On the Sizes and Distances of the Sun and the Moon (5-9)

Ὅταν ἡ σελήνη διχότομος ἡμῖν φαίνηται, τότε ὁ μέγιστος κύκλος ὁ παρὰ τὸν διορίζοντα ἐν τῇ σελήνῃ τό τε σκιερὸν καὶ τὸ λαμπρὸν νεύει εἰς τὴν ἡμετέραν ὄψιν, τουτέστιν, ὁ παρὰ τὸν διορίζοντα μέγιστος κύκλος καὶ ἡ
ἡμετέρα ὄψις ἐν ἐνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.

Ἐπεὶ γὰρ διχοτόμου οὔσης τῆς σελήνης φαίνεται ὁ διορίζων τό τε λαμπρὸν καὶ τὸ σκιερὸν τῆς σελήνης κύκλος νεύων εἰς τὴν ἡμετέραν ὄψιν, καὶ αὐτῷ ἀδιάφορος ὁ παρὰ τὸν διορίζοντα μέγιστος κύκλος, ὅταν ἄρα ἡ σελήνη διχότομος ἡμῖν φαίνηται, τότε ὁ μέγιστος κύκλος
ὁ παρὰ τὸν διορίζοντα νεύει εἰς τὴν ἡμετέραν ὅψιν.

Ἡ σελήνη κατώτερον φέρεται τοῦ ἡλίου, καὶ διχίτομος οὖσα ἔλασσον τεταρτη μορίου ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἡλίου.

Ἔστω γὰρ ἡ ἡμετέρα ὄψις πρὸς τῷ Α, ἡλίου δὲ κέντρον τὸ Β, καὶ
ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΒ. ἐκβεβλήσθω, καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΑΒ καὶ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης διχοτόμου οὔσης ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ, καθ ἧς φέρεται τὸ κέντρον τοῦ ἡλίου, κύκλον [*] [*] [*] [*]

μέγιστον. ποιείτω οὖν τὸν ΓΒ κύκλον, καὶ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ΓΑ· τεταρτημορίου ἄρα ἐστὶν ἡ Β περιφέρεια. λέγω ὅτι ἡ σελήνη κατώτερον φέρεται τοῦ ἡλίου, καὶ διχότομος οὖσα ἔλασσον τεταρτημορίου ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἡλίου, τουτέστιν,
ὅτι τὸ κέντρον ἐστὶν αὐτῆς μεταξὺ τῶν ΒΑ, Α εὐθειῶν καὶ τῆς ΕΒ περιφερείας.

Εἰ γὰρ μή, ἔστω τὸ κέντρον αὐτῆς τὸ μεταξὺ τῶν Α, ΑΛ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ. ἡ ΒΖ. ἄρα ἄξων ἐστὶν τοῦ περιλαμβάνοντος κώνου τόν τε ἥλιον καὶ τὴν σελήνην, καὶ γίνεται ἡ
ΒΖ ὀρθὴ πρὸς τὸν διορίζοντα ἐν τῇ σελήνῃ τό τε σκιερὸν καὶ τὸ λαμπρὸν μέγιστον κύκλον. ἔστω οὖν ὁ μέγιστος κύκλος ἐν τῇ σελήνῃ ὁ παρὰ τὸν διορίζοντα τό τε σκιερὸν καὶ τὸ λαμπρὸν ὁ ΗΘΚ. καὶ ἐπεὶ διχοτόμου οὔσης τῆς σελήνης ὁ μέγιστος κύκλος ὁ παρὰ τὸν διορίζοντα ἐν τῇ σελήνῃ τό τε σκιερὸν καὶ τὸ λαμπρὸν καὶ ἡ
μετέρα ὄψις ἐν ἐνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· ἡ ΑΖ. ἄρα ἐν [*]

τῷ τοῦ ΚΗΘ κύκλου ἐστὶν ἐπιπέδῳ. καὶ ἔστιν ἡ ΒΖ τῷ ΚΘΗ κύκλῳ πρὸς ὀρθάς, ὥστε καὶ τῇ ΑΖ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΖΑ γωνία. ἀλλὰ καὶ ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΖ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ Ζ σημεῖον ἐν τῷ ὑπὸ τὴν ΑΛ γωνίαν τόπῳ ἐστίν.

Λέγω ὅτι οὐδὲ ἐπὶ τῆς Α. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Μ, καὶ πάλιν ἐπεζεύχθω ἡ ΒΜ, καὶ ἔστω μέγιστος κύκλος ὁ παρὰ τὸν διορίζοντα, οὗ κέντρον τὸ Μ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσεται ἡ ὑπὸ ΒΜΑ γωνία ὀρθὴ πρὸς τὸν μέγιστον κύκλον· ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΜ · ὅπερ ἀδύατον. οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς Α τὸ κέντρον ἐστὶ τῆς
σελήνης διχοτόμου οὔσης· μεταξὺ ἄρα τῶν ΑΒ, Α ἐστίν.

Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἐντὸς τῆς Β περιφερείας. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐκτὸς κατὰ τὸ Ν, καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω. δειχθήσεται δὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΝ γωνία ὀρθή· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ. τῆς ΑΝ. ἴση δὲ ἡ ΒΑ τῇ ΑΕ· μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΑΝ· ὅπερ
ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ κέντρον τῆς σελήνης διχοτόμου οὔσης ἐκτὸς ἔσται τῆς ΒΕ περιφερείας. ὁμοίως δειχθήσεται ὅτι οὐδὲ ἐπ αὐτῆς τῆς ΒΕ περιφερείας· ἐντὸς ἄρα. ἡ ἄρα σελήνη κατώτερον φέρεται τοῦ ἡλία, καὶ διχότομος οὖσα ἔλασσον τεταρτημορίου ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἡλίου.

[*]

Τὸ ἀπόστημα ὃ ἀπέχει ὁ ἥλιος ἀπὸ τῆς γῆς τοῦ ἀποστήματος οὗ ἀπέχει ἡ σελήνη ἀπὸ τῆς γῆς μεῖζον μέν ἐστιν ἢ ὀ κτωκαιδεκαπλάσιον, ἔλασσον δὲ ἢ εἰκοσαπλάσιον.

Ἔστω γὰρ ἡλίου μὲν κέντρον τὸ Α, γῆς δὲ τὸ Β, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΒ ἐκβεβλήσθω, σελήνης δὲ κέντρον διχοτόμου οὔσης τὸ Γ, καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΑΒ. καὶ τοῦ ἐπίπεδον, καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ, καθ ἧς φέρεται τὸ κέντρον τοῦ ἡλίου, μέγιστον κύκλον τὸν ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐκβεβελήσθω ἡ ΒΓ
ἐπὶ τὸ . ἔσται δή, διὰ τὸ τὸ Γ σημεῖον κέντρον εἶναι τῆς σελήνης διχοτόμου οὔσης, ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΒΑ. πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ. ἔσται δὴ ἡ Ε. περιφέρεια τῆς ΕΑ περιφερείας λ· ὑπόκειται γάρ, ὅταν ἡ σελήνη διχότομος ἡμῖν φαίνηται, ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ ἡλίου ἔλασσον τεταρτημορίου τῷ τοῦ
τεταρτημορίου λ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΒΓ γωνία ὀρθῆς ἐστι λ. συμπεπληρώσθω δὴ τὸ ΑΕ. παραλληλόγραμμον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ. ἔσται δὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΖΒΕ γωνία ἡμίσεια ὀρθῆς. τετμήσθω ἡ ὑπὸ τῶν ΖΒΕ. γωνία δίχα τῇ Β εὐθείᾳ· ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΗΒΕ. γωνία τέταρτον μέρος ἐστὶν ὀρθῆς. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕ
γωνία λ ἐστι μέρος ὀρθῆς· λόγος ἄρα τῆς ὑπὸ τῶν ΗΒΕ γονίας πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΒΕ γωνίαν ἐστὶν ὃν ἔχει τὰ ιε πρὸς τὰ δύο· οἵων γάρ ἐστιν ὀρθὴ γωνία ξ, τοιούτων ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ τῶν ΗΒΕ ιε, ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΕ δύο. καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ τῶν ΗΒΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΒΕ [*]

γωνίαν, ἡ ἄρα ΗΕ πρὸς τὴν ΕΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ ιε πρὸς τὰ β. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΖ, καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Ε, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΖΒ τοῦ ἀπὸ ΒΕ. διπλάσιόν ἐστιν· ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ, οὕτως ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ
ἀπὸ ΗΕ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ τοῦ ἀπὸ διπλάσιόν ἐστι. τὰ δὲ μθ τῶν κε ἐλάσσονά ἐστιν ἢ διπλάσια, ὥστε τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ μθ πρὸς κε· καὶ ἡ ΖΗ ἄρα πρὸς τὴν ΗΕ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ ζ πρὸς τὰ ε· καὶ συνθέντι ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς τὴν ΕΗ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ ιβ
πρὸς τὰ ε, τουτέστιν, ἢ ὃν τὰ λϛ πρὸς τὰ ιε. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ [*] ΗΕ πρὸς τὴν ΕΘ μείζονα λόγον ἔχουσα ἢ ὃν τὰ ιε πρὸς τὰ δύο· δι ἴσου ἄρα ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΘ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ λς πρὸς τὰ δύο, τουτέστιν, ὃν τὰ ιη πρὸς α· ἡ ἄρα ΖΕ τῆς ΕΘ μείζων ἐστὶν ἢ ιη. ἡ δὲ ΖΕ ἴση ἐστὶν τῇ ΒΕ· καὶ ἡ ΒΕ ἄρα τῆς
ΕΘ μείζων ἐστὶν ἢ ιτ πολλῷ ἄρα ἡ ΒΘ τῆς ΘΕ μείζων ἐστὶν ἢ ιη. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΑΒ. πρὸς τὴν ΒΓ, διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ΒΓ μείζων ἐστὶν ιη. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΑΒ. τὸ ἀπόστημα ὃ ἀπέχει ὁ ἥλιος ἀπὸ τῆς γῆς, ἡ δὲ ΓΒ τὸ ἀπόστημα ὃ ἀπέχει ἡ σελήνη ἀπὸ τῆς γῆς· τὸ
ἄρα ἀπόστημα ὃ ἀπέχει ὁ ἥλιος ἀπὸ τῆς γῆς τοῦ ἀποστήματος, οὗ ἀπέχει ἡ σελήνη ἀπὸ τῆς γῆς, μεῖζόν ἐστιν ἢ ιη.

Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἔλασσον ἢ κ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ τῇ ΕΒ παράλληλος ἡ Κ, καὶ περὶ τὸ ΚΒ τρίγωνον κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΒ· ἔσται δὴ αὐτοῦ διάμετρος ἡ Β, διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς
τῷ Κ γωνίαν. καὶ ἐνηρμόσθω ἡ ΒΛ ἑξαγώνου. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕ γωνία λ ἐστιν ὀρθῆς, καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚ ἄρα λ ἐστιν ὀρθῆς· ἡ ἄρα ΒΚ περιφέρεια ξ ἐστιν τοῦ ὅλου κύκλου. ἔστιν δὲ καὶ ΒΛ ἕκτον μέρος τοῦ ὅλου κύκλου· ἡ ἄρα ΒΛ. περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας ι ἐστίν. καὶ ἔχει ἡ ΒΛ. περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΚ
περιφέρειαν μείζονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΛ. εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΚ εὐθεῖαν· ἡ ἄρα ΒΛ εὐθεῖα τῆς ΒΚ εὐθείας ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ι. καὶ ἔστιν αὐτῆς διπλῆ ἡ Β· ἡ ἄρα Β τῆς ΒΚ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ κ. ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν ΒΚ, ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ὥστε καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ κ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΑΒ τὸ ἀπόστημα
ἀπέχει ὁ ἥλιος ἀπὸ τῆς γῆς, ἡ δὲ ΒΓ τὸ ἀπόστημα ὃ ἀπέχει ἡ σελήνη ἀπὸ τῆς γῆς· τὸ ἄρα ἀπόστημα ὃ ἀπέχει ὁ ἥλιος ἀπὸ τῆς γῆς τοῦ ἀποστήματος, οὗ ἀπέχει ἡ σελήνη ἀπὸ τῆς γῆς, ἔλασσόν ἐστιν ἢ κ. ἐδείχθη δὲ καὶ μεῖζον ἢ ιη.

