Ad Eratosthenem methodus (15)

Ἔστω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις, ὧν
μία ἔστω τὸ ΑΒΓ τετράγωνον, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ πρίσμα κύλινδρος, οὗ βάσις ἔστω ὁ ΕΖΗ κύκλος· ἐφάπτεται δὴ οὗτος τῶν τοῦ τετραγώνου πλευρῶν κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα· κέντρον δὲ ἔστω τὸ Κ, καὶ

διὰ τῆς ΕΗ διαμέτρου καὶ μιᾶς πλευρᾶς⋯ ἐπίπεδον ἤχθω τοῦτο δὴ τὸ ἐπίπεδον ἀποτέμνει πρίσμα ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος καὶ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ἀπότμημα κυλίνδρου. Λέγω δὴ ὅτι τοῦτο τὸ τμῆμα
τὸ ἀποτετμημένον ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τοῦ ἀχθέντος ἐπιπέδου ἕκτον μέρος ὂν δειχθήσεται τοῦ ὅλου πρίσματος.

Πρῶτον δὲ δείξομεν ὅτι δυνατὸν ἔσται εἰς τὸ τμῆμα τὸ ἀποτμηθὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου σχῆμα στερεὸν ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγράψαι ἐκ πρισμάτων συγκείμενον ἴσον
ὕψος ἐχόντων καὶ βάσεις τριγώνους ἐχόντων ὁμοίας, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος μεγέθους ⋯ γὰρ τοῦ πρίσματος τοῦ κατὰ τὸ Β παραλληλογράμμου ⋯ καὶ ⋯ ω ⋯ γραμμένου. ω ⋯
το ⋯ Ξ. ἐπιπέδῳ ⋯ σημεῖα τοῦ ⋯ ατος ⋯ η ⋯ ρετό . πω ⋯ νομεν ⋯ εστ ⋯ σων ⋯ ἔστω ⋯ το ⋯ λειπόμενον ⋯ νι . μια ἐλασ ⋯ ν ⋯ τοῦ λείμματος. στ ⋯ ε ⋯ ει ⋯ καὶ ⋯ ει ⋯ α τω . ει ⋯ το ⋯ ατα ⋯
τω ἐκ ⋯ τμῆμα τὸν το ⋯ ἀποτμηθ ⋯ ἀπὸ ⋯ δι ⋯ ε ⋯ μάτων ⋯ μεν ⋯ ων ⋯ ται καὶ τῶν ⋯ ἐγγεγραμμένω ⋯ δι ⋯ των κει ⋯ τα ⋯ ΚΩ παραλληλόγραμμον ⋯ αμμον ⋯ σχήματι
πρίσμα ⋯ ησ ⋯ τὸ ἀπὸ ⋯ δρου . ἐγγεγράφθω ⋯ μια ⋯ ⋯ σχῆμα, τὸ εἰρημένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου ⋯ ἔχει ⋯ τοῦ δοθέντος ⋯ ἐχέτω ⋯ οσ ⋯ τῶν πρισμὰτων ⋯
⋯ ἴσον αὐ ⋯ ση-μεῖα ⋯ ἐγγεγράφθω ⋯ ν ἐσ ⋯

δευτέρῳ ⋯ γεγρ ⋯ γει ⋯ η ⋯ έτ- τμηται κατὰ τὸ αὐτὸ ⋯ ἐγγεγραμμένον ἐν ⋯ κύκλ ⋯ τοῦ τμήματος τη συνθε . τ ⋯ ἀπο ⋯ μείζων ἐστὶν τοῦ ἐγγεγραμμένου ⋯ τμήματος
ἐν τῷ πρίσματι τῷ κατὰ τὸ ⋯ω ⋯ ἔλασσον ἄρα ἢ ἡμιόλιον τὸ πρίσμα τὸ ἀποτετμημένον ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐγγεγραμμένου εἰς τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου στερεοῦ. Ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου ἀφῃρημένον πρίσμα
πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον στερεὸν εἰς τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου, οὕτως τὸ Η παραλληλόγραμμον πρὸς τὰ ἐγγεγραμμένα παραλληλόγραμμα εἰς τὸ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας ἔλασσον ἄρα ἢ ἡμιόλιον τὸ Η
παραλληλόγραμμον τῶν παραλληλογράμμων τῶν ἐν τῷ τμήματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας ὅπερ ἀδύνατον, ἐπεὶ τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας ἡμιόλιον δέδεικται τὸ
Η παραλληλόγραμμον ἐν ἑτέροις. Οὐκ ἄρα μεῖζον ⋯ στε- ῥέον ἐτ⋯ ἀποτεμν ⋯σχῆμα⋯ τα ὀρθο ⋯ περιγραφ ⋯ τοῦ ἐγγρα- φέντος ἐν ⋯ ἐπεὶ ⋯ τμήματ ⋯
⋯ ἐγγεγράφθω ⋯ ἐν τῷ τμή ματι τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας τεγράφθω ⋯ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου⋯ φὲν περι ⋯ ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ⋯ τοῦ κυλίνδρου⋯τοῦ στερεοῦ
⋯ τοῦ κυλίνδρου⋯ τμήματ ⋯ ἐστὶν καὶ ⋯ γραμμέν ⋯ ⋯ ⋯ ⋯εχομεν ⋯ νη
⋯ Η ⋯ τιν ⋯ ⋯ πρὸς τὸ ⋯ τὸ ἐν τῷ⋯ ⋯ περιεχομε ⋯ γο ⋯ τῆς ΕΗ καὶ ⋯ τοῖς λόγοις ⋯ αμμέν ⋯ ⋯ τιμήματος ⋯ δρ ⋯ νον ἀπὸ
τῆς ⋯ τῆς πλευρᾶς⋯ ⋯ ἐν τῷ ⋯ τετμήσθω⋯ ⋯ ἐχθήσ ⋯ τὸ μεῖζον⋯ ⋯ εὐθείας καὶ πάντα τὰ πρίσματα τὰ ἐν τῷ πρίσματι τῷ ἀποτετμημένῳ
ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου πρὸς πάντα τὰ πρίσματα τὰ ἐν τῷ σχήματι τῷ περιγεγραμμένῳ περὶ τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν πάντα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐν τῷ Η παραλληλογράμμῳ πρὸς πάντα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐν τῷ σχήματι τῷ
περιγεγραμμένῳ περὶ τὸ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας, τουτέστιν τὸ πρίσμα τὸ ἀποτετμημένον ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου πρὸς τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον περὶ τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν τὸ Η παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον
περὶ τὸ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας. Μεῖζον δέ ἐστι τὸ πρίσμα τὸ ἀποτετμημένον ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου ἢ ἡμιόλιον τοῦ στερεοῦ σχήματος τοῦ περιγεγραμμένου περὶ τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου ⋯.