Optica (15-19)

Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὄμμα κείμενα, προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος μείζονι μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται, ἀπιόντος δὲ ἐλάσσονι.

ἔστω δύο ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, μεῖζον δὲ ἔστω
τὸ Α Β, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ὑπὸ τοῦ ὄμματος καὶ τῆς ΕΖ ἀκτῖνος τὰ ΖΒ, Γ φαίνεται, τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ [*]

ὕπερθεν φαίνεται τῷ ΑΖ μεγέθει. μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐγγυτέρω καὶ ἔστω τὸ Η, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ὑπὸ τοῦ ὄμματος καὶ τῆς ΗΘ ἀκτῖνος φαίνεται τὸ Γ καὶ τὸ ΘΒ, τὸ
ΑΒ ἄρα τοῦ Γ μεῖζον φανήσεται τῷ ΑΘ. ἐβλέπετο δὲ ὑπὸ τοῦ Ε τῷ Α μεῖζον, μεῖζον δὲ τὸ ΑΘ τοῦ ΑΖ. προσιόντος μὲν ἄρα τοῦ ὄμματος μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται μείζονι, ἀπιόντος δὲ ἐλάττονι φαίνεται τὸ ὑπερφαινόμενον μεῖζον.

Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει ἐπάνω τοῦ ὄμματος ἄνισα μεγέθη, προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος ἐλάσσονι μεῖζον φαίνεται τὸ ὑπερφαινόμενον, ἀπιόντος δὲ μείζονι.

ἔστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ.
ἔστω ὄμμα τὸ Ε, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ ἡ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ὑπὸ τῆς ΕΖ ἀκτῖνος ἀπολαμβάνεται τὰ ΖΒ, Γ μεγέθη, τὰ ΒΖ,
Γ ἄρα ἴσα ἀλλήλοις φαίνεται. τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ μεῖζον φαίνεται τῷ ΑΖ μεγέθει. προσήχθω δὴ τὸ ὄμμα ἐγγυτέρω καὶ ἔστω τὸ Η,
ἀφʼ οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὗν ὑπὸ τῆς ΒΘ ἀκτῖνος ἀπολαμβάνεται τὰ Β Θ, Γ, ὑπὸ δὲ τῆς ΕΖ τὰ ΖΒ, Γ, ἔστι δὲ τὸ ΖΑ τοῦ ΑΘ μεῖζον, προσιόντος μὲν ἄρα τοῦ ὄμματος [*]

ἐλάσσονι μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται, ἀπιόντος δὲ μείζονι μεῖζον.

Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει, ἐπʼ εὐθείας τῷ ἐλάττονι
μεγέθει τοῦ ὄμματος προσιόντος τε καὶ ἀφισταμένου τῷ ἴσῳ ἀεὶ δόξει τὸ ὑπερφαινόμενον τοῦ ἐλάττονος ὑπερέχειν.

ἔστω δύο ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ζ ἐπʼ εὐθείας κείμενον τῷ πέρατι
τοῦ Γρατι μεγέθους τῷ Γ. λέγω, ὅτι τοῦ Ζ ὄμματος προσιόντος καὶ ἀφισταμένου ἐπʼ εὐθείας ὄντος τῷ ἴσῳ δόξει ὑπερφαίνεσθαι τὸ ΑΒ
τοῦ Γ. προσπιπτέτω γὰρ ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΖΕ. τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Γ ὑπερφαίνεται τῷ ΑΕ. μετακεκινήσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω ἀπωτέρω καὶ ἔστω ἐπʼ εὐθείας τὸ Η. ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ὄμματος ἀκτὶς προσπίπτουσα
ἐλεύσεται διὰ τοῦ Γ σημείου καὶ προσενεχθήσεται μέχρι τοῦ Ε σημείου, καὶ τῷ αὐτῷ ὑπερφανήσεται τὸ ΑΒ τοῦ Γ.

Τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν, ἡλίου
φαίνοντος.

ἔστω τὸ δοθὲν ὕψος τὸ ΑΒ, καὶ δέον αὐτὸ γνῶναι, πηλίκον ἐστίν. ἔστω μὲν ὄμμα τὸ Δ, ἡλίου δὲ ἀκτὶς [*]

ἡ ΓΑ συμβάλλουσα τῷ πέρατι τοῦ ΑΒ μεγέθους καὶ διήχθω μέχρι τοῦ ὄμματος. ἔστω δὲ σκιὰ ἡ Β τοῦ ΑΒ. καὶ κείσθω ἕτερόν τι μέγεθος τὸ ΕΖ
συμβάλλον τῇ ἀκτῖνι μὴ πάντως καταυγαζόμενον ὑπʼ αὐτῆς κατὰ τὸ Ζ πέρας. ἥρμοσται οὖν εἰς τὸ ΑΒ τρίγωνον ἕτερόν
τι τρίγωνον τὸ ΕΖ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν ΒΑ. ἀλλ ὁ τῆς Ε πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ γνώριμος· καὶ ὁ τῆς Β ἄρα πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ γνώριμος. γνώριμον δὲ τὸ Β. γνώριμον ἄρα καὶ τὸ ΑΒ.

Μὴ ὑπάρχοντος ἡλίου τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν.

ἔστω τι μεγέθους ὕψος τὸ ΑΒ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ, καὶ δέον ἔστω τὸ ΑΒ γνῶναι, πηλίκον ἐστίν.
ὡς μὴ ὑπάρχοντος ἡλίου. κείσθω κάτοπτρον τὸ Ζ, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ Ε ἐπʼ εὐθείας ἡ Β, ἄχρις οὗ συμβαλεῖ τῷ πέρατι τοῦ ΑΒ μεγέθους τῷ Β, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Γ ἡ ΓΗ, καὶ ἀντανακεκλάσθω, ἄχρις οὗ συμβαλεῖ τῷ πέρατι
τοῦ ΑΒ μεγέθους τῷ Α, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ Ε ἡ ΕΘ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἡ [*]

ΓΘ. ἐπεὶ οὖν προσπέπτωκεν ἀκτὶς ἡ ΓΗ καὶ ἀντανακέκλασται ἡ ΗΑ, πρὸς ἴσας γωνίας ἀνακεκλασμέναι εἰσίν, ὡς ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς λέγεται· ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ ΓΗΘ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΗ
τῇ ὑπὸ ΓΘΗ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΓΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΑΒ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΒ τρίγωνον τῷ ΓHΘ τριγώνῳ. τῶν δὲ ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ. ἀλλʼ
ὁ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν Θ λόγος ἐστὶ γνώριμος· καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΒΗ λόγος ἐστὶ γνώριμος. ἀλλʼ ἡ ΗΒ ἐστι γνώριμος. καὶ ἡ ΑΒ ἄρα ἐστὶ γνώριμος.