Ad Eratosthenem methodus (9-13)

Παντὸς τμήματος σφαίρας τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν ἐπὶ τῆς εὐθείας, ἥ ἐστιν ἄξων τοῦ τμήματος, διῃρημένης

οὕτως ὥστε τὸ μέρος αὐτῆς τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ τμήματος πρὸς τὸ λοιπὸν τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερον ὅ τε ἄξων τοῦ τμήματος καὶ ἡ τετραπλασία τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῷ ἀντικειμένῳ τμήματι
πρὸς συναμφότερον τόν τε ἄξονα τοῦ τμήματος καὶ τὴν διπλασίαν τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῷ ἀντικειμένῳ τμήματι ἐμπεριεχομένου.⋯ ⋯τοῦ δὲ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἐπιπέδου ἡ Β, ἡ δὲ ΓΑ
εὐθεῖα διάμετρος ἔστω ὀρθὴ πρὸς τὴν Β καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Η σημεῖον ὥστε τοῦ τμήματος, οὗ κορυφὴ τὸ Α σημεῖον, ἄξων ἔσται ἡ ΑΗ, τοῦ δὲ ἀντικειμέν ου ἄξων ἡ ΗΓ. Τετμήσθω δὲ ἡ ΑΗ κατὰ τὸ Χ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΧ πρὸς ΧΗ, οὕτως τήν
τε ΑΗ καὶ τὴν τετραπλασίαν τῆς ΗΓ πρὸς τὴν ΑΗ καὶ τὴν διπλασίαν τῆς ΗΓ. Λέγω ὅτι τοῦ τμήματος, οὗ κορυφὴ τὸ Α σημεῖον, κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶ τὸ Χ⋯ φοτέροις ⋯ τμημ⋯, οὗ κορυφὴ⋯ σημεῖον ⋯ ΗΑ ⋯ ἐχ ⋯
⋯ τὴν Η. Λόγον⋯ κέντρον⋯ ⋯ Χ. εἰ ⋯ τμήθη ⋯ ρ ⋯ χηματ ⋯ μει⋯ ω ⋯ ἐν δὴ ⋯ τερ ⋯ καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΑΘ καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴση ἡ ΓΞ, καὶ νοείσθω ζυγὸς ἡ ΓΘ, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α, γεγράφθω δὲ καὶ κύκλος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τῷ ἀποτέμνοντι τὸ τμῆμα κέντρῳ μὲν τῷ Η, διαστήματι
δὲ τῷ ἴσῳ τῇ ΑΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τούτου γεγράφθω κῶνος κορυφὴν ἔχων τὸ Α σημεῖον, πλευραὶ δὲ ἔστωσαν τοῦ κώνου αἱ ΑΕ, ΑΖ, καὶ ἤχθω τις τῇ ΕΖ παράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμβαλλέτω τῇ μὲν περιφερείᾳ τοῦ τμήματος κατὰ τὰ Κ, Λ, ταῖς δὲ τοῦ ΑΕΖ κώνου πλευραῖς κατὰ τὰ
Ρ, Ο, τῇ δὲ ΑΓ κατὰ τὸ Π. Ἐπεὶ δή ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΑΠ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΠ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ ΚΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΠ, ΠΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΠ τὸ ἀπὸ ΠΟ, ἐπεὶ καὶ τῷ ἀπὸ ΑΗ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἐστὶν ἴσον, ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΠ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΚΠ, ΠΟ πρὸς τὸ
ἀπὸ ΟΠ. Ὡς δὲ τὰ ἀπὸ ΚΠ, ΠΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΟ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΘ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΠ, οὕτως ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ
κύκλος πρὸς τὸν περὶ τὴν ΟΡ. Ἐπεὶ οὖν ὡς οἱ περὶ διαμέτρους τὰς ΚΛ, ΟΡ κύκλοι πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς ΠΑ, μετακείσθω ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ κύκλος καὶ κείσθω τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ
πρὸς ΑΠ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ αὐτοῦ μένοντες πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΟΡ μετενεχθέντα καὶ τεθέντα τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ· ἰσόρροποι ἄρα οἱ κύκλοι ὅ τε ἐν τῷ τμήματι τῷ
ΒΑ καὶ ὁ ἐν τῷ ΑΕΖ κώνῳ τῷ ἐν τῷ ΑΕΖ κώνῳ περὶ τὸ Α. Ὁμοίως δὲ καὶ πάντες οἱ κύκλοι οἱ ἐν τῷ ΒΑ τμήματι καὶ ἐν τῷ ΑΕΖ κώνῳ αὐτοῦ μένοντες κατὰ τὸ Α σημεῖον ἰσόρροποι πᾶσι τοῖς κύκλοις τοῖς ἐν τῷ ΑΕΖ κώνῳ μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ,
ὥστε κέντρον εἶναι αὐτῶν τοῦ βάρους τὸ Θ· ὥστε καὶ τὸ ΑΒ τμῆμα τῆς σφαίρας καὶ ὁ ΑΕΖ κῶνος ἰσορροπεῖ περὶ τὸ Α σημεῖον αὐτοῦ μένοντα τῷ ΕΑΖ κώνῳ μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. Ἔστω δὲ τῷ κώνῳ τῷ
βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον, ἴσος κύλινδρος ὁ ΜΝ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΗ κατὰ τὸ Φ, ὥστε τετραπλασίαν εἶναι τὴν ΑΗ τῆς ΦΗ· τὸ Φ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρους τοῦ ΕΑΖ κώνου· τοῦτο γὰρ προγράφεται. Καὶ
τετμήσθω ἔτι ὁ ΜΝ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τέμνοντι πρὸς ὀρθάς, ὥστε τὸν Μ κύλινδρον ἰσορροπεῖν τῷ ΕΑΖ κώνῳ. Ἐπεὶ οὖν ἰσόρροπος ὁ ΕΑΖ κῶνος καὶ τὸ ΑΒ τμῆμα αὐτοῦ μένοντα τῷ ΕΑΖ κώνῳ μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ
τοῦ βάρους τὸ Θ, καί ἐστιν τῷ ΕΑΖ κώνῳ ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος, καὶ κεῖται ἑκάτερος τῶν Μ, Ν κυλίνδρων κατὰ τὸ Θ, καὶ ἰσόρροπος ὁ ΜΝ κύλινδρος ἑκατέροις, ἰσόρροπος καὶ ὁ Ν τῷ τμήματι τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Α σημεῖον. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΒΑ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς
τὸν κῶνον, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΗΓ· τοῦτο γὰρ προγράφεται. Ὡς δὲ ὁ ΒΑ κῶνος πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ, ὡς δὲ ὁ κύκλος
πρὸς τὸν κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ ΒΗ ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΗΑ, τῷ δὲ ἀπὸ ΗΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΗΑ, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΗΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΑ· ὡς ἄρα ὁ ΒΑ κῶνος πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΑ. Ἐδείχθη δὲ καὶ
ὡς ὁ ΒΑ κῶνος πρὸς τὸ ΒΑ τμῆμα, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΞ· διʼ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ΒΑ τμῆμα πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΧ πρὸς ΧΗ, οὕτως ἡ ΗΑ καὶ ἡ τετραπλασία τῆς ΗΓ πρὸς τὴν ΑΗ καὶ τὴν διπλασίαν τῆς ΗΓ, ἀνάπαλιν ἔσται ὡς ἡ ΗΧ πρὸς
ΧΑ, οὕτως ἡ διπλασία τῆς ΓΗ καὶ ἡ ΗΑ πρὸς τὴν τετραπλῆν τῆς ΓΗ καὶ τὴν ΗΑ. Συνθέντι ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΧ, οὕτως ἡ ἑξαπλασία τῆς ΓΗ καὶ διπλασία τῆς ΗΑ πρὸς τὴν ΗΑ καὶ τετραπλῆν τῆς ΗΓ. Καὶ τῆς μὲν ἑξαπλασίας τῆς ΗΓ καὶ διπλασίας τῆς ΗΑ ἡ ΗΞ, τῆς δὲ τετραπλασίας
τῆς ΗΓ καὶ τῆς ΗΑ τέταρτον μέρος ἡ ΓΦ· τοῦτο γὰρ φανερόν· ὡς ἄρα ἡ ΗΑ πρὸς ΑΧ, οὕτως ἡ ΞΗ πρὸς ΓΦ· ὥστε καὶ ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ. Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως τὸ τμῆμα, οὗ ἐστι κορυφὴ τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β κύκλος,
πρὸς τὸν κῶνον, οὗ ἐστι κορυφὴ τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ κύκλος· ὡς ἄρα τὸ ΒΑ τμῆμα πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ. Καὶ ἐπεὶ ἰσόρροπος ὁ Μ κύλινδρος τῷ ΕΑΖ κώνῳ κατὰ τὸ Α, καί ἐστι τοῦ μὲν κυλίνδρου κέντρον βάρους τὸ Θ, τοῦ δὲ ΕΑΖ
κώνου τὸ Φ, ἔσται ἄρα ὡς ὁ ΕΑΖ κῶνος πρὸς τὸν Μ κύλινδρον, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΦ, τουτέστιν ἡ ΓΑ πρὸς ΑΦ. Καί ἐστι τῷ ΕΑΖ κώνῳ ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος· διελόντι ἄρα ὡς ὁ ΜΝ κύλινδρος πρὸς τὸν Ν κύλινδρον, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΦ. Καί ἐστιν ἴσος ὁ ΜΝ κύλινδρος τῷ ΕΑΖ κώνῳ· ὡς ἄρα ὁ ΕΑΖ κῶνος πρὸς τὸν Ν κύλινδρον, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΓΦ, τουτέστιν ἡ ΘΑ πρὸς ΓΦ. Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ ΒΑ τμῆμα πρὸς τὸν ΕΑΖ κῶνον, οὕτως ἡ ΓΦ πρὸς ΧΑ· διʼ ἴσου ἄρα ἔσται ὡς τὸ ΑΒ τμῆμα πρὸς
τὸν Ν κύλινδρον, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ. Καὶ ἐδείχθη ἰσόρροπον τὸ ΒΑ τμῆμα τῷ Ν κυλίνδρῳ κατὰ τὸ Α, καί ἐστι τοῦ Ν κυλίνδρου κέντρον βάρους τὸ Θ· καὶ τοῦ ΒΑ ἄρα τμήματος κέντρον τὸ Χ σημεῖον. τὸ σχῆμα.

Ὁμοίως δὲ τούτοις θεωρεῖται καὶ ὅτι παντὸς τμήματος σφαιροειδέος τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς εὐθείας, ἥ ἐστιν ἄξων τοῦ τμήματος, διῃρημένης τῆς εὐθείας, ὥστε τὸ μέρος αὐτῆς τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ τμήματος πρὸς τὸ λοιπὸν τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερον
ὅ τε ἄξων τοῦ τμήματος καὶ ἡ τετραπλασία τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῷ ἀντικειμένῳ τμήματι πρὸς συναμφότερον τόν τε ἄξονα τοῦ τμήματος καὶ τὴν διπλασίαν τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῷ ἀντικειμένῳ τμήματι ἐμπεριεχομένου.

Θεωρεῖται δὲ διὰ τοῦ τρόπου καὶ ὅτι πᾶν τμῆμα ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερος ὅ τε ἄξων τοῦ τμήματος καὶ ἡ τριπλασία τῆς προσούσης τῷ ἄξονι
πρὸς συναμφότερον τὸν τε ἄξονα τοῦ τμήματος τοῦ κωνοειδέος καὶ τὴν διπλασίαν τῆς προσούσης τῷ ἄξονι, κέντρον δὲ τοῦ βάρους τοῦ ἀμβλυγωνίου κωνοειδέος

τμηθέντος τοῦ ἄξονος, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τμῆμα πρὸς τὸ λοιπὸν λόγον ἔχειν, ὃν ἔχει ὅ τε τριπλάσιος τοῦ ἄξονος καὶ ἡ ὀκταπλασία τῆς προσκειμένης πρὸς τὸν ἄξονα αὐτοῦ τοῦ κωνοειδέος καὶ τὴν τετραπλασίαν αὐτῆς
τῆς προσκειμένης πρὸς αὐτόν· καὶ ἄλλων πλειόνων ἁ ⋯ θεωρουμένων τὰ ⋯ περιλήψομεν ῥη ⋯ τως, ἐπεὶ ὁ τρόπος ὑποδέδεικται διὰ τῶν προειρημένων.

