Scaife ATLAS

CTS Library / De utilitate mathematicae

De utilitate mathematicae (216-218)

urn:cts:greekLit:tlg1724.tlg001.1st1K-grc1:216-218
Refs {'start': {'reference': '216', 'human_reference': 'Paragraph 216'}, 'end': {'reference': '218', 'human_reference': 'Paragraph 218'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next

ἕλικα δὲ γράφει τὰ πλανώμενα κατὰ συμβεβηκός,
διὰ τὸ δύο κινεῖσθαι κινήσεις ἐναντίας ἀλλήλαις. τῷ γὰρ αὐτὰ κατὰ τὴν ἰδίαν κίνησιν ἀπὸ τοῦ θερινοῦ ἐπὶ χειμερινὸν φέρεσθαι καὶ ἀνάπαλιν, ἡρέμα μὲν αὐτὰ περιιόντα, τάχιστα δὲ ἐπὶ τὰ ἐναντία περιαγόμενα καθʼ ἑκάστην ἡμέραν ὑπὸ τῆς ἀπλανοῦς σφαίρας, οὐκ ἐπʼ
εὐθείας ἀπὸ παραλλήλου ἐπὶ παράλληλον πορεύεται, ἀλλὰ περιαγόμενα περὶ τὴν ἀπλανῆ σφαῖραν. ἵνα δὴ διὰ τοῦ ζῳδιακοῦ ἀπὸ τοῦ α ἐπὶ τὸ β χωρήσῃ, τῆς φορᾶς αὐτῶν οὐκ ἐπὶ εὐθείας τοῦ ζῳδιακοῦ μόνον, ἀλλὰ καὶ ἐν κύκλῳ περὶ τὴν ἀπλανῆ γινομένης, ἕλικα
[*] [*]

204
γράφουσιν ἐν τῇ ἀπὸ παραλλήλου ἐπὶ παράλληλον διόδῳ ὁμοίαν τῇ τῶν ἀμπέλων ἕλικι· καθάπερ εἴ τις ἱμάντα περιελίττει κυλίνδρῳ ἀπὸ τῆς ἑτέρας ἀποτομῆς μέχρι τῆς ἑτέρας, ὡσπερ ταῖς Λακωνικαῖς σκυτάλαις οἱ ἔφοροι
περιελίττοντες ἱμάντας τὰς ἐπιστολὰς ἔγραφον. γράφει δὲ καὶ ἄλλην ἕλικα τὰ πλανώμενα, οὐ μόνον ὡς περὶ κύλινδρον ἀπὸ τῆς ἑτέρας ἀποτομῆς ἐπὶ τὴν ἑτέραν ἀποτομήν, ἀλλὰ καὶ τὴν ὡς ἐν ἐπιπέδῳ. ἐπειδὴ γὰρ διʼ αἰῶνος ἀπὸ τοῦ ἑτέρου παραλλήλου ἐπὶ τὸν ἕτερον
χωροῦσι καὶ ἀπʼ ἐκείνου πάλιν ἐπὶ τὸν αὐτὸν καὶ τοῦτο ἀδιαλείπτως καὶ ἀπαύστως γίνεται ὑπʼ αὐτῶν, ἂν ἐπι- νοήσωμεν ἐπʼ ἄπειρον ἐκτεινομένας εὐθείας εἶναι τὰς παραλλήλους καὶ διʼ αὐτῶν κατὰ τὰ αὐτὰ πορευόμενα τὰ πλανώμενα ποτὲ μὲν τὴν χειμερινὴν ὁδόν, ποτὲ δὲ
τὴν θερινήν, μέχρις ἀπείρου εὑρεθείη ἂν ἡμῖν ἕλικα γράφοντα. κατὰ δὲ τὸ ἄπαυστον καὶ αἰώνιον τῆς περὶ τὴν σφαῖραν διὰ [τῆς] τῶν παραλλήλων πορείας ὁμοία ὁδὸς αὐτοῖς γίνεται τῇ διὰ τῶν ἐπʼ ἄπειρον ἐκτεινο- μένων εὐθειῶν ὁδῷ, καθάπερ δηλοῖ τὰ ὑποκείμενα δια-
γράμματα. ὥστε δύο κατὰ συμβεβηκὸς γράφουσιν ἕλι- κας, τὴν μὲν ὡς περὶ κύλινδρον, τὴν δὲ ὡς διʼ ἐπιπέδου.

ταυτὶ μὲν τὰ ἀναγκαιότατα καὶ ἐξ ἀστρολογίας κυ- ριώτατα πρὸς τὴν τῶν Πλατωνικῶν ἀνάγνωσιν. ἐπεὶ δὲ ἔφαμεν εἶναι μουσικὴν καὶ ἁρμονίαν τὴν μὲν ἐν
ὀργάνοις, τὴν δὲ ἐν ἀριθμοῖς, τὴν δὲ ἐν κόσμῳ, καὶ [*] [*]

205
περὶ τῆς ἐν κόσμῳ τἀναγκαῖα πάντα ἑξῆς ἐπηγγειλάμεθα μετὰ τὴν περὶ ἀστρολογίας παράδοσιν ταύτην γὰρ. ἔφη καὶ Πλάτων ἐν τοῖς μαθήμασι πέμπτην εἶναι μετὰ ἀριθμητικὴν γεωμετρίαν στερεομετρίαν ἀστρονομίαν —, καὶ περὶ τούτων ἐν κεφαλαίοις παραδείκνυσιν Θρά-
συλλος σὺν οἷς καὶ αὐτοὶ προεξειργάσμεθα δηλωτέον.

[*]
206

προσλαμβανόμενος ὑπάτη ὑπατῶν παρυπάτη ὑπατῶν ὑπάτη διἄτονος ὑπάτη μέσων παρυπάτη μέσων μέσων διάτονος μέση παραμέση τρίτη διεζευγμένη διεζευγμένη διάτονος νήτη διεζευγμένη τρίτη ὑπερβολαίων διάτονος ὑπερβολίων νήτη ὑπερβολαίων διὰ δ ἐπιτρίτῳ διὰ δ διὰ ε ἡμιόλιος διὰ ε διὰ πασῶν διπλάσιος διᾶ πασῶν δὶς διὰ πασῶν τετραπλασίονι

[*]

