Data (30-34)

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένην ποιοῦσα γω- νίαν, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΑΔΓ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΑΔ.

εἰ γὰρ μή, μένοντος τοῦ Α σημείου μεταπεσεῖται
τῆς ΑΔ ἡ θέσις διατηροῦσα τῆς ὑπὸ ΑΔΓ γωνίας τὸ μέγεθος. μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΑΖ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ. ἡ μείζων τῇ ἐλάττονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μεταπεσεῖται τῆς ΑΔ ἡ θέσις. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ.

Ἐἀν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ προσβληθῇ δεδομένη τῷ με- γέθει, δέδοται καὶ τῇ θέσει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο-
μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω δεδο- μένη τῷ μεγέθει. λέγω, ὅτι καὶ τῇ θέσει δέδοται.

κέντρῳ γὰρ τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΔΖ. θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΕΔΖ κύκλος· δέδοται γὰρ αὐτοῦ τὸ Α κέντρον τῇ θέσει καὶ ἡ ἐκ
τοῦ κέντρου ἡ ΑΔ τῷ μεγέθει. θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ [*]

Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένας ποιοῦσα γωνίας, δέ- δοται ἡ ἀχθεῖσα τῷ μεγέθει.

εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας
τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ δεδομένας ποιοῦσα γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΕΖ, ΕΖΔ. λέγω, ὅτι δέ. δοται ἡ ΕΖ τῷ μεγέθει.

εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΓΔ δοθὲν σημεῖον τὸ Η, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ. ἐπεὶ
παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΘ τῇ ΕΖ καὶ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΓΔ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ EΖΔ τῇ ὑπὸ ΘHΔ. δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΖΔ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΗΔ. ἐπεὶ οὖν πρός θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΓΔ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ
τῷ Η εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΗΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΘΗΖ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Η δοθέν. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῷ μεγέθει· καί ἐστιν ἱση τῇ ΕΖ. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ
ἡ Ε τῷ μεγέθει.

Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένη τῷ μεγέθει, δεδομένας ποιήσει γωνίας.

εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὑθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ, δεδομένη τῷ μεγέθει. λέγω, ὅτι δεδομένας ποιήσει γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΒΕΖ, ΕΖΔ.

εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Η καὶ
διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ. ἱση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΗΘ. δοθεῖσα δὲ ἡ ΕΖ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καί ἐστι τὸ Η δοθέν. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η, διαστήματι δὲ τῷ ΗΘ κύκλος γραφόμενος ἔσται τῇ θέσει. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΚΘΛ. θέσει ἄρα
ἐστὶν ὁ ΚΘΛ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Η δοθέν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΘΔ γωνία. καί ἐστι τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΔ ἴση. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν EΖΔ. καὶ λοιπὴ
ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖEΒ δοθεῖσά ἐστιν.

Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας ἀπὸ δεδομένου σημείου εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, εἰς δεδο- μένον λόγον τμηθήσεται.

εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Ε εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖH. λέγω, ὅτι λόγος ἐστὶ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΗ δοθείς.

ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθε— τος ἡ ΕΚΘ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ E ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΕΘH, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ EΘ· θέσει δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν
ΑΒ, ΓΔ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν Κ, Θ. ἔστι δὲ καὶ τὸ E δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΕΚ, ΚΘ. λόγος ἄρα τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ δοθείς. καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖH. λόγος ἄρα καὶ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ δοθείς.