De utilitate mathematicae (16-20)

τῶν δὲ ἀριθμῶν οἱ μὲν πρῶτοι καλοῦνται ἁπλῶς καὶ ἀσύνθετοι, οἱ δὲ πρὸς ἀλλήλους πρῶτοι καὶ οὐχ ἁπλῶς, οἱ δὲ σύνθετοι ἀπλῶς, οἱ δὲ πρὸς αὑτοὺς σύν- θετοι. πρῶτοι μὲν ἀπλῶς καὶ ἀσύνθετοι οἱ ὑπὸ μηδε- νὸς μὲν ἀριθμοῦ, ὑπὸ μόνης δὲ μονάδος μετρούμενοι,
ὡς ὁ γʹ εʹ ζʹ ιαʹ ιγʹ ιζʹ καὶ οἱ τούτοις ὅμοιοι. λέγονται δὲ οἱ αὐτοὶ οὗτοι γραμμικόὶ καὶ εὐθυμετρικοὶ διὰ τὸ καὶ τὰ μήκη καὶ τὰς γραμμὰς κατὰ μίαν διάστασιν θεω- ρεῖσθει· καλοῦνται δὲ καὶ περισσάκις περισσοί· ὥστε ὀνο- μάζεσθαι αὐτοὺς πενταχῶς, πρώτους, ἀσυνθέτους, γραμ-
μικούς, εὐθυμετρικούς, περισσάκις περισσούς. μόνον δὲ οὕτως καταμετροῦνται. τὰ γὰρ τρία οὐκ ἂν ὑπʼ ἄλλου καταμετρηθείη ἀριθμοῦ ὥστε γεννηθῆναι ἐκ τοῦ πολλα- πλασιασμοῦ αὐτῶν, ἢ ὑπὸ μόνης μονάδος· ἅπαξ γὰρ τρία τρία. ὁμοίως δὲ καὶ ἅπαξ εʹ εʹ, καὶ ἅπαξ ζʹ ζʹ, καὶ
ἅπαξ ιαʹ ιά. διὸ καὶ περισσάκις περισσοὶ κέκληνται· οἵ τε γὰρ καταμετρούμιενοι περισσοὶ ἣ τε καταμετροῦσα αὐτοὺς μονὰς περισσή. διὸ καὶ πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι μόνοι οἱ περισσοί. οἱ γὰρ ἄρτιοι οὔτε πρῶτοι οὔτε ἀσύν- θετοι οὔτε ὑπὸ μόνης μονάδος μετρούμενοι, ἀλλὰ καὶ ὑπʼ
[*]

σύνθετοι δέ εἰσι πρὸς ἑαυτοὺς οἱ ὑπό τινος ἐλάτ- τονος ἀριθμοῦ μετρούμενοι, ὡς ὁ Ϛʹ ὑπὸ δυάδος καὶ τριάδος. πρὸς ἀλλήλους δὲ σύνθετοι οἱ κοινῷ ᾡτινιοῦν μέτρῳ μετρούμενοι· ὡς ὁ ηʹ καὶ ὁ Ϛʹ [καὶ ὁ θʹ]· κοινὸν
γὰρ ἔχουσι μέτρον δυάδα [καὶ τριάδα]· δὶς γὰρ γʹ Ϛʹ καὶ θὲς δʹ ηʹ [καὶ τρὶς γʹ θʹ]· 〈καὶ ὁ ϛʹ καὶ ὁ θʹ〉 κοινὸν γὰρ αὐτῶν μέτρον ἡ τρίας· καὶ γὰρ τρὶς βʹ ϛʹ καὶ τρὶς γʹ θ. οὔτε δὲ ἡ μονὰς ἀριθμὸς, ἀλλὰ ἀρχὴ ἀριθμοῦ, οὔτε ἡ ἀόριστος δυάς, πρώτη οὖσα ἑτερότης μονάδος
καὶ μηδὲν αὐτῆς ἐν ἀρτίοις ἀρχικώτερον ἔχουσα. τῶν δὲ συνθέτων τοὺς μὲν ὑπὸ δύο ἀριθμῶν περιεχομένους καλοῦσιν ἐπιπέδους, ὡς κατὰ δύο διαστάσεις θεωρου- [*] [*]

