Dioptra (11-15)

ια. Τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγεῖν ἀπὸ τοῦ πέρατος αὐτῆς, μὴ προσεγγίσαντα μήτε τῇ εὐθείᾳ μήτε τῷ πέρατι. ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ἐπὶ τὰ Α, Β σημεῖα ἐπιζευγνυμένη· ἀφʼ οὗ δὲ δεῖ τὴν πρὸς ὀρθὰς
[*] ἀγομένην εὑρεῖν, ἔστω τὸ Α. εὑρήσθω ἡ θέσις τῆς ΑΒ ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς τόποις, ὡς ἐμάθομεν· καὶ ἔστω ἡ Γ εὐθεῖα. παράγω οὖν τὴν διόπτραν ἐπὶ τῆς Γ εὐθείας διατηρῶν τὸν κανόνα ἀεὶ ἀποβλέποντα σημείῳ τινὶ τῶν ἐπὶ τῆς Γ, ἄχρις ἂν ἐπιστραφεὶς ἐπὶ τὴν
πρὸς ὀρθὰς θέσιν ἴδῃ τὸ Α σημεῖον. τετυχέτω οὖν ἡ διόπτρα πρὸς τὸ Ε σημεῖον· ἔσται δὴ πρὸς ὀρθὰς εἶναι τὴν ΑΕ.

ιβ. Σημείου ὁρωμένου εὑρεῖν τὴν ἀπʼ αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον
[*] [*]

ιγ. Δύο σημείων ὁρωμένων εὑρεῖν τὴν ἀπὸ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ἑτέρου ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι μὴ προσεγγίσαντα τοῖς εἰρημένοις δύο σημείοις τοῖς Α, Β.

Δυνατὸν ἄρα ἐστὶν, ὡς ἐπάνω δέδεικται, ἐπιγνῶναι τὴν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι· νοείσθω κατὰ τῆς ΓΑ. ὁμοίως δὴ πεπορίσθω καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι· καὶ ἔστω ἡ Β. καὶ διὰ τοῦ Α τῇ Γ παράλληλος νοείσθω ἡ ΑΕ, καὶ τεμνέτω τὴν Β κατὰ τὸ Ε ἡ ἄρα ζητουμένη κάθετός ἐστιν ἡ ΒΕ. καὶ ἔστιν φανερὸν ὅτι δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν δύο ὁρωμένων σημείων τὴν ἐπιζευγνύουσαν [*] αὐτὰ εὐθεῖαν ἡλίκη ἐστίν, ἐπειδήπερ δοθεῖσά ἐστιν [*]

Δύο δοθέντων σημείων εὑρεῖν τὴν θέσιν τῆς ἐπιζευγνυούσης αὐτὰ εὐθείας, μὴ προσεγγίσαντα τοῖς σημείοις.

ἔστω τὰ δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β· δυνατὸν ἄρα ἐστὶ τὴν τοῦ διὰ τῶν Α, Β ἐκβαλλομένου ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸν ὁρίζοντα τὴν θέσιν εὑρεῖν, ὡς ἐμάθομεν ἐν τοῖς ἔμπροσθεν· τουτέστιν καθέτου ἀχθείσης ἀφʼ ἑκατέρου τῶν σημείων Α, Β ἐπὶ τὸ παρὰ τὸν
ὁρίζοντα ἐπίπεδον, δοθεισῶν τῶν ΑΓ, Β , τὴν θέσιν τῆς Γ εὑρεῖν. ηὑρήσθω καὶ ἔστω ἡ ΗΖ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ Γ παράλληλος ἡ ΑΕ ἔστω, ἣ καὶ τῇ ΗΖ παράλληλός ἐστι, καὶ δοθεῖσα ἔσται λοιπὴ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΒΕ, ὡς προδέδεικται. εἰλήφθω δὴ
ἐπὶ τῆς ΗΖ δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Η, Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἀνεστάτω τις ὀρθὴ πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἡ ΖΘ κανόνος παρατεθέντος ἢ ἑτέρου τινός. παράλληλος ἄρα ἐστὶ τῇ Β· καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΗΖ πρὸς ΖΘ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ παράλληλος ἔσται
τῇ ΑΒ· τοῦτο γὰρ φανερὸν διά τε τὰς παραλλήλους [*] [*] [*] [*]

