Dioptra (18-19)

[*]

ιη. Ἕδαφος κυρτῶσαι, ὥστε σφαιρικὴν ἔχειν ἐπιφάνειαν
πρὸς τὸ δοθὲν τμῆμα. ἔστω ὁ δοθεὶς τόπος ὁ ΑΒΓ μέσον δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Ε. διὰ δὲ τοῦ Ε σημείου διήχθωσαν εὐθεῖαι διὰ τῆς διόπτρας οὖσαι ἐν τῷ ἐδάφει, ὁσαιδηποτοῦν, αἱ ΑΓ Β, ΖΗ, ΚΘ, ἐφʼ ὧν πάσσαλοι ἐγκεκρούσθωσαν ὀρθοί. ὡς δʼ ἂν
ἐπὶ μιᾶς ὑποδείξομεν, οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν νοείσθω εὐθειῶν. πεπασσαλοκοπήσθω οὖν ἡ Β τοῖς ΛΜ, [*] [*]

ΝΞ, ΟΠ, PΣ, ΤΥ πασσάλοις· τὸ δὲ τῆς διόπτρας τύμπανον ἔστω τὸ ΦΧΨ, ὅμοιον τῷ τῆς κυρτώσεως τμήματι· καὶ πάλιν καθεστάτω ὀρθῶς πρὸς τὸν ὁρίζοντα, ὥστε κανόνος ὁμοίως παρατεθέντος τοῦ Ωϛ, τὰς ἀπὸ τοῦ Ω ἐπὶ τὰ Φ, Ψ ἐπιζευγνυμένας ἀκτῖνας καὶ
ἐκβαλλομένας νεύειν ἐπὶ Β, σημεῖα. εἶτα διὰ τοῦ Ω πάλιν καὶ τῆς ΦΧΨ περιφερείας τεθεωρήσθω ἐπὶ τῶν πασσάλων σημεῖα τὰ Μ, Ξ, Π, Σ, Υ· ταῦτα δὲ ἔσται ἐπὶ τοῦ τμήματος τῆς κυρτώσεως. καὶ ἐπὶ τῶν [*] λοιπῶν δὲ εὐθειῶν ἡ αὐτὴ πασσαλοκοπία καὶ διοπτρεία
γεγενήσθω, καὶ ληφθέντων ἐν τοῖς πασσάλοις σημείων ἐγχωννύσθω ὁ τόπος ἄχρι τῶν ληφθέντων σημείων καὶ ἔσται ἡ κύρτωσις τοῦ τόπου σφαιρικὴ ὁμοία τῷ εἰρημένῳ τμήματι.

ιθ. Ἔδαφος ἐγκλῖναι ἐν δοθείσῃ γωνίᾳ, ὥστε τὸ
κλίμα αὐτοῦ ἐφʼ ἓν νεύειν σημεῖον δοθέντος ἀκλινοῦς τόπου ἐν παραλληλογράμμῳ ἰσοπλεύρῳ.

Ἔστω παραλληλόγραμμον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ γωνία, ἐν ᾗ βουλόμεθα ἐγκλῖναι τὸ ἔδαφος, ἡ ὑπὸ ΕΖΗ. ἀπὸ
δὲ τῶν Α, Β, σημείων τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτωσαν
αἱ ΑΘ, ΒΚ, Λ· τὸ δὲ Γ σημεῖον ἔστω, ὅπου βουλόμεθα τὴν κλίσιν νεύειν. καὶ τῇ ΑΓ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, τῇ δὲ [*]

ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΗ· τῇ δὲ ΕΗ ἴση κείσθω ἡ ΑΘ· καὶ τῇ ΑΓ προσευρήσθω ἡ ΑΘ, ἐν τῷ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΕ λόγῳ καθέτου οὔσης τῆς ΕΗ. ἐὰν δὴ [*] νοήσωμεν ἐπιζευγνυμένην τὴν ΘΓ, ἔσται ἡ ὑπὸ ΘΓΑ γωνία κλίσις. ἔστω δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ
κάθετος ἡ ΒΜ· καὶ τῇ ΓΜ ἴση κείσθω ἡ ΖΝ, τῇ δὲ ΗΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ, τῇ δὲ ΝΞ ἴση κείσθω ἑκατέρα [*] τῶν ΒΚ, Λ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΚ, ΚΓ, ΓΑ, ΛΘ. ἔσται δὴ τὸ ΘΚΓΛ ἐπίπεδον κεκλιμένον πρὸς τὸ ΑΒΓ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΓΑ γωνίᾳ, τουτέστι
τῇ ὑπὸ ΕΖΗ. ἐὰν γὰρ νοήσωμεν τῇ ΑΘ παράλληλον γινομένην τὴν ΜΟ, καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΟΚ πίπτουσαν ἐπὶ τὸ Λ, ἡ μὲν ΜΟ ἴση ἔσται τῇ ΝΞ. ἡ δὲ ΚΟ ἴση καὶ παράλληλος τῇ ΒΜ, πρὸς ὀρθὰς δὲ τῇ ΘΓ· ὥστε κέκλιται, ὡς εἴρηται, τὸ ἐπίπεδον.
ἐὰν δὲ ὁ τόπος ὁ δοθεὶς ἐν τυχόντι ᾖ τετραπλεύρῳ, ὥστε τὰς διαγωνίους αὐτοῦ μὴ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις εἶναι, τῆς ΒΜ πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῇ ΑΓ, ἴσην θήσομεν τὴν ΞΝ, τῇ δὲ ΞΝ τὴν ΒΚ, ὡς εἴρηται, ἀπὸ τοῦ Β κάθετον ἀγαγόντες ἐπὶ τὴν ΑΓ. καὶ ταὐτὰ
ποιήσαντες τοῖς ἐπὶ τῆς ΒΜ, ποριούμεθα τὸ μέγεθος τῆς Λ. ἐγχωσθήσεται οὖν ὁ τόπος ἄχρι τῶν ΘΚ, ΚΓ, ΓΛ, ΛΘ εὐθειῶν· καὶ τὸ ἐπίπεδον ἀπεργασθὲν ἕξει τὴν εἰρημένην ἔγκλισιν.