Dioptra (26-27)

[*]

κς. Τὸ δοθὲν χωρίον διελεῖν διὰ τοῦ δοθέντος σημείου εἰς τὰ δοθέντα μέρη. ἔστω δὲ τὸ δοθὲν σημεῖον ὥσπερ ὕδρευμα, ἢ ὡς πάντες οἱ τὰς διαιρέσεις λαβόντες τῷ αὐτῷ χρῶνται ὕδατι. ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ Γ,
Ε, ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΑ· ἐὰν γὰρ μὴ ὦσιν αἱ τὸ χωρίον περιέχουσαι εὐθεῖαι, ἀλλʼ ἄτακτός τις γραμμή, ληψόμεθα ἐπʼ αὐτῆς συνεχῆ σημεῖα, ὥστε τὰς μεταξὺ αὐτῶν σύνεγγυς εὐθείας εἶναι. τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἔστω τὸ Μ, καὶ δέον ἔστω διελεῖν
εἰς ἑπτὰ ἴσα μέρη τὸ χωρίον διὰ τοῦ Μ σημείου. ἤχθω ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἡ ΜΝ διὰ τῆς διόπτρας, [*] [*] [*]

ὥστʼ ἐὰν νοήσωμεν ἐπιζευχθείσας τὰς ΜΑ, ΜΒ, δυνατὸν ἔσται μετρεῖν τὸ ΑΜΒ τρίγωνον. τὸ γὰρ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΜΝ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΒΜ τριγώνου. [*] δυνατὸν δέ ἐστι μετρῆσαι, ὡς προγέγραπται, καὶ ὅλον τὸ χωρίον. εὶ μὲν οὖν τὸ ΑΒΜ τρίγωνον ἕβδομον
μέρος ἐστὶν τοῦ ὅλου χωρίου, ἔσται τὸ ΑΒΜ τρίγωνον ἓν τῶν μερῶν· εἰ δὲ μεῖζον, ἀφελεῖν δεῖ ἀπʼ αὐτοῦ, διαγαγόντα τὴν ΜΞ, καὶ ποιεῖν τὸ ΑΜΞ τρίγωνον ἴσον τῷ ἑβδόμῳ μέρει τοῦ ὅλου χωρίου· εἰ δὲ μεῖόν ἐστι τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τοῦ ἑβδόμου, δεήσει ἀπὸ τοῦ
ΒΓΜ τριγώνου ἀφελεῖν τὸ ΒΜΟ τρίγωνον, ὃ, μετὰ τοῦ ΑΜΒ τριγώνου, ἕβδομον ἔσται μέρος τοῦ ὅλου χωρίου· ὡς δεῖ δὲ ἀφελεῖν τρίγωνον ἢ προσθεῖναι, ἑξῆς δείξομεν. οὕτως οὖν καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριγώνων ἐπιλογιζόμενοι διεξελοῦμεν τὸ χωρίον εἰς τὰ
δοθέντα μέρη ἀπὸ τοῦ Μ σημείου.

κζ. Τὺ δοθὲν χωρίον μετρῆσαι μὴ εἰσελθόντα εἰς τὸ χωρίον, ἤτοι διὰ φυτείας πυκνότητα ἢ διὰ οἰκοδομημάτων ἐμποδισμὸν ἢ διὰ τὸ μὴ ἐξεῖναι εἰς τὸ χωρίον εἰσιέναι. ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον περιεχόμενον
ὑπὸ εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ, Γ, Ε, ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΑ. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΗ, ΘΗ ἐπὶ τὰ [*] ἐκτὸς τοῦ χωρίου μέρη, ἤτοι διὰ κανόνων ἢ σπάρτου· καὶ τῆς μὲν ΖΗ μέρος τι κείσθω ἡ ΗΚ, τῆς δὲ ΘΗ [*] τὸ αὐτὸ μέρος ἡ ΗΛ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ· ἔσται δὴ
καὶ ἡ ΚΛ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΘΖ. καὶ ὃν λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει καὶ τὸ ΖΗΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΚΛ τρίγωνον, διὰ τὸ παράλληλον γίνεσθαι τὴν ΘΖ τῇ [*]

ΚΛ· οἷον, εἰ τύχοι, εἰ πενταπλασία ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΗΚ, ἔσται τὸ ΖΗΘ τρίγωνον πεντεκαιεικοσαπλάσιον τοῦ ΗΚΛ τριγώνου. δυνατὸν δὲ μετρῆσαι τὸ ΗΚΑ τρίγωνον, ἐπειδήπερ ἔχω τὰς πλευρὰς αὐτοῦ· τοῦτο γὰρ ἑξῆς δείξομεν· δυνατὸν οὖν καὶ τοῦ ΖΗΘ τριγώνου
τὸ ἐμβαδὸν πορισθῆναι. ἐὰν οὖν νοήσωμεν ἐπιζευχθείσας τὰς ΘΖ, ΘΕ, Θ, ΘΓ, ΘΒ, καὶ εὕρωμεν ἑκάστου τῶν ΘΕΖ, ΘΕ, ΘΓ, ΘΓΒ, ΘΒΑ τριγώνων τὸ ἐμιβαδὸν, ἔστιν καὶ ὅλου τοῦ χωρίου τὸ ἐμβαδὸν πεπορισμένον. ἐκβεβλήσθω ἡ
ΗΖ ἐπὶ τὸ Μ, καὶ κείσθω τῇ ΗΚ ἴση ἡ ΖΜ· καὶ ἐπὶ τῆς ΖΜ σχοινίῳ κεκλάσθωσαν αἱ ΖΝ, ΝΜ, ὥστʼ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΖΝ τῇ ΚΛ, τὴν δὲ ΝΜ τῇ ΗΛ· ἔσται δὴ ἡ ΖΜ τῇ ΗΖ καὶ ἡ ΝΖ τῇ ΖΘ ἐπʼ εὐθείας. ἐκβεβλήσθω δὴ καὶ ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Ξ· καὶ τῆς
μὲν ΕΖ μέρος ἔστω ἡ ΖΞ, τῆς δὲ ΘΖ τὸ αὐτὸ μέρος ἡ ΖΟ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΟ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΞΟ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΘΕ καὶ παράλληλος αὐτῇ. καὶ ἔστι ὡς τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΞ τὸ ΕΘΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΞΖΟ τρίγωνον· δυνάμεθα δὲ πορίσασθαι τὸ
ΞΖΟ, ἐπειδήπερ ἑκάστην τῶν πλευρῶν αὐτοῦ δυνατόν ἐστιν μετρῆσαι· ὥστε καὶ τὸ ΞΘΖ τρίγωνον πορίσασθαι δυνατόν ἐστιν. ὁμοίως δὴ καὶ ἑκάστου τῶν λοιπῶν τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν ποριούμεθα· ὥστε καὶ τοῦ ὅλου χωρίου δυνατόν ἐστιν τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι.