Optica (40-44)

Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθίστηται δὲ ἐπὶ κύκλου περιφερείας ἴσον ὂν τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ποτὲ μὲν ἴσον ἑαυτῷ, ποτὲ
δὲ ἄνισον ὀφθήσεται κατὰ παράλληλον θέσιν τῇ ἐξ ἀρχῆς μεταβαῖνον.

ἔστω κύκλος ὁ Α, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ σημεῖον τὸ , καὶ ἐφεστάτω μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ εὐθεῖα ἡ Ζ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ
κέντρου, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἡ Ζ, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθίστηται, ποτὲ ἴση φανήσεται, ποτὲ μείζων, ποτὲ ἐλάσσων. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Ε, ὅ ἐστι κέντρον, τῇ παράλληλος ἡ ΓΕ, καὶ ἔστω ἴση τῇ Ζ ἡ ΕΓ. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου
ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΓΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΓΕ παράλληλος ἡ ΑΒ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ Ζ ἴση.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πασῶν τῶν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθισταμένων εὐθειῶν ἐλάσσων φανήσεται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ εὐθεῖαι αἱ Ε, ΓΖ, ΓΒ, ΕΒ, ΖΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΕ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστι καὶ ἴση, καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν. παραλληλόγραμμον [*]

ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ παραλληλόγραμμόν ἐστι καὶ τὸ ΕΖΓ. λείπει δὲ δεῖξαι, ὅτι ἔλασσον φαίνεται τὸ αὐτὸ καὶ μεῖζον. φανερὸν δή, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΕΑ τῆς
ὑπὸ ΓΕ, ἐπεὶ δέδεικται, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ κέντρου διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΕ. καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΓΕΑ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΒΕΑ· παραλληλόγραμμον γὰρ ἰσόπλευρον τὸ
ΒΕ· τῆς δὲ ὑπὸ ΓΕ ἡ ὑπὸ ΖΕ· παραλληλόγραμμον γὰρ ἰσόπλευρον καὶ τὸ ΖΕ. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ἄρα ἐλάττων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΖΕ. ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ Ζ μεγέθους ἔλαττον ὀφθήσεται.

καὶ φανερὸν ἐκ τοῦ προδεδειγμένου λήμματος, ὅτι
ἐλάχιστον μὲν ὀφθήσεται πρὸς τῷ Α, μέγιστον δὲ πρὸς τῷ κατὰ διάμετρον τῷ Α σημείῳ, ἴσον δὲ τὸ ἴσον ἀπέχον ἐφ ἑκάτερα τοῦ Α σημείου.

Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ
ἐπιπέδῳ, μεθίστηται δὲ τὸ ὄμμα ἐπὶ κύκλου περιφερείας κέντρον ἔχοντος τὸ σημεῖον, καθ ὃ συμβάλλει τὸ μέγεθος τῷ ἐπιπέδῳ, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φανήσεται.

ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τῷ [*]

ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ. καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ Γ. λέγω, ὅτι, ἐὰν μεθίστηται τὸ Γ ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου
περιφερείας, ἴσον ἀεὶ τὸ ΑΒ φανήσεται. τοῦτο δὲ φανερόν ἐστιν. πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου πρὸς τὸ ΑΒ προσπίπτουσαι ἀκτῖνες πρὸς ἴσας γωνίας
προσπίπτουσιν, ἐπειδήπερ ἡ πρὸς τῷ Β γωνία ὀρθή ἐστιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται.

Τοῦ ὁρωμένου μένοντος, τοῦ δὲ ὄμματος μεθισταμένου
κατ εὐθεῖαν γραμμὴν πλαγίαν πρὸς τὸ ὁρώμενον μέγεθος οὖσαν ποτὲ μὲν ἴσον, ποτὲ δὲ ἄνισον τὸ ὁρώμενον φαίνεται.

