Liber assumptorum (6-10)

Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, καὶ γραφέωντι ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, τραφῇ δὲ ἐν τῷ ἀρβήλῳ κύκλος ἐπιψαύων τῶν τριῶν ἁμικυκλίων, τὸν λόγον τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγραφέντος κύκλου εὑρεῖν.

ΑΒΓ, σαμεῖον δὲ τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου τὸ καὶ πεποιήσθω οὕτως, ὥστε τὸ μεῖζον τμᾶμα τὸ Α ἐλάσσονος τοῦ Γ ἁμιόλιον εἶμεν, καὶ ἀπὸ τμαμάτων τῶν Α, Β ἀναγεγράφθων ἁμικύκλια,

γεγράφθω δὲ ἐν τῷ ἀρβήλω κύκλος ὁ ΕΖ ἐπιψαύων τῶν τριῶν ἁμικυκλίων, καὶ ἄχθω διάμετρος αὐτοῦ παρὰ τὰν ΑΓ ἁ ΕΖ. Εὑρεῖν τὸν λόγον διαμέτρου τᾶς ΑΓ ποτὶ διάμετρον τὰν ΕΖ.

Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ εὐθεῖαι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΒ· εὐθεῖαι δή ἐντι αἱ ΑΒ, ΓΒ, ὡς ἐν τοῖς πρότερον ἐδείχθη. Ἐπεζεύχθωσαν ἔτι αἱ ΖΗΑ, ΕΘΓ δείκνυνται δὴ αὗται εὐθεῖαι οὖσαι ἔτι δὲ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Ε, Ζ, καὶ αἱ Ι, Λ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΜ, ΖΝ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ο, Ρ σαμεῖα.

Ἐπεὶ οὖν ἐν τριγώνῳ τῷ ΑΕ ἁ ΑΗ τᾷ Ε ποτʼ ὀρθάς ἐστιν, καὶ ἁ Ι τᾷ ΑΕ, τέμνοντι δὲ ἀλλάλας κατὰ τὸ Μ σαμεῖον, ἁ ΕΜΟ τᾷ ΑΓ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς, ὡς παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τριγώνων ἐδείχθη καὶ τῷ πρότερον ὑπέκειτο· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἁ ΖΝΡ τᾷ ΓΑ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς· ἔστι δὲ εὐθεῖα ἁ Λ παρὰ τὰν ΑΒ καὶ ἁ Ι παρὰ τὰν ΓΒ· ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει

ἁ Α ποτὶ τὰν Γ, ὃν ἔχει ἁ ΑΜ ποτὶ τὰν ΜΖ, τουτέστιν ἁ ΑΟ ποτὶ τὰν καὶ ἁ Γ ποτὶ τὰν Α τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει, ὃν ἔχει ἁ ΓΝ ποτὶ τὰν ΝΕ, τουτέστιν ἁ ΓΡ ποτὶ τὰν ΡΟ· ἦν δὲ ἁ Α ἁμιόλιος τᾶς Γ· καὶ ἁ ΑΟ ἄρα τᾶς ΟΡ ἐστὶν ἁμιόλιος, καὶ ἁ ΟΡ τᾶς ΓΡ· εὐθεῖαι ἄρα αἱ ΑΟ, ΟΡ, ΡΓ ἑξῆς ἀνάλόγον ἐντι, ἇν ἁ μὲν ΡΓ ἴσα γίνεται τέσσαρα, ἁ δὲ ΟΡ ἕξ, ἁ δὲ ΑΟ ἐννέα, ἁ δὲ ΓΑ ἐννεακαίδεκα. Ἔστι δὲ ἁ ΡΟ τᾷ ΕΖ ἴσα ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΕΖ, ὃν ἔχει τὰ ἐννεακαίδεκα ποτὶ τὰ ἕξ· καί ἐστιν ἁ ΑΓ διάμετρος ἁμικυκλίου τοῦ ΑΒΓ, ἁ δὲ ΕΖ κύκλου τοῦ ΕΒΖ· εὑρέθη ἄρα ὁ αἰτούμενος λόγος. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται εἴ κα ὁ λόγος τᾶς διαμέτρου τοῦ δοθέντος ἁμικυκλίου ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ ἐγγραφέντος κύκλου ἐπιμόριος ᾖ.

Ὁ τετραγώνῳ περιγεγραμμένος κύκλος διπλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐστίν.

Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒ περὶ τετράγωνον τὸ ΑΒ καὶ ἐν αὐτῷ ἐγγεγραμμένος κύκλος ὁ Γ, διάμετρος δὲ τοῦ περιγεγραμμένου κύκλου καὶ τοῦ τετραγώνου ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ ἐγγεγραμμένου κύκλου ἁ Γ παρὰ τὰν ΑΕ· φαμὶ Et δή, ὁ περιγεγραμμένος κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐστὶ διπλασίων.

Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τᾶς Γ, οἱ κύκλοι δὲ ἐντι ὡς τὰ

ἀπὸ τᾶν διαμέτρων αὐτῶν τετράγωνα, ἐσσεῖται ἄρα καὶ ὁ περιγεγραμμένος κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου διπλασίων· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.

Εἴ κα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις ΑΒ προσαρμοσμένα ᾖ, ἐκβληθῇ δὲ κατὰ τὸ Γ σαμεῖον, ὥστε τὰν ΒΓ εὐθεῖαν τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσαν εἶμεν, διαχθῇ δὲ εὐθεῖά τις ἀπὸ τοῦ Γ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐπὶ τὸ Ε σαμεῖον, ἐσσεῖται περιφέρεια ἁ ΑΕ περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων.

Ἄχθω γὰρ ἁ ΕΗ παρὰ τὰν ΑΒ καὶ ἐπεζεύχθων αἱ Β, Η. Ἐπεὶ οὖν γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΓ, ΒΓ, ΕΗ, ΗΕ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνία δὲ ἁ ὑπὸ ΓΗ γωνίας τᾶς ὑπὸ ΕΗ ἐστὶ διπλασίων,

ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΒΗ γωνίας τᾶς ὑπὸ ΒΓ τριπλασίων. Ἐσσεῖται ἄρα περιφέρεια ἁ ΒΗ, τουτέστιν ἁ ΑΕ, περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.

Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, δύο αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι δυσὶ ταῖς ἀπεναντίον ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ τέμνουσαι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθάς, μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι· φαμὶ δή, δύο αἱ

ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ Α, ΓΒ δυσὶ ταῖς ἀπεναντίον ταῖς ΑΓ, Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.

Τετμάσθω γὰρ δίχα ἁ Γ κατὰ τὸ H σαμεῖον καὶ διὰ τοῦ H διάχθω διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΕΖ παρὰ τὰν ΑΒ.

Ἐπεὶ οὖν περιφέρεια ἁ ΕΓ περιφερείαις ταῖς ΕΑ, Α ἴσα ἐστίν, ἐσσοῦνται ἄρα περιφέρειαι αἱ ΓΖ, ΕΑ, Α ἁμικυκλίῳ ἴσαι· ἔστι δὲ περιφέρεια ἁ ΕΑ περιφερείᾳ τᾷ ΒΖ ἴσα· συναμφότερος ἄρα περιφέρεια ἁ ΓΒ, Α ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα· λοιπὴ ἄρα περιφέρεια ἁ ΑΓ, Β ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.

Εἴ κα ᾖ κύκλος καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ Α, Γ ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ Α, Γ σαμεῖα, τέμνουσα δὲ εὐθεῖα ἁ Β, ἀχθῇ δὲ ἁ ΕΓ παρὰ τὰν Β, ἐπιζευχθῇ δὲ ἁ ΕΑ τέμνουσα τὰν Β κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ποτʼ

ὀρθὰς τᾷ ΕΓ ἀχθῇ ἁ ΖΗ, ἁ ἀγμένα τὰν ΕΓ δίχα τέμνει.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΑΓ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ Α ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν, ἁ δὲ ΑΓ τέμνουσα αὐτόν, γωνία ἁ ὑπὸ ΑΓ τᾷ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμάματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΕΓ, τουτέστι τᾷ ὑπὸ ΑΖ, ἐστὶν ἴσα. Ἔστι γὰρ ἁ ΓΕ παρὰ τὰν Β. Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΑΖ, ΑΘ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΖ, ΘΑ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνία δὲ ἁ πρὸς τῷ κοινά, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ, Θ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τᾶς Α, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς Γ τετραγώνῳ, ἐστὶν ἴσον ἐπεὶ οὖν ὃν λόγον ἔχει ἁ Ζ ποτὶ τὰν Γ, τοῦτον ἔχει καὶ ἁ Γ ποτὶ τὰν Θ, γωνία

δὲ ἁ ποτὶ τὸ σαμεῖον κοινά ἐστιν, τρίγωνα ἄρα τὰ ΖΓ, ΓΘ ἐστὶν ὅμοια καὶ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΖΓ, ΓΘ, ΑΘ, ΑΖ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί· ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΖΓ τᾷ ὑπὸ ΖΓΕ ἴσα· ἦν δὲ καὶ ἁ ὑπὸ ΖΑ τᾷ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσα ἐν δυσὶ τριγώνοις ἄρα τοῖς ΕΗΖ, ΓΗΖ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΕΖ, ΗΓΖ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντὶ καὶ αἱ ποτὶ τῷ Η σαμείῳ γωνίαι ὀρθαί· ἔστι ὲ πλευρὰ ἁ ΗΖ κοινά ἔστιν ἄρα ἁ ΕΗ τᾷ ΗΓ ἴσα· δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.