Ἐὰν εἰς πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις κύλινδρος
ἐγγραφῇ τὰς μὲν βάσεις ἔχων ἐν τοῖς ἀπεναντίον τετραγώνοις, τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῶν λοιπῶν παραλληλογράμμων τεσσάρων ἐπιπέδων ἐφαπτομένην, διὰ δὲ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βάσις τοῦ κυλίνδρου, καὶ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ ἀπεναντίον τετραγώνου ἐπίπδεον
ἀχθῇ, ὅτι τὸ ἀποτμηθὲν σχῆμα ὑπὸ τοῦ ἀχθέντος ἐπιπέδου ἕκτον ἐστὶ μέρος τοῦ ὅλου πρίσματος, διὰ τοῦ τρόπου τούτου θεωρεῖται. Δείξαντες δὲ ἀναχωρήσομεν ἐπὶ τὴν διὰ τῶν γεωμετρουμένων ἀπόδειξιν αὐτοῦ.

Νοείσθω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις καὶ ἐν τῷ πρίσματι κύλινδρος ἐγγεγραμμένος ὡς εἴρηται, τμηθέντος δὲ τοῦ πρίσματος διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμηκὸς τὸ τμῆμα τοῦ
κυλίνδρου τοῦ μὲν πρίσματος τοῦ τὸν κύλινδρον ἔχοντος τομὴ ἔστω τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἠγμένου ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸ ἐπίπεδον τὸ ἀποτετμηκὸς τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τμῆμα
κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΒΓ εὐθεῖα, ἄξων δὲ ἔστω τοῦ πρίσματος καὶ τοῦ κυλίνδρου ἡ Γ εὐθεῖα, καὶ τεμνέτω αὐτὴν ἡ ΕΖ δίχα καὶ πρὸς ὀρθάς, καὶ διὰ τῆς ΕΖ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν Γ· ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῷ πρίσματι τομὴν τετράγωνον, ἐν δὲ τῷ κυλίνδρῳ τομὴν κύκλον.
Ἔστω οὖν τοῦ μὲν πρίσματος τομὴ τὸ ΜΝ τετράγωνον, τοῦ δὲ κυλίνδρου ὁ ΞΟΠΡ κύκλος, καὶ ἐφαπτέσθω ὁ κύκλος τῶν τοῦ τετραγώνου πλευρῶν κατὰ τὰ Ξ, Ο, Π, Ρ σημεῖα, τοῦ δὲ ἐπιπέδου τοῦ ἀποτετμηκότος τὸ τμῆμα ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ διὰ τῆς ΕΖ ἀχθέντος ἐπιπέδου
ὀρθοῦ πρὸς τὸν ἄξονα τοῦ κυλίνδρου κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΚΛ εὐθεῖα τέμνει δὲ αὐτὴν δίχα ἡ ΠΘΞ. Ἤχθω δέ τις εὐθεῖα ἐν τῷ ΟΠΡ ἡμικυκλίῳ ἡ ΣΤ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΠΧ, καὶ ἀπὸ τῆς ΣΤ ἐπίπεδον ἀνασταθὲν ὀρθὸν πρὸς τὴν ΞΠ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ ἐπιπέδου, ἐν ᾧ ἐστιν
ὁ ΞΟΠΡ κύκλος ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν τῷ ἡμικυλίνδρῳ, οὗ ἐστι βάσις τὸ ΟΠΡ ἡμικύκλιον, ὕψος δὲ ὁ ἄξων τοῦ πρίσματος, τομὴν παραλληλόγραμμον, οὗ ἔσται μία μὲν πλευρὰ ἡ ἴση τῇ ΣΤ, ἡ δὲ ἑτέρα τῇ τοῦ κυλίνδρου πλευρᾷ, ποιήσει δὲ καὶ ἐν τῷ τμήματι τῷ ἀποτετμημένῳ
ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τομὴν παραλληλόγραμμον, οὗ ἐστιν

ἡ μὲν ἑτέρα πλευρὰ ἴση τῇ ΣΤ, ἡ δὲ ἑτέρα τῇ ΝΥ· ἔστω δὲ οὕτως ἡ ΝΥ ἠγμένη ἐν τῷ Ε παραλληλογράμμῳ παράλληλος οὖσα τῇ ΒΩ ἴσην ἀπολαμβάνουσα τὴν ΕΙ τῇ ΠΧ. Καὶ ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΕΓ, καὶ
παράλληλος ἡ ΝΙ τῇ ΘΓ, καὶ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΘ, ΓΒ, ἔστιν ὡς ἡ ΕΘ πρὸς ΘΙ, οὕτως ἡ ΩΓ πρὸς ΓΝ, τουτέστιν ἡ ΒΩ πρὸς ΥΝ. Ὡς δὲ ἡ ΒΩ πρὸς ΥΝ, οὕτως τὸ παραλληλόγραμμον τὸ γενόμενον ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ πρὸς τὸ γενόμενον ἐν τῷ ἀποτμήματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ
κυλίνδρου· ἀμφοτέρων γὰρ τῶν παραλληλογράμμων ἡ αὐτὴ πλευρά ἐστιν ἡ ΣΤ· καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΘΠ, ἡ δὲ ΙΘ τῇ ΧΘ· καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΠΘ τῇ ΘΞ, ὡς ἄρα ἡ ΘΞ πρὸς ΘΧ, οὕτως τὸ γενόμενον παραλληλόγραμμον ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ πρὸς τὸ γενόμενον ἐν τῷ ἀποτμήματι
τῷ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου.

Νοείσθω μετακείμενον τὸ ἐν τῷ τμήματι παραλληλόγραμμον καὶ κείμενον κατὰ τὸ Ξ, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ, καὶ ἔτι νοείσθω ζυγὸς ἡ ΠΞ, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Θ· ἰσορροπεῖ δὴ περὶ τὸ Θ σημεῖον
τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ αὐτοῦ μένον τῷ παραλληλογράμμῳ τῷ γενομένῳ ἐν τῷ ἀποτμήματι

τῷ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον. Καὶ ἐπεί ἐστι τοῦ μὲν παραλληλογράμμου τοῦ γενομένου ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ κέντρον
τοῦ βάρους τὸ Χ, τοῦ δὲ παραλληλογράμμου τοῦ γενομένου ἐν τῷ τμήματι τῷ ἀποτμηθέντι μετενηνεγμένου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Ξ, καὶ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΞΘ πρὸς ΘΧ, ὃν τὸ παραλληλόγραμμον, οὗ εἴπομεν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Χ, πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον,
οὗ εἴπομεν κέντρον εἶναι τοῦ βάρους τὸ Ξ, ἰσορροπήσει ἄρα περὶ τὸ Θ τὸ παραλληλόγραμμον, οὗ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Χ, τῷ παραλληλογράμμῳ, οὗ κέντρον τοῦ βάρους τὸ Ξ. Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται ὅτι καὶ ὅταν ἄλλη τις ἀχθῇ ἐν τῷ ΟΠΡ ἡμικυκλίῳ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΠΘ, καὶ
ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῇ ὀρθὸν πρὸς τὴν ΠΘ καὶ ἐκβληθῇ ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐν ᾧ ἐστιν ὁ ΞΟΠΡ κύκλος, ὅτι τὸ γινόμενον παραλληλόγραμμον ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ ἰσόρροπον περὶ τὸ Θ σημεῖον αὐτοῦ μένον τῷ παραλληλογράμμῳ τῷ γενομένῳ
ἐν τῷ τμήματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μενενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον. Καὶ πάντα ἄρα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ γενόμενα ἐν τῷ ἡμικυλινδρίῳ αὐτοῦ μένοντα ἰσορροπήσει περὶ τὸ Θ
σημεῖον πᾶσι τοῖς παραλληλογράμμοις τοῖς γενομένοις ἐν τῷ τμήματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου μετενηνεγμένοις καὶ κειμένοις τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ σημεῖον· ὥστε ἰσορροπεῖν καὶ τὸ ἡμικυλίνδριον αὐτοῦ μένον περὶ τὸ Θ σημεῖον τῷ τμήματι τῷ ἀποτμηθέντι μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Ξ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Ξ σημεῖον.