Tokens

ἕλικα 1 w 5
δὲ 1 w 7
γράφει 1 w 13
τὰ 1 w 15
πλανώμενα 1 w 24
κατὰ 1 w 28
συμβεβηκός 1 w 38
διὰ 1 w 42
τὸ 1 w 44
δύο 1 w 47
κινεῖσθαι 1 w 56
κινήσεις 1 w 64
ἐναντίας 1 w 72
ἀλλήλαις 1 w 80
τῷ 1 w 83
γὰρ 1 w 86
αὐτὰ 1 w 90
κατὰ 2 w 94
τὴν 1 w 97
ἰδίαν 1 w 102
κίνησιν 1 w 109
ἀπὸ 1 w 112
τοῦ 1 w 115
θερινοῦ 1 w 122
ἐπὶ 1 w 125
χειμερινὸν 1 w 135
φέρεσθαι 1 w 143
καὶ 1 w 146
ἀνάπαλιν 1 w 154
ἡρέμα 1 w 160
μὲν 1 w 163
αὐτὰ 2 w 167
περιιόντα 1 w 176
τάχιστα 1 w 184
δὲ 2 w 186
ἐπὶ 2 w 189
τὰ 6 w 191
ἐναντία 2 w 198
περιαγόμενα 1 w 209
καθʼ 1 w 213
ἑκάστην 1 w 220
ἡμέραν 1 w 226
ὑπὸ 1 w 229
τῆς 1 w 232
ἀπλανοῦς 1 w 240
σφαίρας 1 w 247
οὐκ 1 w 251
ἐπʼ 1 w 254
εὐθείας 1 w 261
ἀπὸ 2 w 264
παραλλήλου 1 w 274
ἐπὶ 3 w 277
παράλληλον 1 w 287
πορεύεται 1 w 296
ἀλλὰ 1 w 301
περιαγόμενα 2 w 312
περὶ 1 w 316
τὴν 2 w 319
ἀπλανῆ 1 w 325
σφαῖραν 1 w 332
ἵνα 1 w 336
δὴ 1 w 338
διὰ 2 w 341
τοῦ 2 w 344
ζῳδιακοῦ 1 w 352
ἀπὸ 3 w 355
τοῦ 3 w 358
α 40 w 359
ἐπὶ 4 w 362
τὸ 2 w 364
β 3 w 365
χωρήσῃ 1 w 371
τῆς 2 w 375
φορᾶς 1 w 380
αὐτῶν 1 w 385
οὐκ 2 w 388
ἐπὶ 5 w 391
εὐθείας 2 w 398
τοῦ 4 w 401
ζῳδιακοῦ 2 w 409
μόνον 1 w 414
ἀλλὰ 2 w 419
καὶ 2 w 422
ἐν 3 w 424
κύκλῳ 1 w 429
περὶ 2 w 433
τὴν 3 w 436
ἀπλανῆ 2 w 442
γινομένης 1 w 451
ἕλικα 2 w 457
4 1 w 458
χειμερινὰ 1 w 467
Mart 1 w 471
ἀρκτικοῦ 1 w 480
Mart 2 w 484
6 1 w 486
ἀρκτικοῦ 2 w 494
Mart 3 w 498
μοῖραι 1 w 505
B 1 w 506
9 1 w 508
γίνοιντο 1 w 516
κδ 1 w 518
μοῖραι 2 w 524
B 2 w 525
γίνονται 1 w 534
μὴν 1 w 537
κδ 2 w 539
μοῖραι 3 w 545
Mart 4 w 549
11 1 w 552
πεντεκαιδεκάι 1 w 565
B 3 w 566
15 1 w 569
inscr 1 w 574
περὶ 3 w 579
τῆς 3 w 582
ἑλικοειδοῦς 1 w 593
κινήσεως 1 w 601
B 4 w 602
cf 1 w 605
Procl 1 w 611
in 2 w 614
Tim 1 w 617
p 1 w 619
263 1 w 623
ἥλικα 1 w 628
B 5 w 629
22 1 w 632
περὶ 4 w 636
ἐπὶ 6 w 640
B 6 w 641
24 1 w 644
αὐτοῦ 1 w 649
B 7 w 650
εὐθείας 3 w 658
suppra 1 w 664
vs 1 w 666
add 1 w 670
B 8 w 672
25 1 w 674
γινομένη 2 w 682
B 9 w 683
γινομένην 1 w 693
Mart 5 w 697
γράφουσιν 1 w 707
ἐν 4 w 709
τῇ 1 w 711
ἀπὸ 4 w 714
παραλλήλου 2 w 724
ἐπὶ 7 w 727
παράλληλον 2 w 737
διόδῳ 1 w 742
ὁμοίαν 1 w 748
τῇ 2 w 750
τῶν 2 w 753
ἀμπέλων 1 w 760
ἕλικι 1 w 765
