De Sphaera Quae Movetur (propositiones.1-propositiones.2)

α. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα τα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ
καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα.

Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα, πόλοι [*] [*] [*] [*]

δὲ αὐτῆς τὰ Α Β σημεῖα, καὶ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν ΑΒ λέγω ὅτι πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους
τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα.

Εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Γ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν κάθετος ἡ Γ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν
πόλων τῶν Α Β καὶ τῆς Γ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ [*] τομὴν κύκλον. ἔστω αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΓΒ. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΑΒ εὐθείας περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, συμπεριενεχθήσεται αὐτῷ καὶ ἡ Γ εὐθεῖα
κατὰ πᾶσαν μετακίνησιν τοῦ ΑΓΒ ἡμικυκλίου διαμένουσα τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθάς, καὶ γράψει κύκλον ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὐ κέντρον ἔσται τὸ σημεῖον, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ Γ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῷ ΑΒ ἄξονι [διὰ τὸ καὶ τὴν Γ αἰεὶ διαμένειν τῇ ΑΒ πρὸς
ὀρθάς]. καὶ φανερὸν ὅτι τὰ ΑΒ σημεῖα πόλοι ἔσονται [*] τοῦ γραφέντος κύκλου, ἐπειδήπερ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετος ἦκται καὶ ἐκβέβληται ἡ ΑΒ ἕως τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα,
ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει πρὸς ὀρθὰς τῷ ΑΒ ἄξονι τοὺς αὐτούς πόλους ἔχοντας τῇ [*] [*]

[*] σφαίρᾳ. οἱ δὲ περὶ τοὺς αὐτούς πόλους ὄντες ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσί· πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν
ἄξονα.

βʹ. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξέρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται.

Σφαῖρα γὰρ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν ΑΒ, πόλοι δὲ τῆς σφαίρας ἔστωσαν τὰ Α Β σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς
σφαίρας τὰ Γ λέγω ὅτι τὰ σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξἐρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται.

[*]

Ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧν φέρεται τὰ Γ σημεῖα οἱ ΓΕ Ζ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῆς ΑΒ καὶ τοῦ Ι ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον. ἔστω δὲ αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΓΒ ἤτοι δὴ ἐλεύσεται καὶ διὰ τοῦ ἢ οὔ.

[*][*][*]

Ἐρχέσθω πρότερον καὶ ἔστω τὸ ΑΓΒ, καὶ ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας μετακεκινήσθω τὸ ΑΓΒ (ε) ἡμικύκλιον, καὶ ἐχέτω θέσιν ὡς τὴν ΑΕΖΒ. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσὶν οἱ ΓΕ Ζ, καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσὶν
οἱ ΑΓΒ ΑΕΖ Β, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ Ζ περιφερείᾳ· λέγω οὖν ὅτι ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ἐπὶ τὸ Ζ.

Μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ μὲν Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον παραγιγνέσθω τὸ δὲ
ἐπὶ τὸ H στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, καὶ τὸ ἐπὶ τὸ Η καὶ τὸ (Ϛ) ΑΓΒ ἡμικύκλιον θέσιν ἔξει ὡς τὴν ΑΕΗΒ. καὶ ἐπεὶ μέγιστός ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΑΕΖΒ ΑΕΗΒ. κύκλων, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Βʹ ἐπιζευγνυμένη
εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τῆς σφαίρας. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ, ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ἐπὶ τὸ Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἐπʼ ἄλλο τι
πλὴν ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον.

Μὴ ἐρχέσθω δὴ τὸ ἡμικύκλιον τὸ διὰ τῶν ΑΓΒ διὰ τοῦ , ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ
ἔστω παράλληλος κύκλος καθʼ οὗ [*] [*] [*]

έρεται τὸ σημεῖον ὁ ΔΘΖ, καὶ κείσθω τῇ ΓΕ [*] ὁμοία ἡ Η. ἀλλʼ ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΘΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἡ Η ἄρα τῇ ΘΖ ἐστὶν ὁμοία. [*] καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Η [*] περιφέρεια τῇ ΘΖ περιφερείᾳ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ
ἐπὶ τὸ παραγίγνεται καὶ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Ζ. ἐν ὅσῳ δὲ χρόνῳ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, καὶ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ἐπὶ τὸ Η.

[*]