Optica (30-32)

Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ τὸν ἄξονα ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλαττον ἡμικωνίου ὀφθήσεται.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ , ἀφ οὗ προσπιπτέτωσαν
ἀκτῖνες αἱ Β, Γ. καὶ ἐπεὶ προσπεπτώκασιν ἀκτῖνες αἱ Γ, Β
ἐφαπτόμεναι τοῦ ΒΓ, τὸ ΒΓ ἄρα ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὰ προαποδεδειγμένα. ἤχθωσαν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου τῆς Α ἐπὶ τὰ Β, Γ σημεῖα πλευραὶ
τοῦ κώνου αἱ ΑΒ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἐμπεριλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΑΓ εὐθειῶν καὶ τοῦ ΒΓ τομέως ἔλαττόν ἐστιν ἡμικωνίου, ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΒΓ ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ἔλασσον ἄρα ἡμικωνίου ὀφθήσεται.

[*]

Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον τεθέντος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ βάσις τοῦ κώνου, ἔλαττον μὲν ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ὄψεων ἐμπεριλαμβανόμενον μέρος, δόξει
δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ , καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω εὐθεῖα ἡ Λ, καὶ
προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ Α, Β, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ πλευραὶ τοῦ
κώνου αἱ ΑΓ, ΓΒ. οὐκοῦν ὑπὸ τοῦ ὄμματος καὶ τῶν Α, Β ὄψεων ἐμπεριλαμβάνεται τὸ ΑΒΓ μέρος τοῦ κώνου, καί ἐστιν ἔλαττον ἡμικωνίου. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἔγγιον
καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ πλευραὶ αἱ ΖΓ, ΓΗ. πάλιν οὖν ἐμπεριλαμβάνεται ὑπὸ τοῦ Ε ὄμματος καὶ τῶν ΕΖ, ΕΗ ὄψεων τὸ ΖΓΗ μέρος τοῦ κώνου. ἔστι δὲ τὸ ΖΓΗ τοῦ ΑΒΓ ἔλασσον· δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι, ἐπειδὴ
μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΗ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΒ γωνίας.

φανερὸν δέ, ὅτι καὶ ἐπὶ κώνου ὑπὸ τῶν δύο ὀμμάτων ὁρωμένου συμβήσεται τὰ ἐπὶ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κυλίνδρου τῶν ὁμοίως ὁρωμένων συμβαίνοντα.

[*]

Ἐὰν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν τοῦ κώνου βάσιν προσπίπτωσιν ἀκτῖνες, ἀπὸ δὲ τῶν προσπιπτουσῶν ἀκτίνων καὶ ἐφαπτομένων ἀπὸ τῶν ἁφῶν εὐθεῖαι ἀχθῶσι
διὰ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου πρὸς τὴν κορυφὴν αὐτοῦ, διὰ δὲ τῶν ἀχθεισῶν καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν βάσιν τοῦ κώνου προσπιπτουσῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἐπὶ δὲ τῆς συναφῆς αὐτῶν, τουτέστιν ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων, τὸ ὄμμα τεθῇ, τὸ ὁρώμενον τοῦ
κώνου διὰ παντὸς ἴσον ὀφθήσεται τῆς ὄψεως ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ , ἀφ οὗ προσπιπτέτωσαν
ἀκτῖνες αἱ Ζ, Γ, καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν συναφῶν τῶν Ζ, Γ πρὸς τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου τὴν Α πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΖΑ, ΓΑ, καὶ ἐκβεβλήσθω τό τε διὰ τῶν Ζ, ΖΑ ἐπίπεδον καὶ τὸ διὰ τῶν Γ, ΓΑ. ποιήσει ἄρα τὴν κοινὴν τομὴν εὐθεῖαν. ἔστω
ἡ ΑΕ. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΑΕ μετατεθῇ τὸ ὄμμα, τὸ ἴσον τοῦ κώνου ὀφθήσεται, ὅσον καὶ ὑπὸ τῶν Γ, Ζ ἀκτίνων ἐβλέπετο. κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΕ τὸ ὄμμα τὸ Ε, ἀφ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες πρὸς [*]

τὸν κῶνον. ἐλεύσονται δὴ κατὰ τὰς ΑΖ, ΑΓ, ἐπειδήπερ ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου κεῖται τὸ ὄμμα, κατ εὐθείας δὲ γραμμὰς φέρονται αἱ ὄψεις. εἰ γὰρ ἐκτὸς πεσοῦνται τῶν ΑΓ, ΑΖ, κλασθήσονται αἱ ὄψεις· ὅπερ
ἄτοπον. ἔστωσαν οὖν αἱ ΕΘ, ΕΗ. ἐπεὶ οὖν ἐπὶ παραλλήλου μὲν ἐπιπέδου κατ εὐθείας γραμμὰς φέρονται αἱ ὄψεις, τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται, ὅσαι δ ἂν ὄψεις ἐπὶ τῆς ΑΕ εὐθείας τεθῶσι παράλληλοι, ἴσας γωνίας περιέχουσι, τὸ ἴσον ἄρα τοῦ
κώνου ὀφθήσεται εἴπερ ἴσον ὁρῶσιν· ἔλασσον δὲ τοῦ κώνου ὁρῶσιν· ὥστε καὶ τὸ ἔλαττον ὀφθήσεται τοῦ κώνου.