Opticorum recensio Theonis (24-28)

Τοῦ ὄμματος προσιόντος ἔγγιον τῆς σφαίρας ἔλαττον ἔσται τὸ ὁρώμενον, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπὸ
τοῦ ὄμματος ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΒΓ, περὶ δὲ τὴν Κ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Ν, ΝΚ, Λ, ΛΚ. οὐκοῦν ὀρθαὶ ἔσονται αἱ πρὸς τοῖς Λ, Ν γωνίαι διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ εἶναι· καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται [*]

αἱ Λ, Ν τῆς σφαίρας. αἱ ἄρα ἀπὸ τοῦ ὄμματος προσπίπτουσαι ἀκτῖνες κατὰ τὰς Λ, Λ πεσοῦνται. πάλιν δὴ μετακινείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τὸ Ρ, καὶ περὶ τὴν ΡΚ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν
αἱ ΡΖ, ΖΚ, ΡΣ, ΣΚ. οὐκοῦν αἱ ΡΖ, ΡΣ καθʼ ἓν ἐφάπτονται τῆς σφαίρας. καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ P ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΡΖ, ΡΣ πεσοῦνται. ὥστε ὁρᾶται ὑπὸ μὲν τῆς Ρ γωνίας τὸ ΖΣ ὑπὸ δὲ τῆς τὸ ΝΖ Λ μεῖζον δὲ τὸ ΝΖ Λ τοῦ Ζ Σ
ἐστιν. φαίνεται δὲ ἔλαττον· μείζων γάρ ἐστιν ἡ Ρ γωνία τῆς γωνίας, τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται. μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ Ζ Σ τοῦ ΝΖ Λ, ἔστι δὲ ἔλαττον.

Σφαίρας διὰ τῶν δύο ὀμμάτων ὁρωμένης, ἐὰν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἴση τῇ εὐθείᾳ τῇ διεστώσῃ ἀπὸ τῶν ὀμμάτων, ἡμισφαίριον αὐτῆς ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς διάμετρος ἡ ΒΓ, καὶ ἀπὸ τῶν Β, Γ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΖ, ΓΛ, καὶ ἀπὸ
τοῦ Ζ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΓ ἡ Ζ Λ, καὶ κείσθω ἓν ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ζ, τὸ δὲ ἕτερον ἐπὶ τοῦ Λ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἤχθω παρὰ τὴν ΒΖ ἡ Κ. οὐκοῦν ἐὰν μενούσης τῆς Κ τὸ ΒΚ παραλληλόγραμμον περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο
φέρεσθαι, τὸ περιγραφὲν ὑπὸ τῆς Β σχῆμα κύκλος ἔσται, ὅς γε διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας. ὥστε [*]

τὸ ἡμισφαίριον τῆς σφαίρας μόνον ὀφθήσεται ὑπὸ τῶν Ζ, Λ ὀμμάτων.

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζον τῆς διαμέτρου
τῆς σφαίρας, ἡμισφαιρίου μεῖζον τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Κ, τῶν δὲ ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ μεῖζον ὄν τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, καὶ διὰ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον
καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον τὸν Ζ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες καθʼ ἓν ἁπτόμεναι αἱ Β ΓΖ. οὐκοῦν ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἀλλήλαις, ἐπειδὴ ἡ ΒΓ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου μείζων ἐστί. συμπιπτέτωσαν δὴ κατὰ τὸ Θ σημεῖον. οὐκοῦν ἐπεὶ
ἀπὸ τοῦ Θ σημείου αἰ ΘΖ, Θ καθʼ ἓν ἐφαπτόμεναι προσπεπτώκασιν, ἔλασσον ἂν εἴη τὸ ΖΝ ἡμικυκλίου· αἱ γὰρ ΘΖΚ, ΘΚ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν. τὸ ἄρα λοιπὸν τῆς σφαίρας μεῖζον ἡμισφαιρίου ὁρᾶται ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΖ.

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα ἔλασσον ἡ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ἔλασσον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Κ, τῶν δὲ ὀμμάτων
διάστημα τὸ ΒΓ ἔλαττον ὄν τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, καὶ διὰ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον τὸν ΖΗΝ. [*]

ἤχθωσαν δὲ ἀπὸ τῶν Β, Γ ὀμμάτων καθʼ ἓν ἐφαπτόμεναι αἱ ΒΖ, ΓΝ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Θ· συμπεσοῦνται γάρ, ἐπειδήπερ ἄνισοί εἰσιν
ἥ τε ΓΒ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος. οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου προσπίπτουσαι πρὸς τὴν σφαῖραν ἔλαττον
ἡμισφαιρίου περιλήψονται· τὸ ἄρα ΖΗΝ ἔλασσον ἡμισφαιρίου ἐστίν. ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ ὀμμάτων ὁρώμενον
ἔλασσον ἂν εἴη ἡμισφαιρίου.

Κυλίνδρου ὁπωσοῦν ὁρωμένου ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ἔλαττον ἡμικυλίνδρου ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου
κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ Κ ἡ ΝΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω ἡ ΒΓ, περὶ δὲ τὴν ΚΝ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΖ, ΖΚ, Ν, Κ. οὐκοῦν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Ζ, · καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ ΖΝ, Ν, καὶ αἵ γε
ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος φερόμεναι ἀκτῖνες κατὰ τὰς Ν Ζ, Ν πεσοῦνται· ὥστε τὸ Ζ Λ μόνον ὀφθήσεται. ἀλλὰ τὸ ΖΛ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΓΛΒ ἡμικυκλίου· τὸ ἄρα ΖΛ ἔλασσον ἡμικυκλίου ὀφθήσεται, τουτέστιν ὁ κύλινδρος· [*]

ὁμοίως γὰρ τῇ βάσει κατὰ πᾶσαν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου δείξομεν. ὥστε ὅλου τοῦ κυλίνδρου τοῦ ἡμίσεος ἔλαττον φαίνεται.