Optica (45-49)

Ἔστι τις τόπος κοινός, ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται.

ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ, καὶ περὶ μὲν τὴν
ΒΓ μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα γεγράφθω, περὶ δὲ τὴν Γ ὅμοιον τῷ περὶ τὴν ΒΓ, τουτέστι δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ἐν τῷ ΒΖΓ. τεμοῦσιν ἄρα ἄλληλα τὰ τμήματα.
τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, Ζ. οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐν τοῖς ὁμοίοις τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις, ἴσαι
εἰσὶ καὶ αἱ ἐν τοῖς ΒΖΓ, ΓΖ τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. τοῦ ἄρα ὄμματος τιθεμένου ἐπὶ τοῦ Ζ σημείου ἴση ἂν φαίνοιτο ἡ ΒΓ τῇ Γ. ἔστι δὲ μείζων. ἔστιν ἄρα τόπος κοινός, ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται.

Εἰσὶ τόποι, ἐφʼ οὓς τοῦ ὄμματος μετατιθεμένου τὰ ἴσα μεγέθη καὶ πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται.

ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ
ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ. λέγω, ὅτι ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος τεθέντος τὰ ΑΒ, Γ ἴσα φαίνεται. ἐπεζεύχθω [*]

ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ἡ Β, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς τῇ Β ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα τεθῇ, τὰ ΑΒ, Γ ἴδα
φανήσεται. κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ προσπιπτέτωσαν
ἀκτῖνες αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΖΕ, Ζσθω, ΖΓ. ἴση δὴ εὐθεῖα ἡ ΖΒ τῇ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ ὑπόκειται ἴση· δύο
ἄρα αἱ ΑΒ, ΒΖ δυσὶ ταῖς Γ, Ζ ἴσαι εἰσί. καὶ περιέχουσιν ὀρθὰς γωνίας· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΖΑ τῇ ὑπὸ ΖΓ. τὰ ΑΒ, Γ ἄρα ἴσα ὀφθήσεται.

λέγω δή, ὅτι καὶ ἄνισα ὀφθήσεται.

μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω
ἡ ΗΕ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΗΒ, ΗΑ, ΗΓ, Η. μείζων ἄρα ἡ ΗΒ τῆς Η. ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΗΒ τῇ Η ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ. ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῇ ὑπὸ ΓΗ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῆς ὑπὸ ΒΗΑ μείζων ἐστίν, ἡ ἐκτὸς
τῆς ἐντός· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗ ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΗΑ ἐστι μείζων. μείζων ἄρα φανήσεται ἡ Γ τῆς ΑΒ.

[*][*]

Eἐσὶ τόποι τινές, ἐν οἷς τοῦ ὄμματος τεθέντος τὰ ἄνισα μεγέθη εἰς τὸ αὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φανήσεται.

ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ, καὶ περὶ τὰς ΒΓ, Γ ἡμικύκλια γεγράφθωσαν καὶ περὶ ὅλην τὴν Β. οὐκοῦν ἴση ἡ ἐν τῷ ΒΑ ἡμικυκλίῳ γωνία τῇ ἐν
τῷ ΒΚΓ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν. ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΒΙʼ τῇ Β. ὡσαύτως
δὲ καὶ ἡ Β τῇ Γ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΒΑ, Ζ ἡμικυκλίων κειμένων. εἰσί τινες ἄρα τόποι, ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται.

Εὑρεῖν τόπους, ἀφʼ ὧν τὸ ἴσον μέγεθος ἥμισυ φανεῖται ἢ τέταρτον μέρος ἢ καθόλου ἐν τῷ λόγῳ, ἐν ᾧ καὶ ἡ γωνία τέμνεται.

ἔστω ἴσον τὸ ΑΖ τῷ ΒΓ, καὶ περὶ τὴν ΑΖ γεγράφθω ἡμικύκλιον, καὶ γεγράφθω ἐν αὐτῷ ὀρθὴ
γωνία ἡ Κ· τῇ δὲ ΑΖ ἴση ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ περὶ τὴν [*]

ΒΓ περιγεγράφθω τμῆμα, ὃ δέξεται τῆς πρὸς τῷ Κ γωνίας ἡμίσειαν. οὐκοῦν ἡ Κ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς γωνίας. διπλασία ἄρα φαίνεται ἡ ΑΖ τῆς ΒΓ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΑΚΖ, ΒΓ περιφερειῶν
κειμένων.

Έστω ὁρώμενόν τι μέγεθος τὸ ΑΒ. λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ ἔχει τόπους, ἐν οἷς τοῦ ὄμματος τεθέντος τὸ αὐτὸ ποτὲ ἥμισυ ποτὶ ὅλον ποτὲ τέταρτον φαίνεται καὶ
καθόλου ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ.

περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΒ κύκλος ὁ ΑΕΒ ὥστε τὴν ΑΒ μὴ εἶναι διάμετρον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Γ, ἐφʼ οὗ κείσθω τὸ ὄμμα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ
ΑΓ, ΓΒ. ὑπὸ τῆς ΑΓΒ ἄρα τὸ ΑΒ βλέπεται. κείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΑ,
ΕΒ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΕΒ ἐστι διπλῆ, τὸ ΑΒ ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ διπλάσιον ὁρᾶται τοῦ ἀπὸ τοῦ Ε. ὁμοίως καὶ τέταρτον μέρος ὀφθήσεται, ἐὰν ἡ γωνία τῆς γωνίας ᾖ τετραπλῆ, καὶ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ.