Sphaerica (2.22.1)

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται, ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τέμνῃ μεταξὺ ὄντα τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ οὗ ἐφάπτεται ὁ μέγιστος κύκλος· ἔτι δὲ ὁ a πόλος τοῦ μεγίστου μεταξὺ ᾖ τῶν παραλλήλων, καὶ γραφῶσι μέγιστοι κύκλοι ἐφαπτόμενοι τοῦ μείζονος τῶν παραλλήλων· κεκλιμένοι ἔσονται πρὸς τὸν μέγιστον κύκλον, καὶ ὀρ θότατος μὲν ἔσται ὁ τὴν συναφὴν ἔχων κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ μείζονος τμήματος, ταπεινότατος δὲ ὁ τὴν

συναφὴν ἔχων κα τὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ ἐλάσσονος τμήματος· τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ὁποτεραςοῦν τῶν διχοτομιῶν ὁμοίως εἰσὶ a κεκλιμένοι· ἀεὶ δὲ ὁ ποῤῥώτερον τὴν συναφὴν ἔχων τῆς διχοτομίας τοῦ μείζονος τμήματος, τοῦ ἔγγιον μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος. Ἔτι δὲ οἱ b πόλοι τῶν μεγίστων ἐπὶ ἑνὸς ἔσονται κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος, ἡ ἐστιν ἐκεῖνος, οὗ ἐφάψεται ὁ ἐξ ἀρχῆς μέγιστος κύκλος.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τὸν ΕΖΗΘ τεμνέτω μεταξὺ ὄντα τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τοῦ ΑΔ κύκλου· ἔτι δὲ ὁ πόλος τοῦ ΑΒΓ κύκλου μεταξὺ ἔστω τῶν ΑΔ, ΕΖΗΘ, καὶ ἔστω τὸ Κ σημεῖον, καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΘΥ ἐφαπτόμενοι τοῦ μείζονος τῶν παραλλήλων τοῦ ΕΖΗΘ, καὶ ἔστω ὁ μὲν ΒΖΓ κύκλος κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ μείζονος τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, ὁ δὲ ΥΘ κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ ἐλάσσονος τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου κατὰ τὸ Θ σημεῖον, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ἴσον ἀπεχέτωσαν ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν, ὁ δὲ ΤΣ ἔστω ὡς ἔτυχε· λέγω, ὅτι οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ κύκλοι κεκλιμένοι ἔσονται πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον καὶ ὀρθότατος μὲν αὐτῶν ἔσται ὁ ΒΖΓ, ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι, ὁ δὲ ΣΤ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΟΠΡ· ἔτι δὲ οἱ πόλοι τῶν ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ ἐπὶ ἑνὸς ἔσονται κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ.

Εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων τῶν ΑΔ, ΕΖΗΘ, καὶ ἔστω τὸ Λ σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Α, Λ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΛ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἀφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΛ· ὁ ΑΛ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ c κύκλου πόλων, καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. Καί ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος τὸ Κ σημεῖον· ὁ ΑΛ ἄρα προςαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Κ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΛΚ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΕΖΗΘ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ

τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΛΚ· ὁ ΑΛΚ ἄρα δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων. Καί ἐστι a τοῦ μὲν ΕΖΗ τμήματος διχοτομία τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΕΘΗ τμήματος διχοτομία τὸ Θ· ὁ ΑΛΚ ἄρα προσαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Θ σημείων. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΘΑΛΚΖ. Καὶ ἐπεὶ τὸ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καί ἐστιν ὁ ΑΒΓ μέγιστος· ἡ ΑΚ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΖΗΘ ἐλασσων ἐστὶ τοῦ μεγίστου, καί ἐστι μεταξὺ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τοῦ ΑΔ, καί ἐστιν αὐτοῦ πόλος τὸ Λ σημεῖον· ἡ ΛΖ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΑΚΖ μείζων ἐστὶ τῆς, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἡ δὲ ΛΖ ἐλάσσων· ἐὰν ἄρα τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἴσην ἀπολάβωμεν περιφέρειαν, μεταξὺ τῶν Α, Λ σημείων πεσεῖται. Ἀπειλήφθω αὐτῇ ἴση, καὶ ἔστω ἡ ΖΦ· καὶ πόλῳ μὲν τῷ Λ, διαστήματι δὲ τῷ ΛΦ κύκλος γεγράφθω ὁ ΦΧΨΩ, παράλληλος ἄρα ἐστὶ τοῖς ΑΔ, ΕΖΗΘ κύκλοις. Καὶ διὰ τοῦ Λ σημείου καὶ ἑκάστου τῶν Π, Ν, Τ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΝΛΩ, ΠΛΧ, ΤΑΨ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μέν ΝΛ τῇ ΛΖ, ἐκ τοῦ πόλου γὰρ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἡ δὲ ΛΩ τῇ ΛΦ, ἐκ τοῦ πόλου b γὰρ τοῦ ΦΧΨΩ· ὅλη ἄρα ἡ ΝΛΩ ὅλῃ τῇ ΖΛΦ ἐστιν ἴση. Καί ἐστιν ἡ ΖΛΦ ἴση τῇ, ὑφ’ ἥν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· καὶ ἡ ΝΛΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΧΛΠ, ΨΛΤ, ΛΘ ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΜΝΞ, ΕΖΗΘ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς τοῦ ΕΖΗΘ πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΝΛΩ· ὁ ἄρα ΝΛΩ ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΜΝΞ πόλων, καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. Καὶ ἐπεὶ ὁ ΜΝΞ κύκλος μέγιστός ἐστιν, ἡ ἄρα ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς

τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· καί ἐστιν ἡ ΝΛΩ ἴση τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Ω ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΜΝΞ κύκλου· τὸ Ω ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΜΝΞ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ μὲν Φ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΒΖΓ κύκλου, τὸ δὲ Χ τοῦ ΟΠΡ, τὸ δὲ Ψ τοῦ ΣΤ, καὶ ἔτι τὸ τ τοῦ ΥΘ· οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ κύκλοι ἄρα τοὺς πόλους ἔχουσιν ἐπὶ ἑνὸς κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ.