καθάπερ 1 w 773
εἴ 1 w 775
τις 1 w 778
ἱμάντα 1 w 784
περιελίττει 1 w 795
κυλίνδρῳ 1 w 803
ἀπὸ 5 w 806
τῆς 4 w 809
ἑτέρας 1 w 815
ἀποτομῆς 1 w 823
μέχρι 1 w 828
τῆς 5 w 831
ἑτέρας 2 w 837
ὡσπερ 1 w 843
ταῖς 1 w 847
Λακωνικαῖς 1 w 857
σκυτάλαις 1 w 866
οἱ 1 w 868
ἔφοροι 1 w 874
περιελίττοντες 1 w 888
ἱμάντας 1 w 895
τὰς 1 w 898
ἐπιστολὰς 1 w 907
ἔγραφον 1 w 914
γράφει 2 w 921
δὲ 3 w 923
καὶ 3 w 926
ἄλλην 1 w 931
ἕλικα 3 w 936
τὰ 8 w 938
πλανώμενα 2 w 947
οὐ 3 w 950
μόνον 2 w 955
ὡς 1 w 957
περὶ 5 w 961
κύλινδρον 1 w 970
ἀπὸ 6 w 974
τῆς 6 w 977
ἑτέρας 3 w 983
ἀποτομῆς 2 w 992
ἐπὶ 8 w 995
τὴν 4 w 998
ἑτέραν 1 w 1004
ἀποτομήν 1 w 1012
ἀλλὰ 3 w 1017
καὶ 4 w 1020
τὴν 5 w 1023
ὡς 2 w 1025
ἐν 5 w 1028
ἐπιπέδῳ 1 w 1036
ἐπειδὴ 1 w 1043
γὰρ 2 w 1046
διʼ 1 w 1049
αἰῶνος 1 w 1055
ἀπὸ 7 w 1058
τοῦ 6 w 1061
ἑτέρου 1 w 1067
παραλλήλου 3 w 1077
ἐπὶ 9 w 1080
τὸν 1 w 1083
ἕτερον 1 w 1089
χωροῦσι 1 w 1096
καὶ 5 w 1099
ἀπʼ 1 w 1102
ἐκείνου 1 w 1109
πάλιν 1 w 1114
ἐπὶ 10 w 1117
τὸν 2 w 1120
αὐτὸν 1 w 1125
καὶ 6 w 1128
τοῦτο 1 w 1133
ἀδιαλείπτως 1 w 1144
καὶ 7 w 1147
ἀπαύστως 1 w 1155
γίνεται 1 w 1162
ὑπʼ 1 w 1165
αὐτῶν 2 w 1170
ἂν 1 w 1173
ἐπι- 1 w 1177
νοήσωμεν 1 w 1185
ἐπʼ 2 w 1188
ἄπειρον 1 w 1195
ἐκτεινομένας 1 w 1207
εὐθείας 4 w 1214
εἶναι 1 w 1219
τὰς 2 w 1222
παραλλήλους 1 w 1233
καὶ 8 w 1236
διʼ 2 w 1239
αὐτῶν 3 w 1244
κατὰ 3 w 1248
τὰ 11 w 1250
αὐτὰ 3 w 1254
πορευόμενα 1 w 1264
τὰ 13 w 1266
πλανώμενα 3 w 1275
ποτὲ 1 w 1279
μὲν 2 w 1282
τὴν 6 w 1285
χειμερινὴν 1 w 1295
ὁδόν 1 w 1299
ποτὲ 2 w 1304
δὲ 4 w 1306
τὴν 7 w 1309
θερινήν 1 w 1316
μέχρις 1 w 1323
ἀπείρου 1 w 1330
εὑρεθείη 1 w 1338
ἂν 2 w 1340
ἡμῖν 1 w 1344
ἕλικα 4 w 1349
γράφοντα 1 w 1357
κατὰ 4 w 1362
δὲ 5 w 1364
τὸ 6 w 1366
ἄπαυστον 1 w 1374
καὶ 9 w 1377
αἰώνιον 1 w 1384
τῆς 7 w 1387
περὶ 6 w 1391
τὴν 8 w 1394
σφαῖραν 2 w 1401
διὰ 3 w 1404
τῆς 8 w 1408
τῶν 5 w 1412
παραλλήλων 1 w 1422
πορείας 1 w 1429
ὁμοία 2 w 1434
4 w 1435
ὁδὸς 1 w 1439
αὐτοῖς 1 w 1445
γίνεται 2 w 1452
τῇ 3 w 1454
διὰ 4 w 1457
τῶν 6 w 1460
ἐπʼ 3 w 1463
ἄπειρον 2 w 1470
ἐκτεινο- 1 w 1478
μένων 1 w 1483
εὐθειῶν 1 w 1490
ὁδῷ 1 w 1493
καθάπερ 2 w 1501
δηλοῖ 1 w 1506
τὰ 15 w 1508
ὑποκείμενα 1 w 1518