Ἐκ δὴ τῶν προδεδιδαγμένων φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστιν, ὄρους ὑπάρχοντος, εὑρεῖν τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον
ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, μὴ προσεγγίσαντα τῷ ὄρει, καὶ τὴν ἀφʼ οἱουδηποτοῦν σημείου κειμένου ἐν τῷ ὄρει καὶ ὁρωμένου τὴν ἀγομένην κάθετον εὑρεῖν· ἐπειδήπερ ἐμάθομεν τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ὁρωμένου κάθετον πορίσασθαι, καὶ ὁμοίως δυνατὸν ἦν
τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ὁρωμένου ἐν τῷ ὄρει κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἑτέρου σημείου ἐν τῷ [*] ὄρει κειμένου καὶ ὁρωμένου ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι. ἁπλῶς γὰρ δύο σημείων δοθέντων οἱωνδηποτοῦν τὰ αὐτὰ ἐμάθομεν πορίσασθαι,
[*] τουτέστιν τάς τε ἀγομένας ἀπʼ αὐτῶν καθέτους καὶ τὸ μεταξὺ αὐτῶν διάστημα τό γε πρὸς διαβήτην, καὶ ὡς ἔχει θέσεως, μὴ προσιόντα τοῖς σημείοις.

ιδ. Ὀρύγματος δοθέντος τὸ βάθος λαβεῖν· τουτέστι τὸ μέγεθος τῆς ἀπὸ τοῦ ἐν τῷ βάθει σημείου καθέτου
ἀγομένης ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, ἢ καὶ ἔτι ἐπὶ τὸ διʼ ἑτέρου ημείου ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι.

ἔστω τὸ δοθὲν ὄρυγμα τὸ ΑΒ Γ τὸ δʼ ἐν τῷ βάθει αὐτοῦ σημεῖον τὸ Β. κείσθω δὴ ἡ διόπτρα
πρὸς τῷ , ἢ πρὸς ἄλλῳ τινὶ σημείῳ· ἔστω δὴ πρὸς τῷ Ε, καὶ ἔστω ΕΖ ὁ δὲ ἐν αὐτῇ κανών, διʼ οὗ διοπτεύομεν, ὁ ΗΘ ἐγκλινέσθω οὖν, ἕως οὗ φανῇ διʼ αὐτοῦ [*]

ιε. Ὄρος διορύξαι ἐπʼ εὐθείας τῶν στομάτων τοῦ [*] ὀρύγματος ἐν τῷ ὄρει δοθέντων. νενοήσθω τοῦ ὄρους ἕδρα ἡ ΑΒΓ γραμμὴ, τὰ δὲ στόματα, διʼ ὧν δεῖ
ὀρύξαι, τὰ Β, . ἤγαγον εὐθεῖαν ἀπὸ τοῦ Β ἐν τῷ ἐδάφει τὴν ΒΕ, ὡς ἔτυχεν· καὶ ἀπὸ τυχόντος τοῦ Ε τῇ ΒΕ πρὸς ὀρθὰς ἤγαγον τὴν ΕΖ διὰ τῆς διόπτρας· καὶ ἔτι ἀπὸ τοῦ τυχόντος διὰ τῆς διόπτρας πρὸς. ὀρθὰς ἤγαγον τὴν ΖΗ. καὶ πάλιν ἀπὸ τυχόντος
τοῦ Η, τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΗΘ καὶ ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Θ, τῇ ΘΗ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΚ, καὶ τῇ ΘΚ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΚΛ. καὶ παραφέρω τὴν διόπτραν ἐπὶ τῆς ΚΛ εὐθείας διατηρῶν τὸν κανόνα οβλέποντα σημείῳ τινὶ τῶν ἐπὶ τῆς ΚΛ, ἄχρις