[*]

Ὅταν ὁ ἥλιος ἐκλείπῃ ὅλος, τότε ὁ οὐ τὸς κῶνος περιλαμβάνει τόν τε ἥλιον καὶ τὴν σελήνην, τὴν κορυφὴν ἔχων πρὸς τῇ ἡμετέρᾳ ὄψει.

Ἐπεὶ γάρ, ἐὰν ἐκλείπῃ ὁ ἥλιος, δι ἐπιπρόσθεσιν τῆς σελήνης ἐκλείπει, ἐμπίπτοι ἂν ὁ ἥλιος εἰς τὸν κῶνον τὸν περιλαμβάνοντα τὴν σελήνην τὴν κορυφὴν ἔχοντα πρὸς τῇ ἡμετέρᾳ ὄψει. ἐμπίπτων δὲ ἤτοι ἐναρμόσει εἰς αὐτόν, ἢ ὑπεραίροι, ἢ ἐλλείποι· εἰ μὲν οὖν ὑπεραίροι, οὐκ ἂν ἐκλείποι ὅλος, ἀλλὰ παραλλάττοι αὐτοῦ τὸ
ὑπεραῖρον. εἰ δὲ ἐλλείποι, διαμένοι ἂν ἐκλελοιπὼς ἐν ὅσῳ διεξέρχεται τὸ ἐλλεῖπον. ὅλος δὲ ἐκλείπει καὶ οὐ διαμένει ἐκλελοιπώς· τοῦτο γὰρ ἐκ τῆς τηρήσεως φανερόν. ὥστε οὔτ ἂν ὑπεραίροι, οὔτε ἐλλείποι. ἐναρμόσει ἄρα εἰς τὸν κῶνον, καὶ περιληφθήσεται ὑπὸ τού κώνου τοῦ περιλαμβάνοντος τὴν σελήνην τὴν κορυφὴν ἔχοντος
πρὸς τῇ ἡμετέρᾳ ὄψει.

Ἡ τοῦ ἡλίου διάμετρος τῆς διαμέτρου τῆς σελήνης μείζων μέν ἐστιν ἢ ιη, ἐλάσσων δὲ ἢ κ.

Ἔστω γὰρ ἡ μὲν ἡμετέρα ὄψις πρὸς τῷ Α, ἡλίου δὲ κέντρον τὸ
Β, σελήνης δὲ κέντρον τὸ Γ, ὅταν ὁ περιλαμβάνων κῶνος τόν τε ἥλιον καὶ τὴν σελήνην τὴν κορυφὴν ἔχῃ πρὸς τῇ ἡμετέρᾳ ὄψει, τουτέστιν, ὅταν τὰ Α, Γ, Β σημεῖα ἐπ εὐθείας ᾖ, καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΑΓΒ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ τομάς, ἐν μὲν ταῖς σφαίραις [*] [*]

μεγίστους κύκλους, ἐν δὲ τῷ κώνῳ εὐθείας. ποιείτω οὖν ἐν μὲν ταῖς σφαίραις μεγίστους κύκλους τοὺς ΖΗ, ΚΛΘ, ἐν δὲ τῷ κώνῳ εὐθείας τὰς ΑΖΘ, ΑΗΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, ΒΚ. ἔσται δή, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, ἡ ΒΚ. πρὸς ΓΗ. ἡ δὲ ΒΑ τῆς ΑΓ
ἐδείχθη μείζων μὲν ιη, ἐλάσσων δὲ κ. καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῆς Γ. μείζων μέν ἐστιν ἢ ιη, ἐλάσσων δὲ ἢ κ.