Sphaerica (3.6.1)

Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους· ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, καὶ διὰ τῶν γενομένων σημείων καὶ τοῦ πόλου μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν· ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν, καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς ποῤῥώτερον.

Ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων τὸ Α σημεῖον, καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον δύο μέγιστοι κύκλοι τεμνέτωσαν πρὸς ὀρθὰς οἱ b ΒΖΓ, ΔΖΕ, ὧν ὁ μὲν ΒΖΓ

εἷς ἔστω τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΖΕ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους· ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΖΕ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΚΘ, ΘΗ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΖΓ, διὰ δὲ τοῦ Α καὶ ἑκάστου τῶν Κ, Θ, Η σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΗΛ, ΑΘΜ, ΑΚΝ· λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΜΝ περιφερείας.

Γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Κ, Θ, Η σημείων παράλληλοι κύλοι οἱ ΞΗΟ, ΠΘΡ, ΣΚΤ, μείζων ἄρα ἡ ΣΠ περιφέρεια τῆς ΠΞ περιφερείας, διὰ τὸ προδειχθὲν θεώρημα. Ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΠ τῇ ΥΘ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΠΞ τῇ ΘΦ· καὶ ἡ ΥΘ ἄρα τῆς ΘΦ ἐστι μείζων. Κείσθω οὖν τῇ ΘΦ ἴση ἡ ΘΧ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΘΚ ἴση· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ. Γεγράφθω διὰ τοῦ Χ τοῖς ἐξ ἀρχῆς παράλληλος κύκλος ὁ ΧΨΩ.

Καὶ ἐπεὶ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΨΚΝ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΧΨΩ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ἄρα ΑΨΚΝ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΧΨΩ κύκλον, ὥστε καὶ ὁ ΧΨΩ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΨΚΝ κύκλον. Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖΓ, ΧΨΩ ὑπό τινος ἐπιπέδου τέμνεται τοῦ ΑΨΚΝ, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ ἄρα παράλληλοί εἰσιν· ἡ ἄρα κοινὴ τομὴ τῶν ΑΨΚΝ, ΒΖΤ, ἥπερ ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Ν σημείου, διάμετρος οὖσα τοῦ ΑΨΚΝ κύκλου, καὶ ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ΑΨΚΝ, ΧΨΩ παράλληλοί εἰσιν, [ὥστε ἡ κοινὴ τομὴ τῶν ΑΨΚΝ, ΧΨΩ παράλληλός ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΨΚΝ a ]. Καὶ ἐπεὶ εἰς κύκλον τὸν ΑΨΚΝ διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ τῶν ΑΨΚΝ, ΧΨΩ κύκλων κοινὴ τομὴ, εἰς ἄνισα τέμνουσα τὸν ΑΨΚΝ κύκλον, παράλληλος γάρ ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΨΚΝ κύκλου, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκε τὸ ΧΨ καὶ τὸ τούτῳ συνεχὲς, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Χ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Χ σημείου πρὸς τὴν ΨΚΝ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. Ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Κ ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα ἐπὶ τὸ Φ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ. Καὶ ἐπεὶ ὁ ΧΨΩ κύκλος ἔγγιόν ἐστι τοῦ κέντρου, ἥπερ

ὁ ΞΗΟ, μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΧΨΩ κύκλος τοῦ ΞΗΟ κύκλου. Ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι ἄνισοί εἰσιν οἱ ΧΨΩ, ΞΗΟ, καί ἐστιν ἐλάσσω ὁ ΞΗΟ, καὶ ἐν αὐτοῖς διηγμέναι εἰσὶν εὐθεῖαι, ἐν μὲν τῷ ΞΗΟ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ, ἐν δὲ τῷ ΧΨΩ ἡ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ, καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Φ μείζων τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ· ἡ ΗΦ ἄρα περιφέρεια τῆς ΧΨ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. Ἀλλ’ ἡ μὲν ΗΦ τῇ ΛΜ ἐστιν ὁμοία, ἡ δὲ ΧΨ τῇ ΜΝ ἐστιν ὁμοία· καὶ ἡ ΜΛ ἄρα περιφέρεια τῆς ΜΝ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· μείζων ἄρα ἡ ΛΜ περιφέρεια τῆς ΜΝ περιφερείας.