Sphaerica (3.8.1)

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος τινὸς κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος, λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους, μειζόνων ἐφάπτηται, ἢ ὧν ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο· ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ὦσιν ἐπὶ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου· ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων· διὰ δὲ τῶν γινομένων σημείων γραφῶσοι μέγιστοι κύκλοι ἐφαπτόμενοι, οὗ καὶ ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο, ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων, τὰς μεταξὺ αὐτῶν, ἀσύμπτωτα ποιοῦντες τὰ ἀπὸ τῶν ἐπαφῶν ἡμικύκλια, ὡς ἐπὶ τὰ μέρη τῶν σημείων, δέ ὧν ἐγράφησαν, τῷ ἡμικυκλίῳ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου, τῷ, ἐφ’ οὗ ἂν ᾖ ἡ συναφὴ τοῦ λοξοῦ κύκλου, ἡ μεταξὺ τοῦ τε φανεροῦ πόλου καὶ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων· ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, τὰς μεταξὺ αὐτῶν, καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς ποῤῥώτερον.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἄλλος δέ τις μέγιστος ὁ ΕΖΓ λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους, μειζόνων ἐφαπτέσθω, ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτεται· ἔτι δὲ αἱ ἁφαὶ ἔστωσαν ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τὰ Ε, Γ σημεῖα, μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ἔστω ὁ ΒΖ· ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΕΖΓ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΗΘ, ΘΚ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖ, καὶ διὰ τῶν Η, Θ, Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΔΗΛ, ΜΘΝ, ΞΚΟ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΑΔ κύκλου κατὰ τὰ Δ, Μ, Ξ σημεῖα, ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων, τὰς μεταξὺ αὐτῶν, ἀσύμπτωτα ποιοῦντες τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Μ, Ξ ἡμικύκλια, ὡς ἐπὶ τὰ μέρη τῶν Η, Θ, Κ, τῷ ΑΒ ἡμικυκλίῳ· λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΛΝ περιφέρεια τῆς ΝΟ περιφερείας.

Γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Η, Θ, Κ σημείων παράλληλοι κύκλοι οἱ ΠΗΡ, ΣΘ, ΤΥΚ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΤ περιφέρεια τῆς ΣΠ περιφερείας. Ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΤ ἴση ἐστὶ τῇ ΘΥ, ἡ δὲ ΣΠ’ ἴση ἐστὶ τῇ ΘΡ· καὶ ἡ ΥΘ ἄρα τῆς ΘΡ μείζων ἐστί. Κείσθω οὖ τῇ ΦΡ ἴση ἡ ΘΦ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΘΚ ἴση· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η

ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ. Γεγράφθω διὰ τοῦ Φ ὁποτέρῳ τῶν ΠΗΡ, ΣΘ, ΤΥΚ, ΒΖ παράλληλος ὁ ΧΦΨ, καὶ εἰλήφθω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων τὸ Ω, καὶ διὰ τῶν Ω, Ο σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΩΟ.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΩΟ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΒΖ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΩΟ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΒΖ κύκλον, ὁ ΞΚΟ ἄρα πρὸς τὸν ΒΖ κέκλιται, ὡς ἐπὶ τὰ Α, Ε, Β μέρη, καὶ ὁ ΒΖ πρὸς τὸν ΞΚΟ κέκλιται, ὡς ἐπὶ τὰ Α, Ε, Β μέρη. Παράλληλος δὲ ὁ ΒΖ τῷ ΧΦΨ, καὶ ὁ ΧΦΨ ἄρα πρὸς τὸν ΞΚΟ κέκλιται, ὡς ἐπὶ τὰ Ξ μέρη. Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖ, ΧΦΨ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ λοξοῦ τέμνεται τοῦ ΞΚΟ, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν· ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τῶν ΞΚΟ, ΒΖ ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Ο σημείου διάμετρος τοῦ ΞΚΟ κύκλου· ἡ ἄρα κοινὴ τομὴ τῶν ΞΚΟ, ΧΦΨ, ἥτις ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Ψ σημείου διηγμένη, παράλληλός ἐστι τῇ ἀπὸ τοῦ Ο διαμέτρῳ τοῦ ΞΚΟ κύκλου. Εἰς δὲ κύκλον τὸ ΞΚΟ διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ τῶν ΞΚΟ, ΧΦΨ κοινὴ τομὴ εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν κύκλον, παράλληλος γάρ ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΞΚΟ κύκλου, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ἐφέστηκε τὸ ΧΨ καὶ τό τούτῳ συνεχὲς, κεκλιμένον πρὸς τὸ μὴ μεῖζον ἡμικυκλίου· διῄρηται δὲ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Φ σημεῖον, καὶ ἡ ΦΨ ἐλάσσων ἐστὶν, ἢ ἡμίσεια τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ ᾧ ἐπὶ τὸ Ψ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Φ σημείου πρὸς τὴν μὴ ἐλάσσονα ἡμικυκλίου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Κ, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Κ ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ, ὥστε ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ. Καὶ ἐπεὶ ὁ ΦΧ κύκλος ἔγγιόν ἐστι τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἤπερ ὁ ΠΗΡ· μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΧΦΨ κύκλος τοῦ ΠΗΡ κύκλου. Ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι ἄνισοί εἰσιν οἱ ΧΦΨ, ΠΗΡ, καὶ ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΠΗΡ κύκλος, καὶ ἐν αὐτοῖς διηγμέναι εἰσὶν εὐθεῖαι, ἐν μὲν τῷ ΠΗΡ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ, ἐν δὲ τῷ ΧΦΨ ἡ ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ, καὶ ἡ ἐν τῷ ἐλάσσονι κύκλῳ διηγμένη μείζων ἐστὶ τῆς ἐν τῷ μείζονι κύκλῳ διηγμένης εὐθείας, τοῦτ’ ἔστι, μείζων ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ρ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ Ψ· ἡ ΗΡ ἄρα περιφέρεια τῆς ΨΦ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἡ ὁμοία· ἀλλ’ ἡ μὴν ΗΡ περιφέρεια τῇ ΛΝ

περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία, ἡ δὲ ΦΨ τῇ ΝΟ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἠ ΑΝ ἄρα μείζων ἐστιν ἢ ὁμοία τῆς ΝΟ. καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΝ περιφέρεια τῆς ΝΟ περιφερείας.