δια- 1 w 1522
γράμματα 1 w 1530
ὥστε 1 w 1535
δύο 2 w 1538
κατὰ 5 w 1542
συμβεβηκὸς 1 w 1552
γράφουσιν 2 w 1561
ἕλι- 1 w 1565
κας 1 w 1568
τὴν 9 w 1572
μὲν 3 w 1575
ὡς 3 w 1577
περὶ 7 w 1581
κύλινδρον 2 w 1590
τὴν 10 w 1594
δὲ 6 w 1596
ὡς 4 w 1598
διʼ 3 w 1601
ἐπιπέδου 1 w 1609
ταυτὶ 1 w 1615
μὲν 4 w 1618
τὰ 17 w 1620
ἀναγκαιότατα 1 w 1632
καὶ 10 w 1635
ἐξ 1 w 1637
ἀστρολογίας 1 w 1648
κυ- 1 w 1651
ριώτατα 1 w 1658
πρὸς 1 w 1662
τὴν 11 w 1665
τῶν 7 w 1668
Πλατωνικῶν 1 w 1678
ἀνάγνωσιν 1 w 1687
ἐπεὶ 1 w 1692
δὲ 7 w 1694
ἔφαμεν 1 w 1700
εἶναι 2 w 1705
μουσικὴν 1 w 1713
καὶ 11 w 1716
ἁρμονίαν 1 w 1724
τὴν 12 w 1727
μὲν 5 w 1730
ἐν 6 w 1732
ὀργάνοις 1 w 1740
τὴν 13 w 1744
δὲ 8 w 1746
ἐν 7 w 1748
ἀριθμοῖς 1 w 1756
τὴν 14 w 1760
δὲ 9 w 1762
ἐν 8 w 1764
κόσμῳ 1 w 1769
καὶ 12 w 1773
3 2 w 1774
περιειλίττει 1 w 1786
B 10 w 1787
ἀπὸ 8 w 1791
bis 1 w 1794
scr 2 w 1797
B 11 w 1799
semel 1 w 1805
ap 1 w 1807
ἑτέραν 2 w 1814
B 12 w 1815
em 2 w 1818
ap 2 w 1821
6 3 w 1822
ἄλλον 1 w 1827
B 13 w 1828
7 1 w 1830
ἀπὸ 9 w 1833
τῆς 9 w 1836
ἑτέρας 4 w 1842
add 2 w 1845
Mart 6 w 1850
8 1 w 1852
ἐν 9 w 1854
add 3 w 1857
Mart 7 w 1862
11 2 w 1865
ἂν 3 w 1867
κάν 1 w 1871
B 14 w 1872
κ 66 w 1874
rubrum 1 w 1880
versus 1 w 1886
initio 1 w 1892
antepositum 1 w 1903
est 1 w 1906
κὰν 1 w 1911
ap 3 w 1913
14 1 w 1916
τὰ 18 w 1918
πλανώμενα 4 w 1927
τὰ 19 w 1930
ἀπλανῆ 3 w 1936
B 15 w 1937
τῇ 4 w 1940
ἀπλανεῖ 1 w 1947
Mart 8 w 1951
17 1 w 1954
τῆς 10 w 1957
del 1 w 1960
Mart 9 w 1965
19 1 w 1968
descriptiones 1 w 1981
B 16 w 1982
non 1 w 1985
habet 1 w 1990
22 2 w 1992
κυριότατα 1 w 2001
B 17 w 2002
καὶ 13 w 2007
κυριώτατα 1 w 2016
ἐξ 2 w 2018
ἀστρολογίας 2 w 2029
24 2 w 2032
ἔφαμεν 2 w 2038
p 9 w 2040
17 2 w 2043
2 9 w 2045
47 1 w 2048
3 3 w 2050
περὶ 8 w 2054
τῆς 11 w 2057
ἐν 10 w 2059
κόσμῳ 2 w 2064
τἀναγκαῖα 1 w 2073
πάντα 1 w 2078
ἑξῆς 1 w 2082
ἐπηγγειλάμεθα 1 w 2095
μετὰ 1 w 2099
τὴν 15 w 2102
περὶ 9 w 2106
ἀστρολογίας 3 w 2117
παράδοσιν 1 w 2126
ταύτην 1 w 2133
γὰρ 3 w 2136
ἔφη 1 w 2140
καὶ 14 w 2143
Πλάτων 1 w 2149
ἐν 11 w 2151
τοῖς 2 w 2155
μαθήμασι 1 w 2163
πέμπτην 1 w 2170
εἶναι 3 w 2175
μετὰ 2 w 2179
ἀριθμητικὴν 1 w 2190
