Opticorum recensio Theonis (29-33)

Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον τεθέντος τοῦ κυλίνδρου ἔλασσον μὲν ἔσται τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ὄψεων τοῦ κυλίνδρου, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω γὰρ κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ Κ κέντρον
ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ, διὰ δὲ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ Γ, καὶ περὶ τὴν ΚΒ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΝ, ΝΚ, ΒΛ, ΛΚ. διὰ δὴ τὰ πρότερον τὸ ΛΖΝ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου, καὶ ὁμοίως τῇ βάσει ὅλου τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον ἢ τὸ ἥμισυ ὁραθήσεται.
προσήχθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Φ, καὶ περὶ τὴν ΦΚ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΦΡ, ΡΚ, ΚΣ, ΣΦ. οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Φ ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΦΡ, ΦΣ πεσοῦνται, αἱ δέ γε ἀπὸ τοῦ Β κατὰ τὰς Β Λ, ΒΝ μεῖζον ἄρα τὸ ΝΖ Λ τοῦ PΖΣ
δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι τὸ PΖΣ τοῦ ΝΖ Λ· μείζων γὰρ ἡ γωνία τῆς Β γωνίας. ὥστε καὶ τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον μέρος ὀφθήσεται, δοκεῖ δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

[*]

Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλασσον ἡμικωνίου ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Κ,
καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΒΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΚΒ ἡ ΝΛ, περὶ δὲ τὴν ΚΒ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΚ, Β, Κ. οὐκοῦν ὀρθαί εἰσιν αἰ πρὸς τοῖς Ζ, γωνίαι· καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ Β, ΒΖ, καὶ αἵ
γε ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς Β, ΒΖ πεσοῦνται. ἔσται δὴ ὁρώμενον τὸ ΖΡ ἔλασσον ὄν τοῦ ΝΡΛ. ἀλλὰ τὸ ΝΡΛ ἡμικύκλιόν ἐστιν· τὸ ἄρα ΖΡ ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ὥστε καὶ τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἔλασσόν ἐστιν ἡμικωνίου· ὁμοίως
γὰρ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν κύκλων τῶν ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ δείξομεν.

Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον μετατεθέντος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἔλασσον μὲν ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ὄψεων περιλαμβανόμενον
μέρος, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Κ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Α, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Κ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΚ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Κ ἡ ΓΚΒ, γεγράφθω δὲ περὶ τὴν ΑΚ κύκλος, καὶ ἐπεζεύχθωσαν
αἱ ΑΖ, ΖΚ, Α, Κ. μετακείσθω δὴ [*]

τὸ Α ὄμμα ἐπὶ τὸ Ν, καὶ περὶ τὴν ΚΝ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΡ, PΚ, ΝΣ, ΣΚ. οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς Α, Α Ζ πεσοῦνται· ὥστε φανεῖται τὸ ΖΦ.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΝΡ, ΝΣ πεσοῦνται· ὀφθήσεται ἄρα τὸ PΦ Σ. μεῖζον δὲ τὸ ΖΦ τοῦ PΦΣ. φαίνεται δὲ ἔλασσον· μείζων γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ν γωνία τῆς πρὸς τῷ Α γωνίας.

Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν, ἐὰν ἀπὸ τῶν συναφῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν τοῦ κώνου βάσιν προσπιπτουσῶν ἀκτίνων εὐθεῖαι διαχθῶσι διὰ τῆς ἐπιφανείας τῆς τοῦ κώνου πρὸς τὴν κορυφὴν αὐτοῦ,
διὰ δὲ τῶν ἀχθεισῶν καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν βάσιν τοῦ κώνου προσπιπτουσῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἐπὶ δὲ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων τὸ ὄμμα τεθῇ, τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἴσον διὰ παντὸς ὀφθήσεται τῆς ὄψεως ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου τῷ προϋποκειμένῳ
ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης.

ἔστω γὰρ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ Γ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Β σημεῖον, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ Κ , ΚΓ ἁπτόμεναι κατὰ τὰ Γ, , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν , Γ σημείων ἐπὶ
τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου αἱ Β, ΓΒ, καὶ διὰ μὲν τῶν [*]

ΓΒ, ΦΚ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω, διὰ δὲ τῶν Β, Κ ὁμοίως ἕτερον ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω. οὐκοῦν συμπεσεῖται τὰ ἐπίπεδα· αἵ τε γὰρ ΓΒ, Β συμπίπτουσι καὶ αἰ ΓΚ, Κ. συμπιπτέτωσαν οὖν τὰ ἐπίπεδα, καὶ
ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι, ὅπου ἂν ἐπὶ τῆς ΒΚ τεθῇ τὸ ὄμμα, ἴσον τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον φαίνεται.

κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΚ τὸ Ζ ὄμμα, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ παρὰ μὲν τὴν Κ ἡ ΖΝ, παρὰ δὲ τὴν
ΓΚ ἡ ΖΣ οὐκοῦν αἱ ΖΝ, ΖΣ τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας κατὰ τὰ Ν, Σ ἐφάπτονται· τὰ γὰρ ἐν τῇ Β Γ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ τῶν παραλλήλων κύκλων τμήματα ὅμοιά ἐστιν. τὰ ἄρα ἐν τῇ ΒΓ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ διαστήματα ὁρώμενα ἴσα φαίνεται.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστίν, ἢν περιέχουσιν αἱ ΖΣ ΖΝ, γωνία τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν Κ, ΚΓ, ἴσον ἂν φαίνοιτο τὸ ΣΝ διάστημα τοῦ κώνου τῷ Γ διαστήματι. ὥσθʼ ὅπου ἄν τὸ ὄμμα τεθῇ ἐπὶ τῆς ΚΒ εὐθείας, ἴσον ἀεὶ φανεῖται τὸ ὁρώμενον.

Ἴσον δὲ ἀεὶ τοῦ ὄμματος ἀπὸ τοῦ κώνου ἀπέχοντος μετεώρου μὲν τοῦ ὄμματος τεθέντος ἔλασσον φαίνεται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον, ταπεινοτέρου δὲ μεῖζον.

ἔστω γὰρ κώνου κορυφὴ μὲν πρὸς τῷ σημείῳ,
βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ ἤχθω ἡ ΚΘ παρὰ τὴν Β, [*]

καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Θ. φημὶ δὴ ἔλασσον ὀφθήσεσθαι τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον τεθέντος τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Θ σημείου ἤπερ ἐπὶ τοῦ Σ ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ σημείου ἐπὶ τὰ Θ, Σ σημεῖα αἱ
Θ, Σ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ν, Λ. οὐκοῦν ἐπί τε τοῦ Μ καὶ ἐπὶ τοῦ Λ σημείου τεθέντος τοῦ ὄμματος ἄνισα φαίνεται τὰ ὁρώμενα τοῦ κώνου, καὶ ἔλασσον μὲν φαίνεται τὸ πρὸς τῷ Ν, μεῖζον δὲ τὸ πρὸς τῷ Λ. ἴσον δὲ τὸ μὲν πρὸς τῷ Ν τῷ πρὸς τῷ Θ,
τὸ δὲ πρὸς τῷ Λ τῷ πρὸς τῷ Σ, ὡς ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ ἐδείχθη. τοῦ ἄρα ὄμματος πρὸς τῷ Θ σημείῳ ὄντος ἔλασσον φαίνεται τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἤπερ πρὸς τῷ Σ.