τῶν δὲ ἀρτίων οἱ μέν εἰσιν ἀρτιάκις ἄρτιοι, οἱ δὲ
κεριττάκις ἄρτιοι, οἱ δὲ ἀρτιοπέριττοι. ἀρτιάκις μὲν ἄρ- τιοι [τὸ σημεῖον τοῦτό ἐστιν] οἷς τρία συμβέβηκεν, ἓν τὸ ὑπὸ δύο ἀρτίων ἐπʼ ἀλλήλους πολυπλασιασθέντων γεγενῆσθαι, δεύτερον τὸ πάντα ἄρτια ἔχειν τὰ μέρη μέχρι τῆς εἰς μονάδα καταλήξεως, τρίτον τὸ μηδὲν αὐ-
τῶν μέρος ὁμώνυμον εἶναι περιττῷ· ὁποῖοί εἰσιν ὁ λβ ξδʹ ρκηʹ καὶ οἱ ἀπὸ τούτων ἑξῆς κατὰ τὸ διπλάσιον λαμβανόμενοι. τὰ γὰρ λβʹ γέγονε μὲν ἔκ τε δʹ καὶ ηʹ, ἅ ἐστιν ἄρτια· μέρη δὲ αὐτῶν πάντα ἄρτια, ἥμισυ ιϛʹ, τέταρτον ὁ ηʹ, ὄγδοον ὁ δʹ· αὐτά τε τὰ μόρια ὁμώνυμα
ἀρτίοις, τό τε ἥμισυ ὡς ἐν δυάδι θεωρούμενον καὶ τέταρτον καὶ ὄγδοον. ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως ἀριθμῶν.

ἀρτιοπέριττοι δέ εἰσιν οἱ ὑπὸ δυάδος καὶ περιττοῦ οὑτινοσοῦν μετρούμενοι, οἵτινες ἐκ παντὸς περιττὰ μέρη
ἔχουσι τὰ ἡμίσεα κατὰ τὴν εἰς ἴσα διαίρεσιν· ὡς τὰ δὶς ζ ιδ. ἀρτιάκις μὲν γὰρ οὗτοι καλοῦνται περιττοί, ἐπεὶ ὑπὸ τῆς δυάδος ἀρτίας οὔσης μετροῦνται καὶ περισσοῦ τινος, ὁ μὲν δύο τοῦ ἑνός, ὁ δὲ ϛʹ τοῦ γʹ, ὁ δὲ ιʹ τοῦ ε, ὁ δὲ ιδʹ τοῦ ζ. διαιροῦνται δὲ οὗτοι τὴν πρώτην
[*] [*] [*]

περισσάκις δὲ ἄρτιοί εἰσιν ὧν ὁ πολλαπλασιασμὸς ἐκ δυεῖν ὡντινωνοῦν περισσοῦ καὶ ἀρτίου γίνεται, καὶ πολλαπλασιασθέντες εἰς ἴσα μὲν ἄρτια μέρη δίχα διαι- ροῦνται, κατὰ δὲ τὰς πλείους διαιρέσεις ἃ μὲν ἄρτια μέρη, ἃ δὲ περισσὰ ἔχουσιν· ὡς ὁ ιβ καὶ κ· τρὶς γὰρ
δ ιβ, καὶ πεντάκις δ κ· καὶ τὰ μὲν ιβ διχῆ διαιρεῖ- ται 〈εἰς〉 ϛ καὶ ϛ, τριχῇ δὲ εἰς δ καὶ δ καὶ δ, τετραχῆ δὲ εἰς τετράκις γ· τὰ δὲ κ διχῆ μὲν εἰς ι, τετραχῆ δὲ εἰς ε, πενταχῆ δὲ εἰς δ.