Data (toc-4)

α. Δεδομένα τῷ μεγέθει λέγεται χωρία τε καὶ γραμμαὶ καὶ γωνίαι, οἷς δυνάμεθα ἴσα πορίσασθαι.

β. Λόγος δεδόσθαι λέγεται, ᾧ δυνάμεθα τὸν
αὐτὸν πορίσασθαι.

γʹ. Εὐθύγραμμα σχήματα τῷ εἴδει δεδόσθαι λέγεται, ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ κατὰ μίαν καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας δεδομένοι.

δʹ. Τῇ θέσει δεδόσθαι λέγονται σημεῖά τε καὶ
γραμμαὶ καὶ γωνίαι, ἃ τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχει. εʹ. Κύκλος τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέγεται, οὗ δέδοται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.

ϛʹ. Τῇ θέσει δὲ καὶ τῷ μεγέθει κύκλος δεδό- σθαι λέγεται, οὗ δέδοται τὸ μὲν κέντρον τῇ θέσει,
ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.

ζ. Τμήματα κύκλων τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέ- γεται, ἐν οἷς αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ βάσεις τῶν τμημάτων τῷ μεγέθει.

η. Τῇ θέσει δὲ καὶ τῷ μεγέθει τμήματα δε-
δόσθαι λέγεται, ἐν οἷς αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ τῷ [*]

θʹ. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεῖζόν ἐστιν, ὅταν, ἀφαιρεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ
ἴσον ᾖ.

ιʹ. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι ἔλασσόν ἐστιν, ὅταν, προστεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ ὅλον τῷ αὐτῷ ἴσον ᾖ.

ια. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεἵζόν ἐστιν ἢ
ἐν λόγῳ, ὅταν, ἀφαιρεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχῃ δεδομένον.

ιβ. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι ἔλασσόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ὅταν, προστεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ ὅλον πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχῃ δεδομένον.

[ιγʹ. Κατηγμένη ἐστὶν ἡ ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει εὐθεῖαν ἀγομένη εὐθεῖα ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ.

ιδʹ. Ἀνηγμένη ἐστὶν ἡ ἀπὸ δεδομένου σημείου πρὸς θέσει εὐθείᾳ ἀγομένη εὐθεῖα ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ.

ιεʹ. Παρὰ θέσει ἐστὶν ἡ διὰ δεδομένου σημείου
θέσει εὐθείᾳ παράλληλος ἀγομένη.]

Τῶν δεδομένων μεγεθῶν ὁ λόγος ὁ πρὸς ἄλληλα δέδοται.

ἔστω δεδομένα μεγέθη τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι τοῦ Α
πρὸς τὸ Β λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ Α, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Γ. πάλιν, ἐπεὶ δεδομένον ἐστὶ τὸ Β, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορί- σασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὗν ἴσον
ἐστὶ τὸ μὲν Α τῷ Γ, τὸ δὲ Β τῷ Δ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ· ἐναλλὰξ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ πρὸς τὸ Δ. τοῦ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγος ἐστὶ δοθείς· ὁ αὐτὸς γὰρ αὐτῷ πε- πόρισται ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ.

Ἐὰν δεδομένον μέγεθος πρὸς ἄλλο τι μέγεθος λό- γον ἔχῃ δεδομένον, δέδοται κᾀκεῖνο τῷ μεγέθει. δεδομένον γὰρ μέγεθος τὸ Α πρὸς ἄλλο τι μέγεθος τὸ Β λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι δέδοται καὶ
τὸ Β τῷ μεγέθει.

ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ Α, δυναπτόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Γ. καὶ ἐπεὶ δέδοται ὁ τοῦ Α πρὸς τὸ Β λόγος· οὕτως γὰρ ὑπό- κειται· δυνατόν ἐστιν αὐτῷ τὸν αὐτὸν πορίσασθαι.
πεπορίσθω καὶ ἔστω ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ λόγος. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, ἐναλλὰξ ἄρᾳ ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ. ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Γ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ Β τῷ Δ· δέδοται ἄρα τὸ Β μέγεθος· ἴσον γὰρ αὐτῷ
πεπόρισται τὸ Δ.

Ἐὰν δεδομένα μεγέθη ὁποσαοῦν συντεθῇ, καὶ τὸ ἐξ αὐτῶν συγκείμενον δεδομένον ἔσται.

συγκείσθω γὰρ ὁποσαοῦν δεδομένα μεγέθη τὰ ΑΒ,
ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ συγκείμενον τὸ ΑΓ δεδομένον ἐστίν.

ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ ΑΒ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΕ. πάλιν, ἐπεὶ δέδοται τὸ ΒΓ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι.
πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΔΕ, τὸ δὲ ΒΓ τῷ ΕΖ, ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ ὅλῳ τῷ ΔΖ ἐστιν ἴσον· δέδοται ἄρα τὸ ΑΓ· ἴσον γὰρ αὐτῷ πεπόρισται τὸ ΔΖ.

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου μεγέθους δεδομένον μέγεθος ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν δεδομένον ἔσται.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου μεγέθους τοῦ ΑΒ δεδομένον μέγεθος ἀφῃρήσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὸ λοιπὸν τὸ ΓΒ δεδομένον ἐστίν.

ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ ΑΒ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσαςθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΖ. πάλιν, ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΓ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΕ. ἐπεὶ οὗν ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΔΖ, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΔΕ, λοιπὸν ἄρα τὸ [*] [*]