De utilitate mathematicae (176-180)

φυσικὸν δέ, ὥς φαμεν, καὶ ἀναγκαῖον ἅπαντα τὰ θεῖα ὁμαλῶς κινεῖσθαι καὶ εὐτάκτως· δῆλον οὖν ὡς ἐπί τινος ἰδίον κύκλου φερόμενος ὁμαλῶς καὶ εὐτάκτως ἡμῖν ἀπὸ τοῦ θ ὁρῶσιν ἐπὶ τοῦ ᾱβγδ δοκεῖ φέρεσθαι ἀνωμάλως. εἰ μὲν οὖν ὁ κύκλος αὐτοῦ περὶ τὸ αὐτὸ
κέντρον ὖν τῷ παντί, λέγω δὲ περὶ τὸ θ, τοὺς αὐτοὺς λόγους διαιρούμενος ὑπὸ τῶν ᾱγ βδ διαμέτρων, διὰ τὴν ἰσότητα τῶν περὶ τὸ κέντρον γωνιῶν καὶ τὴν ὁμοιό- [*]

τητα τῶν περιφερειῶν τὴν αὐτὴν ἂν παρεῖχεν ἀπορίαν. δῆλον δὲ ὡς ἑτέρως κινούμενος καὶ οὐ περὶ τὸ θ κέν- τρον αἴτιόν ἐστι τῆς τοιαύτης ἐμφάσεως. ἤτοι οὖν ἐν- τὸς αὐτοῦ περιλήψεται τὸ θ, ἢ διʼ αὐτοῦ ἐλεύσεται, ἢ
ἐκτὸς αὐτοῦ ἀπολείψει. διὰ μὲν οὖν τοῦ θ τὸν ἡλιακὸν ἔρχεσθαι κύκλον, ἀμήχανον· καὶ γὰρ αὐτὸς ἂν ὁ ἥλιος ἐπὶ γῆν παρεγίνετο, καὶ τοῖς μὲν ἐπὶ θάτερα τῆς γῆς ἀεὶ ἦν ἡμέρα, τοῖς δʼ ἄλλοις ἀεὶ νὺξ ἦν, καὶ οὔτʼ ἀνα- τέλλων οὔτε δύνων οὔθ ὅλως περὶ τὴν γῆν ἐρχόμενος
ἐφαίνετο ἂν ὁ ἥλιος· ἅπερ ἄτοπα. λείπεται οὖν ἢ ἐντὸς περιλαμβάνεσθαι τὸ θ ὑπὸ τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου ἢ ἐκτὸς ἀπολείπεσθαι. ὁποτέρως δʼ ἂν ὑποτεθῇ, φησί, σωθήσε- ται τὰ φαινόμενα, καὶ ἐντεῦθεν ἡ διαφορὰ τῶν μαθη- ματικῶν ἐλεγχθήσεται ἄτοπος οὖσα, τῶν μὲν κατὰ ἐκ-
κέντρων μόνον λεγόντων φέρεσθαι τὰ πλανώμενα, τῶν δὲ κατʼ ἐπίκυκλον, τῶν δὲ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τῇ ἀπλανεῖ. ἐπιδειχθήσονται γὰρ τοὺς τρεῖς γράφοντες κύκλους κατὰ συμβεβηκός, καὶ τὸν περὶ 〈τὸ〉 τοῦ παν- τὸς κέντρον καὶ τὸν ἔκκεντρον καὶ τὸν ἐπίκυκλον. ἐὰν
μὲν γὰρ περιλαμβάνεσθαι ὑποθώμεθα τὸ θ ἐντὸς ὑπὸ ἡλιακοῦ κύκλον, φησί, μὴ μέντοι γε ὡς κέντρον, ἔκκεν- τρος ἡ τοιαύτη λέγεται πραγματεία, ἐὰν δὲ ἐκτὸς ἀπο- λείπεσθαι, κατʼ ἐπίκυκλον.

