De corporibus fluitantibus (2.10)

Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν κουφότερον ὄν τοῦ ὑγροῦ τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα ἢ ὥστε λόγον ἔχειν ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος τοῦ ὃν ἔχει τὰ
ιε ποτὶ τὰ δ, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, ὁτὲ μὲν ὀρθὸν καταστασεῖται, ὁτὲ δὲ κεκλιμένον, καὶ ποτὲ μὲν οὕτω κεκλιμένον, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθʼ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τοῦτο ἐν δισσοῖς κλιμάτεσσι ποιήσει,
ποτὲ δὲ οὕτως κεκλιμένον καταστασεῖται, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον βρέχεσθαι, ποτὲ δὲ οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας ὃν δὲ λόγον ἔχοντος τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἕκαστα αὐτῶν ἐσσεῖται, νῦν δηλωθήσεται.

Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ τμαθέντος αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἔστω ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἄξων δὲ ἔστω καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ Β, τετμάσθω δὲ ἁ Β
κατὰ τὸ Κ, ὥστε διπλασίαν εἶμεν τὰν ΒΚ τᾶς Κ, κατὰ δὲ τὸ Τ, ὥστε τὰν Β ποτὶ τὰν ΚΤ λόγον ἔχειν ὡς τὰ ιε ποτὶ δ δῆλον οὖν ὅτι ἁ ΚΤ μείζων ἐστὶ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. Ἔστω οὖν ἁ ΚΡ ἴσα τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος, τᾶς δὲ ΒΡ ἡμίσεια ἔστω ἁ ΡΣ ἔστι δὴ καὶ ἁ ΣΒ ἡμιολία τᾶς
ΒΡ. Ἐπιζευχθείσας δὲ τᾶς ΑΒ καὶ τᾶς ΤΕ ὀρθᾶς ἀχθείσας ἀχθῶ ἁ ΕΖ παρὰ τὰν Β, καὶ πάλιν τᾶς ΑΒ δίχα τμαθείσας κατὰ τὸ Θ ἄχθω παρὰ τὰν Β ἁ ΘΗ, καὶ λελάφθω ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΕΙ περὶ διάμετρον τὰν ΕΖ καὶ ἁ ΑΘ περὶ διάμετρον τὰν ΘΗ, ὥστε ὅμοια εἶμεν τὰ ΑΕΙ, ΑΘ
τμάματα τῷ ΑΒΛ τμάματι· γραφήσεται δὴ ἁ ΑΕΙ κώνου τομὰ διὰ τοῦ Κ, ἁ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ ὀρθὰ ἀχθεῖσα τᾷ Β τεμεῖ τὰν ΑΕΙ. Τεμνέτω κατὰ τὰ Υ, Γ, καὶ διὰ τῶν Υ, Γ ἄχθωσαν παρὰ τὰν Β αἱ ΥΧ, ΓΝ, τεμνέτωσαν δὲ αὗται τὰν ΑΘ τομὰν κατὰ τὰ Ξ, Φ, ἄχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΠΨ,
Ο(??) ἐφαπτόμεναι τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς κατὰ τὰ Ο, Π, Δεδομένα δὴ τρία τινὰ τμάματα τὰ ΑΠΟΛ, ΑΕΙ, ΑΘ περιεχόμενα ὑπὸ τᾶν εὐθειᾶν καὶ τᾶν ὀρθογωνίων κώνων τομᾶν ὀρθὰ καὶ ὅμοια, ἄνισα δέ, καὶ ἀπολέλαπται ἀφʼ ἑκάστας βάσιος, ἀπὸ δὲ τοῦ Ν ἀναγμέναι αἱ ΝΞ, ΝΓ, ΝΟ ἁ ΟΓ ἄρα ποτὶ
τὰν ΓΞ τὸν συγκείμενον λόγον ἕξει ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἁ

ΙΛ ποτὶ ΛΑ, καὶ ὃν ἔχει ἁ Α ποτὶ Ι. Ἔχει δὲ καὶ ἁ ΛΙ ποτὶ ΛΑ ὃν δύο ποτὶ ε ἅ τε γὰρ ΤΒ ποτὶ Β ἐστὶν ὡς δύο ποτὶ ε, καὶ ἁ ΕΒ ποτὶ ΒΑ καὶ ἁ Ζ ποτὶ Α, τούτων δὲ διπλάσιαι αἱ Λl, ΛΑ · ἁ δὲ Α ποτὶ Ι ἔχει ὅσον πέντε
πρὸς ᾱ, ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ δύο ποτὶ τὰ ε καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ πέντε ποτὶ τὸ ἓν ὁ αὐτός ἐστι τῷ ὃν ἔχει τὰ δύο ποτὶ τὸ ᾱ διπλασία ἄρα ἐστὶν ἁ ΟΓ τᾶς ΓΞ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἁ ΠΥ τᾶς ΥΦ. Ἐπεὶ δέ ἐστιν ἁ Σ ἡμιολία τᾶς ΚΡ, δῆλον ὅτι ἁ ΒΣ ἁ ὑπεροχά ἐστιν,
ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος.