ἔστω ὁρώμενον μὲν τὸ ΑΒ, ὄμμα δὲ τὸ Ε εὐθεῖα δὲ πλαγία ἡ Γ, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ ΒΑ ἐπ
εὐθείας ἡ ΓΑ καὶ συμβαλλέτω τῇ Γ κατὰ τὸ Γ, καὶ μεθιστάσθω ἐπʼ αὐτῆς τὸ ὄμμα. λέγω, ὅτι ποτὲ μὲν ἴσον, ποτὲ δὲ ἄνισον φαίνεται τὸ ΑΒ. εἰλήφθω γὰρ τῶν ΒΓ, ΓΑ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΕ, καὶ ἔστω ὄμμα τὸ Ε καὶ μετακεκινήσθω καὶ ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς
εὐθείας κατὰ τὸ . λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Ε, ὁρώμενον ἄνισον φαίνεται. ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, [*]

ΕΒ, Α, Β, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΕΒ τρίγωνον τμῆμα τὸ ΑΕΒ, καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν Γ, Β γωνίᾳ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ. ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὰ Β, Α, Ζ, σημεῖα.
ἐπεὶ οὖν μείζων γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΑΖΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΒ τῇ ὑπὸ τῶν Α, Β ἴση ἐστίν, ἐπειδήπερ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί ἐστιν, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ ἄρα τῆς ὑπὸ ΑΒ μείζων ἐστίν. ἀλλ ὑπὸ μὲν τῆς ὑπὸ ΑΒ τὸ ΑΒ βλέπεται τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ
ὄντος, ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ΑΕΒ τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒ βλέπεται τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ε ὄντος. ἄνισον ἄρα τὸ ὁρώμενον φαίνεται ἐπὶ τῆς Ε εὐθείας τοῦ ὄμματος μεθισταμένου. φανερὸν δέ, ὅτι καὶ ἐπὶ τῆς ΕΓ μεθισταμένου τοῦ ὄμματος ἄνισον τὸ ὁρώμενον φαίνεται καὶ
μέγιστον μὲν κατὰ τὴν πρὸς τῷ Ε θέσιν, μεῖζον δὲ ἀεὶ κατὰ τὴν ἐγγύτερον αὐτοῦ ἐφ ὁποτερασοῦν τῶν Ε, ΕΓ εὐθειῶν, ἴσον δὲ κατὰ τὰ Ζ καὶ καὶ τὰ ὁμοίως αὐτοῖς λαμβανόμενα διὰ τὸ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι εἶναι τὰς γωνίας.

Ἄλλως.

Ἔστω γὰρ ὁρώμενον τὸ Κ, εὐθεῖα δὲ ἡ ΒΓ συμπίπτουσα τῇ Κ προσεκβαλλομένῃ. εἰλήφθω τῆς Γ καὶ τῆς ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΚ καὶ ἡ Ζ, περὶ δὲ τὴν Κ τμῆμα γεγράφθω, ὃ [*]

δέχεται τὴν ὑπὸ τῶν ΚΖ. ἐφάψεται δὴ τῆς ΒΓ εὐθείας, ἐπειδήπερ ὡς ἡ ΚΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν Γ. κείσθω δὴ τὸ ὄμμα
ἐπὶ τοῦ Β σημείου, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν αἱ Β, ΒΚ. ἐπεζεύχθω δὲ ἡ Σ. οὐκοῦν ἴση
ἡ γωνία τῇ Σ γωνίᾳ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσιν. καί ἐστιν ἡ Σ τῆς Β γωνίας μείζων· καὶ ἡ Φ ἄρα γωνία τῆς Β μείζων ἐστίν. τοῦ ἄρα ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ ὄντος μεῖζον φαίνεται τὸ Κ ἤπερ ἐπὶ τοῦ Β.

Τὸ δ αὐτὸ συμβήσεται, κἂν παράλληλος ᾖ ἡ εὐθεῖα γραμμὴ τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει.

ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, ἐφ ἧς ὄμμα κείσθω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν
εὐθεῖαι αἱ ΖΑ, ΖΒ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΖΒ τρίγωνον τμῆμα τὸ ΑΖΒ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ Ζ, καὶ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τὸ , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ Α, Β. λέγω, ὅτι ἀπὸ τῶν , Ζ ἄνισα φανήσεται. ἐπεζεύχθω
ἡ ΑΗ. ἐπεὶ οὖν ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΒ τῇ [*]

ὑπὸ ΑΗΒ, ἀλλ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ τῆς ὑπὸ ΑΒ μείζων ἐστίν, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ ἄρα τῆς ὑπὸ ΑΒ μείζων ἐστίν. καὶ ὑπὸ μὲν τῆς ὑπὸ ΑΖΒ τὸ ΑΒ βλέπεται τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ ὄντος, ὁμοίως δὲ καὶ ὑπὸ τῆς
ὑπὸ ΑΒ ἐπὶ τοῦ ὄντος. ἄνισον ἄρα τὸ ὁρώμενον φαίνεται ἀπὸ τῶν , Ζ.

καὶ ἐὰν τεθῇ ἴση τῇ Ζ ἡ ΖΓ, ἔλαττον μὲν καὶ ἀπὸ τοῦ Γ φαίνεται ἤπερ ἀπὸ τοῦ Ζ, ἀπὸ δὲ τῶν Γ, ἴσον.

Εἰσὶ τόποι, ἐφ οὓς τοῦ ὄμματος μετατιθεμένου τὰ ἴσα μεγέθη καὶ κοινῶς ἀπολαβόντα τόπους τινὰς ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται.

ἔστω ὄμμα μὲν τὸ Θ, μεγέθη δὲ τὰ ΑΒ, ΒΓ, καὶ
ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ καὶ προσεκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ . φανερὸν δή, ὅτι καθ ὁποιονοῦν τῆς Ζ μέρος ἂν τεθῇ τὸ ὄμμα, τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσα φανήσεται.
μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Ε ἄνισα φαίνεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΕ τρίγωνον ὁ
ΑΕΓ κύκλος, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ ΕΒ ἡ ΒΗ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ Α περιφέρεια τῇ Γ περιφερείᾳ, μείζων δὲ ἡ ΑΗ περιφέρεια τῆς ΗΓ περιφερείας, [*]

μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. κἂν μεταβαίνῃ δὲ ἐπὶ τῆς ΕΗ, ἄνισα ὁμοίως φανήσεται, καὶ ἐπὶ τῶν τοῦ κύκλου μερῶν χωρὶς τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐὰν τεθῇ, ἄνισα φαίνεται, καὶ ἐὰν ἐκτὸς τοῦ κύκλου τεθῇ μὴ
ἐπ εὐθείας ὂν τῇ Ζ, ἄνισα φαίνεται.

Ἄλλως.

Ἔστω γὰρ ἴση ἡ ΒΓ τῇ Γ, καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΖΓ, περὶ δὲ τὴν Γ μεῖζον ἡμικυκλίου τὸ ΓΖ· καὶ φανερόν, ὅτι τεμεῖ τὸ προειρημένον
ἡμικύκλιον. δυνατὸν δέ ἐστιν ἐπὶ τῆς Γ γράψαι τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου. ἐὰν γὰρ ὑποθώμεθα ὀξεῖάν τινα γωνίαν, δυνατὸν ἡμῖν ἐστιν ἐπὶ τῆς Γ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ὑποκειμένῃ ὀξείᾳ γωνίᾳ, ὡς ἀπὸ τοῦ λγ τοῦ τρίτου τῶν
ἐπιπέδων, καὶ ἔσται τὸ συνιστάμενον ἐπ αὐτῆς μεῖζον ἡμικυκλίου, ὡς ἀπὸ τοῦ λα τοῦ τρίτου τῶν ἐπιπέδων. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΓ, Ζ. οὐκοῦν ἡ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ἐν τῷ μείζονι τμήματι. τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα
φαίνεται· μείζων ἄρα ἡ ΒΓ τῆς Γ φαίνεται. ἦν δὲ καὶ ἴση. ἔστιν ἄρα τόπος κοινός, ἐν ᾧ τὸ ὄμμα ἐὰν τεθῇ, ἄνισα φαίνεται τὰ ἴσα. ἴσα δὲ φανήσεται, ἐπειδὰν ἐπὶ τῶν † ἐξ ἀρχῆς σημείων ᾖ τῶν ἐπὶ τῶν ΒΓ, Γ μειζόνων ἡμικυκλίων.

[*]