[*][*]

ὑποκείσθω πρότερον ἔκκεντρος εἶναι ὁ τοῦ ἡλίου κύκλος ὁ εζηκ, παρεγκεκλιμένος οὕτως, ὡς ἔχειν τὸ αὑ- τοῦ κέντρον ὑπὸ τῇ εζ περιφερείᾳ, οἷον τὸ μ, καὶ διαι- ρουμένου εἰς ἴσα μέρη τξε δ [καὶ] τὴν μὲν εζ περιφέ- ρειαν εἶναι ??δ ς, τὴν δὲ ζη ??β ς, καὶ τὴν ηκ πή η,
τὴν δὲ κε ?? η. φανερὸν οὖν ὡς ἐπὶ μὲν τοῦ ε γενό- μενος ἡμῖν ἀπὸ τοῦ θ ἐπʼ εὐθείας ὁρῶσιν ἐπὶ τοῦ α εἶναι δόξει, τὴν δὲ εζ διελθών, μεγίστην οὖσαν τῶν εἰς τέσσαρα τετμημένων τοῦ ἰδίον κύκλου, ἡμέραις ??δ ς, ὅσωνπερ ἦν καὶ αὐτὴ 〈μοιρῶν〉, ὁμαλῶς, καὶ γενόμενος
[*]

ἐπὶ τοῦ ζ, ἡμῖν ἐπὶ τοῦ β φανήσεται, καὶ δόξει τὴν αβ διεληλυθέναι, τεταρτημοριαίαν τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλον, οὐ ταῖς αὐταῖς ἡμέραις, ἀνωμάλως. πάλιν δὲ τὴν ζη περιφέρειαν, δευτέραν μεγέθει τοῦ ἰδίου κύκλου, περι-
ελθὼν ὁμαλῶς ἐν ἡμέραις ??β ς, ὅσωνπερ ἦν αὐτὴ μοιρῶν, καὶ γενόμενος ἐπὶ τοῦ η, ἡμῖν ἐπὶ τοῦ γ φανή- σεται, καὶ δόξει τὴν βγ, τεταρτημοριαίαν τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ ἴσην τῇ πρόσθεν ἐν ἐλάττοσιν ἡμέραις διεληλυθέ- ναι καὶ ἀνωμάλως. παραπλησίως δὲ τὴν η διαπορευ-
θείς, ἐλαχίστην οὖσαν τῶν εἰς τέσσαρα τοῦ ἰδίου κύ- κλου, μοιρῶν πη η, ἐν ἡμέραις τοσαύταις, καὶ γενό- μενος ἐπὶ τοῦ κ, τοῖς ἀπὸ τοῦ θ ὁρῶσι φανήσεται μὲν ἐπὶ τοῦ δ, δόξει δὲ τὴν γδ, τεταρτημοριαίαν καὶ ἴσην ταῖς πρόσθεν, ἐλαχίσταις ἡμέραις διεληλυθέναι. καὶ
κατὰ λόγον λοιπὴν τὴν κε πορευθεὶς ἡμέραις ?? η, ὅσων καὶ μοιρῶν ἦν, καὶ ἀποκαταστὰς ἐπὶ τὸ ε, δόξει τὴν δᾱ διηνυκέναι, τεταρτημοριαίαν καὶ ἴσην, ἐν ἡμέραις ?? η, καὶ ἐπὶ τὸ α σημεῖον ἀποκαθίστασθαι. καὶ τὸν ἑαυτοῦ κύκλον διαπορευθεὶς ὁμαλῶς τὸν τῶν ζῳδίων ἀνωμά-
λως δόξει διεληλυθέναι. ἐὰν δὲ ἐπιζεύξαντες μεταξὺ τῶν κέντρων τὴν θμ ἐκβάλωμεν ἐφʼ ἑκάτερα ἐπʼ εὐθείας, [*] ἐπειδὴ τοῦ εζ κύκλου κέντρον τὸ μ, ἴση ἔσται ἡ μν 〈τῇ〉 μξ. ὥστε κατὰ μὲν τὸ ν γενόμενος ὁ ἥλιος ἀπο- γειότατος ἂν εἴη, καὶ ἡμῖν ἀπὸ τοῦ θ ὁρῶσι τὸ μέγεθος ἐλάχιστος δόξει καὶ βραδύτατα κινούμενος· ὅπερ φαίνε- ται ποιῶν κατὰ τὴν πέμπτην ἡμίσειαν μάλιστα μοῖραν
τῶν Διδύμων· κατὰ δὲ τὸ ξ γενόμενος προσγειότατός τε καὶ διὰ τοῦτο μέγιστος τῇ φάσει καὶ τάχιστα κινού- μενος δόξει· ἅτινα πάλιν φαίνεται ποιούμενος κατὰ τὴν ε ἡμίσειαν μοῖραν τοῦ Τοξότου· εὐλόγως τε καὶ περὶ τὰς αὐτὰς μοίρας τῶν τε Ἰχθύων καὶ τῆς Παρθένου
μέσως τῷ μεγέθει καὶ τῷ τάχει φέρεσθαι δοκεῖ. καὶ οὕτως πάντα, φησί, σωθήσεται τὰ φαινόμενα.