γεωμετρίαν 1 w 2200
στερεομετρίαν 1 w 2213
ἀστρονομίαν 1 w 2224
1 w 2227
καὶ 15 w 2230
περὶ 10 w 2234
τούτων 1 w 2240
ἐν 12 w 2242
κεφαλαίοις 1 w 2252
παραδείκνυσιν 1 w 2265
6 w 2266
Θρά- 1 w 2270
συλλος 1 w 2276
σὺν 1 w 2279
οἷς 1 w 2282
καὶ 16 w 2285
αὐτοὶ 1 w 2290
προεξειργάσμεθα 1 w 2305
δηλωτέον 1 w 2313
1 10 w 2315
ἐπηγγειλάμεθα 2 w 2328
p 10 w 2330
47 2 w 2333
9 3 w 2335
93 1 w 2338
11 3 w 2341
2 10 w 2342
ἀστρολογίαν 1 w 2353
B 18 w 2354
3 5 w 2356
Πλάτων 2 w 2362
Civ 1 w 2366
VII 1 w 2370
p 11 w 2371
530 1 w 2375
4 7 w 2376
στερεωμετρίαν 1 w 2389
B 19 w 2390
5 4 w 2392
θρα- 1 w 2396
σύλλος 1 w 2402
B 20 w 2403
6 4 w 2405
προεξηργάσμεθα 1 w 2419
B 21 w 2420
τέλος 1 w 2426
add 4 w 2429
B 22 w 2431
προσλαμβανόμενος 1 w 2447
ὑπάτη 1 w 2452
ὑπατῶν 1 w 2458
παρυπάτη 1 w 2466
ὑπατῶν 2 w 2472
ὑπάτη 2 w 2477
διἄτονος 1 w 2485
ὑπάτη 3 w 2490
μέσων 1 w 2495
παρυπάτη 2 w 2503
μέσων 2 w 2508
μέσων 3 w 2513
διάτονος 1 w 2521
μέση 1 w 2525
παραμέση 1 w 2533
τρίτη 1 w 2538
διεζευγμένη 1 w 2549
διεζευγμένη 2 w 2560
διάτονος 2 w 2568
νήτη 1 w 2572
διεζευγμένη 3 w 2583
τρίτη 2 w 2588
ὑπερβολαίων 1 w 2599
διάτονος 3 w 2607
ὑπερβολίων 1 w 2617
νήτη 2 w 2621
ὑπερβολαίων 2 w 2632
διὰ 5 w 2635
δ 52 w 2636
ἐπιτρίτῳ 1 w 2644
διὰ 6 w 2647
δ 54 w 2648
διὰ 7 w 2651
ε 124 w 2652
ἡμιόλιος 1 w 2660
διὰ 8 w 2663
ε 125 w 2664
διὰ 9 w 2667
πασῶν 1 w 2672
διπλάσιος 1 w 2681
διᾶ 1 w 2684
πασῶν 2 w 2689
δὶς 1 w 2692
διὰ 10 w 2695
πασῶν 3 w 2700
τετραπλασίονι 1 w 2713
Exrstat 1 w 2720
haec 1 w 2724
descriptio 2 w 2734
neglegenuissime 1 w 2749
facta 1 w 2754
in 4 w 2756
cod 1 w 2759
A 1 w 2761
post 1 w 2765
9nem 1 w 2769
eius 1 w 2773
paruis 1 w 2779
qua 1 w 2782
de 4 w 2784
musica 1 w 2790
agitur 1 w 2796
p 15 w 2798
72 1 w 2801
tuindecim 1 w 2812
nominibus 1 w 2821
adlecta 1 w 2828
smt 1 w 2831
haec 2 w 2835
agna 1 w 2839
q 2 w 2840
ζ 6 w 2841
f 3 w 2842
1 w 2844
ζἔ 1 w 2846
1 w 2848
1 w 2850
ξ 6 w 2851
ευω 1 w 2854
i 25 w 2855
θ 22 w 2856
ι 133 w 2857
7 7 w 2858
Cf 1 w 2861
Boeth 1 w 2866
de 6 w 2869
inst 1 w 2873
mus 2 w 2877
p 16 w 2879
312 1 w 2883
sqq 1 w 2886
Fiedl 1 w 2892
West- 1 w 2898
phal 1 w 2902
p 18 w 2903
324 1 w 2907
sqq 2 w 2910