Ἔστω δὴ πάλιν τὸ ὀρθὸν πρὸς τὸν ἄξονα παραλληλόγραμμον
τὸ ΜΝ καὶ ὁ κύκλος ὁ ΞΟΠΡ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΜ, ΘΗ, καὶ ἀνεστάτω ἀπʼ αὐτῶν ἐπίπεδα ὀρθὰ πρὸς τὸ ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστι τὸ ΟΠΡ ἡμικύκλιον, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα τὰ εἰρημένα ἐπίπεδα· ἔσται δή τι πρίσμα βάσιν μὲν ἔχον τηλικαύτην, ἡλίκη
ἐστὶ τὸ ΘΜΗ τρίγωνον, ὕψος δὲ ἴσον τῷ ἄξονι τοῦ κυλίνδρου, καί ἐστι τὸ πρίσμα τοῦτο τέταρτον μέρος τοῦ ὅλου πρίσματος τοῦ περιέχοντος τὸν κύλινδρον. Ἤχθωσαν δέ τινες εὐθεῖαι ἐν τῷ ΟΠΡ ἡμικυκλίῳ καὶ ἐν τῷ ΜΝ τετραγώνῳ αἱ ΚΛ, ΤΥ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς ΠΞ· τέμνουσιν
δὴ αὗται τὴν μὲν τοῦ ΟΠΡ ἡμικυκλίου περιφέρειαν κατὰ τὰ Κ, Τ σημεῖα, τὴν δὲ ΟΡ διάμετρον κατὰ τὰ Σ, Ζ, τὰς δὲ ΘΗ, ΘΜ κατὰ τὰ Φ, Χ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τῶν ΚΛ, ΤΥ ἐπίπεδα ὀρθὰ πρὸς τὴν ΟΡ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ ἐπιπέδου, ἐν ᾧ ἐστιν ὁ ΞΟΠΡ κύκλος· ποιήσει δὴ

τὸ ἕτερον ἐν μὲν τῷ ἡμικυλινδρίῳ, οὗ βάσις μέν ἐστιν τὸ ΟΠΡ ἡμικύκλιον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, τομὴν παραλληλόγραμμον, οὗ ἐστιν μία μὲν πλευρὰ ἴση τῇ ΚΣ, ἡ δὲ ἑτέρα ἴση τῷ ἄξονι τοῦ κυλίνδρου, ἐν δὲ τῷ
πρίσματι τῷ ΘΗΜ ὁμοίως παραλληλόγραμμον, οὗ ἔσται μία μὲν ἴση τῇ ΛΧ, ἡ δὲ ἑτέρα ἴση τῷ ἄξονι· διὰ δὲ τὰ αὐτὰ ἐν τῷ αὐτῷ ἡμικυλινδρίῳ ἔσται τι παραλληλόγραμμον, οὗ ἐστι μία μὲν πλευρὰ ἴση τῇ ΤΖ, ἡ δὲ ἑτέρα ἴση τῷ ἄξονι τοῦ κυλίνδρου, ἐν δὲ τῷ πρίσματι παραλληλόγραμμον,
οὗ ἐστιν ἡ μὲν μία πλευρὰ ἴση τῇ ΥΦ, ἡ δὲ ἑτέρα ἴση τῷ ἄξονι τοῦ κυλίνδρου ⋯.