Λέγω δὴ, ὅτι οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον κεκλιμένοι εἰσὶ, καὶ ὅτι ὀρθότατος μέν ἐστιν αὐτῶν ὁ ΒΖΓ, ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι, ὁ δὲ ΣΤ πρὸς τὸν ΑΓΒ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΟΠΡ πρὸς τὸν ΑΒΓ.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ ΖΠ περιφερείᾳ, καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ Ζ ΖΠ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ μὲν Ν τῇ Ϛτ′ ἐστιν ὁμοία, ἡ δὲ ΖΠ τῇ τη, καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ϛ τ περιφέρεια τῇ ητ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ μὲν ητ περιφέρεια τῇ ΧΦ περιφερείᾳ ἴση ἐστὶ, κατὰ κορυφὴν γὰρ, ἡ δὲ Ϛτ τῇ ΦΩ· καὶ ἡ ΦΩ ἄρα περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΧΦ. Κύκλου δέ τινος τοῦ ΦΧΨΩ ἐπὶ διαμέτρου, τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ τ, κύκλου τμῆμα ὀρθὸν ἐφέσταται τὸ ΦΚ τ a, καὶ ἀπειλημμένη ἐστὶν ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια οὖσα τοῦ ὅλου τμήματος περιφέρεια ἡ τ Κ, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΧΦ, ΦΩ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ σημείου ἐπὶ τὸ Χ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Ω ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ· ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΚΧ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ω. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΧΙΩ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΧΙΩ τῷ ΑΒΓ, περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐστὶν αὐτῷ, τὸ γὰρ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ὁ ΧΙΩ κύκλος τῷ ΑΒΓ κύκλῳ, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ω καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον. Καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ι κάθετος ἀγομένη ἴση ἐστὶν ἑκατέρᾳ τῶν ἀπὸ τοῦ Χ, Ω καθέτων ἀγομένων, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ι κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ

καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ω ἄρα κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον. Ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Χ κάθετος μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ καθέτου, ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ι ἀγομένῃ. Μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τὸ Ω τοῦ Φ· καί ἐστι τὸ μὲν Ω πόλος τοῦ ΜΝ κύκλου, τὸ δὲ Φ τοῦ ΒΖΓ· ὁ ἄρα τοῦ ΜΝΞ κύκλου πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ ΒΖΓ κύκλου πόλου. Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσι, μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι, ὁ ΜΝΞ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΒΖΓ κύκλος· ὁ ἄρα ΒΖΓ κύκλος ὀρθότερός ἐστι τοῦ ΜΝΞ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντων τῶν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλων ἐφαπτομένων ὁ ΒΖΓ ὀρθότερός ἐστιν· ὀρθότατος ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΖΓ.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ ὁ ΥΘ κύκλος ταπεινότατός ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ τ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ψ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον· μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τὸ τ τοῦ Ψ. Καί ἐστι τὸ μὲν τ πόλος τοῦ ΥΘ κύκλου, τὸ δὲ Ψ πόλος τοῦ ΣΤ κύκλου· ὁ ἄρα τοῦ ΥΘ πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ ΣΤ πόλου. Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσι, μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι· ὁ ΥΘ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΣΤ, ταπεινότερος ἄρα ἐστὶν ὁ ΥΘ τοῦ ΣΤ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντων τῶν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐφαπτομένων ταπεινότερός ἐστιν ὁ ΥΘ· ὁ ΥΘ ἄρα ταπεινότατός a ἐστι.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ω κάθετος ἀγομένη ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Χ καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον· τὰ Ω, Χ ἄρα σημεῖα ἴσον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου. Καί ἐστι τὸ μὲν Ω σημεῖον πόλος τοῦ ΜΝΞ κύκλου, τὸ δὲ Χ σημεῖον πόλος τοῦ ΟΠΡ κύκλου· τῶν ΜΝΞ, ΟΠΡ ἄρα κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσι τοῦ αὐτοῦ ἐπιπέδου, ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι· οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι.

Πάλιν, ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ψ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον· μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τοῦ Χ τὸ Ψ. Καί ἐστι τὸ μὲν Ψ πόλος τοῦ ΣΤ κύκλου, τὸ δὲ Χ πόλος τοῦ

ΟΠΡ· ὁ ἄρα τοῦ ΣΤ κύκλου πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ ΟΠΡ κύκλου πόλου. Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσι, μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι· ὁ ΣΤ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΟΠΡ.

Οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον κεκλιμένοι εἰσὶ, καὶ ὀρθότατος μέν ἐστιν αὐτῶν ὁ ΒΖΓ, ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι, ὁ δὲ ΣΤ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΟΠΡ ἔτι δὲ οἱ πόλοι αὐτῶν ἐπὶ ἑνός εἰσι κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ κύκλου.