εὑρίσκεται ὁ εζηκ κύκλος τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένος. ἤχθωσαν γὰρ διὰ τοῦ μ ταῖς ᾱγ βδ παράλ- ληλοι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ οπ ρσ, καὶ ἐζεύχθωσαν
αἱ ζμ με. δῆλον οὖν ὅτι τοῦ εζηκ κύκλου διαιρεθέν- τος εἰς ἡμέρας τξε δ ἡ μὲν εζη περιφέρεια τοιούτων ἔσται ἡμερῶν ρπζ, ἡ δὲ ηκε ἔσται ἡμερῶν ροη δ. ἴσα ἄρα ἐκατέρα τῶν εο πη ρζ σκ, αἱ δὲ σπ πρ ρο οσ περι- φέρειαι ἀνὰ ??α δ ις τοιούτων ὑπάρχουσαι. ἡ δο-
θεῖσα ἄρα γωνία ὑπὸ ομν ἴση ἔσται τῇ θμτ· ὁμοίως καὶ 〈ἡ〉 ρμν γωνία ἴση ἔσται τῇ υμθ. ἔσται ἄρα ὁ λόγος [*]

τῆς μτ προς μθ, τουτέστι μτ πρὸς θτ, 〈δεδομένος〉. δέδοται ἄρα τὸ μτθ τρίγωνον τῷ εἴδει. καὶ δοθὲν τὸ θ κέντρον τοῦ παντὸς πρὸς ἑκάτερον τῶν ν ξ σημείων· τὸ μὲν γὰρ μέγιστον ὁρίζει ἀπόστημα, τὸ δὲ ἐλάχιστον·
καὶ ἔστιν ἡ μὲν θμ μεταξὺ κέντρων τοῦ τε παντὸς καὶ τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου. δέδοται ἄρα ὁ εζηκ κύκλος τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· εὑρίσκεται δὲ διὰ τῆς περὶ ἀπο- στημάτων καὶ μεγεθῶν πραγματείας ὁ λόγος τῆς θμ 〈πρὸς τὴν μν〉 ἔγγιστα ὡς ἓν πρὸς κδ.

τοιάνδε μὲν τὴν κατὰ ἔκκεντρον πραγματείαν παρα- δίδωσιν, σώζουσαν τὰ φαινόμενα. τὴν δὲ κατʼ ἐπίκυ- [*] [*]

