΝ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας
ἦκται ἡ ΚΝ τῇ ΒΓ, ἡ ΒΓ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΝΖ τμήματος. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Γ, καὶ προσβεβλήσθωσαν αἱ ΓΖ, Γ, ἐπεζεύχθω δὲ ἡ ΡΖ. οὐκοῦν ἴση ἡ Φ, Α γωνία τῇ Ρ γωνίᾳ. ἡ δὲ Ρ τῆς Σ γωνίας μείζων ἐστίν· μείζων ἄρα καὶ ἡ Φ, Α τῆς Σ.
τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μεῖζον ἄρα φανεῖται τὸ Ζ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ν κειμένου ἤπερ ἐπὶ τοῦ Γ. τοῦ ἄρα ὄμματος ἐπὶ τῆς ΒΓ μεθισταμένου παραλλήλου οὔσης τῇ Ζ ἄνισον φαίνεται τὸ ὁρώμενον.

[*][*]

Ἔστι τις τόπος κοινός, ἐν ᾧ τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται.

ἔστω γὰρ ἴση ἡ ΒΓ τῇ Γ, καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ
ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΖΓ, περὶ δὲ τὴν Γ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ ΖΒ, ΖΓ Ζ. οὐκοῦν ἡ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ἐν τῷ μείζονι τμήματι. τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μείζων ἄρα ἡ ΒΓ τῆς Γ
φαίνεται· ἦν δὲ καὶ ἴση. ἔστιν ἄρα τόπος κοινός, ἐν ᾧ τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται.

Ἔστι τις τόπος κοινός, ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται.

ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ, καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα γεγράφθω, περὶ δὲ τὴν Γ ὅμοιον τῷ περὶ τὴν ΒΓ τουτέστι δεχόμενον γωνίαν
ἴσην τῇ ἐν τῷ ΒΖΓ, ἐπεζεύχθωσαν δὲ αἰ ΖΒ, ΖΓ, Ζ. οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐν τοῖς ὁμοίοις τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις, ἴσαι
εἰσὶ καὶ αἱ ἐν τοῖς ΒΖΓ, ΓΖ τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται· [*] [*]

τοῦ ἄρα ὄμματος τιθεμένου ἐπὶ τοῦ Ζ σημείου ἴση ἂν φαίνοιτο ἡ ΒΓ τῇ Γ ἔστι δὲ μείζων. ἔστι τις ἄρα τόπος κοινός, ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται.

Εἰσί τινες τόποι, ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται.

ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ, καὶ περὶ τὰς ΒΓ, Γ ἡμικύκλια γεγράφθωσαν καὶ περὶ ὅλην τὴν Β . οὐκοῦν ἴση ἡ ἐν
τῷ Β Α ἡμικυκλίῳ γωνία τῇ ἐν τῳ ΒΚΓ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν. ἴση ἄρα
φαίνεται ἡ ΒΓ τῇ Β· ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ Β τῇ Γ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν θ Α, ΒΚΓ, Γ Ζ ἡμικυκλίων κειμένων. εἰσί τινες ἄρα τόποι, ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα
ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται.

Εὑρεῖν τόπους, ἀφʼ ὦν τὸ ἴσον μέγεθος ἥμισυ φανεῖται ἢ τέταρτον μέρος καὶ καθόλου ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ, ἐν ᾧ καὶ ἡ γωνία τέμνεται.

ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ Λ Ζ, καὶ περὶ τὴν ΛΖ γεγράφθω τμῆμα τυχόν, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ γωνία, [*]

ἡ Κ, τῇ δὲ ΛΖ ἴση ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ περὶ τὴν ΒΓ περιγεγράφθω τμῆμα, ὃ δέξεται τὴν τῆς Κ γωνίας ἡμίσειαν. οὐκοῦν ἡ Κ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς γωνίας. διπλασία ἄρα φαίνεται ἡ Λ Ζ τῆς ΒΓ τῶν
ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΛΚΖ, ΒΓ περιφερειῶν κειμένων.