Data (20-24)

Ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη δεδομένα, καὶ ἀφαιρεθῇ ἀπʼ αὐτῶν μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον, τὰ λοιπὰ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ
τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἔστω δύο μεγέθη δεδομένα τὰ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀφῃρήσθω μεγέθη τὰ ΑΕ, ΓΖ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δεδομένον· λέγω, ὅτι τὰ ΕΒ, ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἔχει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον
τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΓΔ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ δοθείς.

καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ, ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος
δοθείς.

μὴ ἔστω δὴ ὁ αὐτός, καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ΕΑ πρὸς ΓΖ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς ΓΔ. λόγος δὲ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς ΓΔ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ.
ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ δοθέν· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ. δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΕ πρὸς ΓΖ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΔ, καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΕ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΗΒ· τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν
λόγῳ.

[*]

Ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη δεδομένα, καὶ προστεθῇ αὐτοῖς μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον, τὰ ὅλα πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον ἢ τὸ ἕτερον
τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἔστω δύο μεγέθη δεδομένα τὰ ΑΒ, ΓΔ, καὶ προσ- κείσθω αὐτοῖς μεγέθη τὰ ΑΕ, ΓΖ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δεδομένον· λέγω, ὅτι τὰ ὅλα τὰ ΕΒ, ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ
ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΓΔ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς.

καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ΕΑ πρὸς τὸ ΓΖ, ἔσται καὶ ὅλου τοῦ ΕΒ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος δοθείς.

εἰ δὲ οὔ, πεποιήσθω ὡς τὸ ΑΕ πρὸς ΓΖ, οὕτως τὸ ΗΑ πρὸς τὸ ΓΔ· λόγος ἄρα τοῦ ΗΑ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΑ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ δοθέν· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΕΑ πρὸς ΖΓ, οὕτως τὸ
ΑΗ πρὸς τὸ ΓΔ, καὶ ὅλου τοῦ ΕΗ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ δοθὲν τὸ ΗΒ· τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

Ἐὰν δύο μεγέθη πρός τι μέγεθος λόγον ἔχῃ δεδομένον,
καὶ τὸ συναμφότερον πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἕξει δεδομένον,

[*][*]

δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ πρός τι μέγεθος τὸ Δ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ τὸ συναμφότερον τὸ ΑΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ Δ λόγον ἔχει δεδομένον.

ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὸ Δ λόγον
ἔχει δεδομένον, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ δοθείς· καὶ συνθέντι τοῦ ΑΓ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΒΓ πρὸς Δ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ποῦ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγος ἐστὶ δοθείς.

Ἐὰν ὅλον πρὸς ὅλον λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔχῃ δὲ καὶ τὰ μέρη πρὸς τὰ μέρη λόγους δεδομένους, μὴ τοὺς αὐτοὺς δέ, καὶ πάντα πρὸς πάντα λόγους ἕξει δεδο- μένους.

ἐχέτω γὰρ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ λόγον
δεδομένον, ἐχέτω δὲ καὶ τὰ ΑΕ, ΕΒ μέρη πρὸς τὰ ΓΖ, ΖΔ μέρη λόγους δεδομένους, μὴ τοὺς αὐτοὺς δέ· λέγω, ὅτι καὶ πάντα πρὸς πάντα λόγους ἕξει δεδο- μένους.

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ δοθείς, ὁ
αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓH· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΗ δοθείς. ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΗ λόγος δοθείς. τοῦ δὲ ΕΒ πρὸς τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΖΔ ἄρα πρὸς ΖΗ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ἀναστρέψαντι τοῦ ΖΔ
πρὸς ΔΗ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ [*] [*]

ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΓ, ΓΗ, καὶ τοῦ ΔΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓH λόγος ἐστὶ δοθείς· ἀναστρέψαντι καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς ΔΗ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τοῦ ΗΔ πρὸς ΔΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΓΔ ἄρα πρὸς
ΔΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τοῦ μὲν ΓΖ πρὸς ΑΕ λόγος ἐστὶ δοθείς, τοῦ δὲ ΖΔ πρὸς ΒΕ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε πάντων πρὸς πάντα λόγος ἐστὶ δοθείς.

Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ δὲ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς τὴν δευ- τέραν λόγον ἕξει δεδομένον.

ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ δὲ Α
πρὸς τὴν Γ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ πρὸς τὴν Β λόγον ἕξει δεδομένον.

ἐκκείσθω γὰρ δοθεῖσα ἡ Δ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς Α πρὸς τὴν Γ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Δ πρὸς τὴν Ζ· λόγος ἄρα καὶ τῆς Δ πρὸς τὴν Ζ
δοθείς· δοθεῖσα δὲ ἡ Δ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ζ. εἰλήφθω τῶν Δ, Ζ μέση ἀνάλογον ἡ Ε· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Δ, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Ε. δοθὲν δὲ τὸ ῦπὸ τῶν Δ, Ζ· δοθεῖσα γὰρ ἐκατέρα αὐτῶν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Ε· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε. ἔστι δὲ καὶ ἡ Δ δοθεῖσα·
λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς Δ πρὸς τὴν E δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α [*] [*]

πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ, ὡς δὲ ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Γ
ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β· αἱ γὰρ Α, Β, Γ ἀνάλογσν εἰσιν· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ε· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε· καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε. λόγος δὲ τῆς Δ πρὸς
τὴν Ε δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς Α πρὸς τὴν Β δοθείς.