κλον τοιάνδε λέγουσιν εἶναι. ἔστω πάλιν ζῳδιακὸς μὲν ὁ αβγδ, ἡλιακὸς δὲ κύκλος ὁ εξκ, ἐκτὸς ἀπολείπων ἑαυ- τοῦ τὸ θ ὅ ἐστι τοῦ παντὸς κέντρον. φερομένης δὴ τῆς τῶν ἀπλανῶν σφαίρας ἀπὸ τῆς β ἀνατολῆς ἐπὶ τὸ α μεσουράνημα καὶ ἀπὸ τοῦ α ἐπὶ τὴν δ δύσιν, ὁ εξκ
κύκλος ἤτοι ἠρεμήσει ἢ καὶ αὐτὸς κινηθήσεται, φερο- μένου περὶ αὐτὸν τοῦ ἡλίου. ἀλλʼ εἰ μὲν ἠρεμήσει, δῆ- λον ὡς ὁ ἥλιος οὔτε δύνων οὔτε ἀνατέλλων φανήσεται, ἀλλʼ ἀεὶ τοῖς μὲν ὑπὲρ γῆν ἡμέραν ποιήσει, τοῖς δὲ ὡς πρὸς ἡμᾶς ὑπὸ γῆν νύκτα, καὶ μιᾷ περιστροφῇ τοῦ
παντὸς δόξει πάντα παροδεύειν τὰ ζῴδια· ἅπερ ἐστὶν ἄτοπα. κινηθήσεται οὖν καὶ αὐτός· κινούμενος δὲ ἤτοι ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντὶ οἰσθήσεται ἢ ὑπεναντίως· καὶ 〈εἰ〉 ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντί, ἤτοι ἰσοταχῶς ἢ θᾶττον αὐτοῦ βραδύτερον. ἀλλʼ εἰ μὲν ἰσοταχῶς, ἀχθεισῶν
τῶν θζν θκλ ἐφαπτομένων τοῦ ζε κύκλου, ὁ ἥλιος ἐν τῇ ναλ περιφερείᾳ τοῦ ζῳδιακοῦ ἀεὶ δόξει ἀναστρέ- φεσθαι· ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ ζ γενόμενος κατὰ τὸ ν φανή- σεται, ἐπὶ δὲ τοῦ ε κατὰ τὸ α, μεταβὰς δὲ ἐπὶ τὸ κ κατὰ τὸ λ, καὶ τὴν μὲν ζεκ περιφέρειαν διανύσας, τὴν ναλ
δόξει πεπορεῦσθαι ἐπὶ τὰ προηγούμενα τῶν ζῳδίων· τὴν δὲ κηζ διελθὼν δόξει τὴν λᾱν ἐπὶ τὰ ἑπόμενα ἐνη- νέχθαι· ἅτινα πάλιν οὐ φαίνεται. οὐκ ἄρα ὁ εξκ τοῦ ἡλίου κύκλος ἰσοταχῶς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντὶ συμπερι- [*] [*] [*] ενεχθήσεται. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ θᾶττον, ἐπεὶ καὶ οὕτως προφθάνων προηγεῖσθαι δόξει τῶν ἀπλανῶν καὶ ἀνά- παλιν τὸν ζῳδιακὸν διανύειν, οἷον ἀπὸ Κριοῦ εἰς Ἰχθύας καὶ Ὑδροχόον· ἅπερ οὐ φαίνεται. δῆλον οὖν
ὅτι ὁ εζη κύκλος ἤτοι ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντί, βραδύτε- ρον μέντοι, κινηθήσεται, καὶ διὰ τοῦτο ὑπολειπόμενος εἰς τὰ ἑπόμενα δόξει μεταβαίνειν, ἣ καθʼ ἑαυτὸν [εἰ] μὲν ὑπεναντίως τῷ παντὶ οἰσθήσεται, συναπενεχθήσε- ται δὲ τῷ παντὶ πρὸς ἡμέραν ἑκάστην κρατούμενος τὴν
ἀπʼ ἀνατολῶν ἐπὶ δύσεις· καὶ γὰρ οὕτως εἰς τὰ ἑπόμενα φανήσεται μετιών καὶ οἷον ὑπολειπόμενος.

πῶς οὖν σώσει τὰ φαινόμενα; ἔστω κέντρον τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου τὸ μ, καὶ γεγράφθω κέντρῳ μὲν τῷ θ, διαστήματι δὲ τῷ θμ, κύκλος ὁ μονξ, καὶ ὑποκείσθω ὁ
εξηκ κύκλος νῦν συναποφέρεσθαι μὲν τῷ παντὶ τὴν ἀπὸ τῶν ἀνατολῶν ἐπὶ δύσεις φοράν, ἤτοι δὲ διὰ βραδυτῆτα ὑπολειπόμενος, ἢ καὶ φερόμενος ὑπεναντίως τῷ παντί, ὃ καὶ μᾶλλον δοκεῖ τῷ Πλάτωνι, ὥστε τὸ μὲν κέντρον κατὰ τοῦ μονξ κύκλου φερόμενον ὁμαλῶς περιπορεύε-
σθαι αὐτὸν ἐνιαυτῷ, καὶ ἐν τῷ 〈αὐτῷ〉 χρόνῳ τὸν ἥλιον διανύειν τὸν ἑαυτοῦ κύκλον, ὁμοίως φερόμενον ὁμαλῶς. πάλιν ὁ ἥλιος κατὰ τοῦ εζηκ κύκλου ἤτοι ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντὶ ἐνεχθήσεται, ἢ ὑπεναντίως, 〈ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὲ〉 τῷ ἰδίῳ κύκλῳ, οἷον ἀπὸ τοῦ κ ἐπὶ τὸ ε καὶ ἀπὸ τοῦ ε
ἐπὶ τὸ ζ. λέγω δὲ ὅτι τοῦ εζηκ κύκλου περιφερομένου [*]

κατὰ τοῦ μονξ ὑπεναντίως τῷ παντὶ ὁ ἥλιος ἐπὶ τοῦ εζηκ κύκλου ἐνεχθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ παντὶ καὶ σώσει τὰ φαινόμενα.