Εἰ μὲν οὖν τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΣ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β, ἢ μείζονα τούτου τοῦ λόγου, ἀφεθὲν τὸ τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ
ὑγροῦ, ὀρθὸν καταστασεῖται· δέδεικται γὰρ πρότερον ὅτι ἐὰν τμᾶμα μείζονα ἔχον τὸν ἄξονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐὰν τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μὴ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος,
ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν οὕτως ὡς εἴρηται, ὀρθὸν καταστασεῖται.

Ἐπὴν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα μὲν λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΣΒ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β, μείζονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς
ΟΞ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν

κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ γωνίαν ποιεῖν ποτὶ τὰν
ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ μείζονα τᾶς (??).

Ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχῃ τὸν λόγον, ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ,
καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ἅπτεσθαι καθʼ ἓν τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἴσαν τᾷ (??).

Ἔὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα
μὲν λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β, μείζονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον
οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον τέμνεσθαι ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ.

Εἰ δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ
τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθʼ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποιεῖν γωνίαν ἴσαν τᾷ Ψ.

Ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ
ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὸν μὲν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Ψ, τὰν δὲ βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας.

Δειχθήσεται δὲ ταῦτα ἑξῆς.

Ἐχέτω δὴ πρῶτον τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μείζονα μὲν λόγον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β, ἐλάσσονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς τετράγωνον, μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β τετράγωνον,
καὶ ὑποκείσθω τὸ πρότερον κατεσκευασμένον σχῆμα, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β ἔστι δὴ ἁ Ψ τᾶς μὲν ΞΟ μείζων, ἐλάσσων δὲ τᾶς ὑπεροχᾶς,

ἇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. Ἐναρμόσθω δέ τις μεταξὺ τῶν ΑΠΟΛ, ΑΞ κώνων τομᾶν, quae NO aequalis ipsi Ψ, et secet ipsa reliquam coni sectionem penes Ϡ, ipsam autem R(??) rectam
penes B; demonstrabitur autem quae OϠ dupla ipsius ϠN, sicut demonstrata est quae Μ(??) ipsius (??)Χ dupla, ab O autem ducatur quae O(??) contingens sectionem APOL. quae autem OC perpendicularis super BD, et ab A ad N copuletur ; erunt autem
quae AN, QN aequales inuicem. Quoniam enim in similibus portionibus AΡOL, AXD productae sunt a basibus ad portiones quae AN, AQ aequales angulos facientes ad bases, eandem proportionem habebunt quae QA, AN cum ipsis LA, AD propter secundam
figuram praescriptarum ; aequalis ergo quae AN ipsi QΝ, et aequedistans ipsi O(??). Demonstrandum, quod dimissa in humidum ita, ut basis ipsius non secundum unum tangat humidum, ita inclinata consistet, ut basis eius in nullo puncto superficiem
humidi tangat, et axis ad superficiem humidi angulum acutum faciat maiorem angulo (??).

Dimittatur enim et consistat ita, ut basis ipsius tangat secundum unum signum superficiem humidi, secta autem portione per axem plano recto ad superficiem
humidi superficiei quidem portionis sectio sit quae APOL rectanguli coni sectio, superficiei autem humidi quae OA, axis autem sectionis et diameter

quae BD, et secetur quae BD penes K, R, ut dictum est. Ducatur autem et quae quidem PG aequedistanter ipsi AO recta contingens sectionem APOL. secundum P, quae autem ΡΤ aequedistanter ipsi BD, quae
autem PS perpendicularis super BD, quoniam igitur portio ad humidum in grauitate proportionem habet quam tetragonum quod a Ψ ad id quod a BD, quam autem proportionem habet portio ad humidum, hanc habet demersa ipsius portio ad totam, quam
autem demersa ad totam, tetragonum quod a TP ad id quod a DB, erit quae Ψ ipsi TP aequalis. Et quae NO ergo ipsi TP aequalis est quare et portiones APQ, APO inuicem sunt aequales. Quoniam autem in portionibus aequalibus et similibus APOL,
AMQL ab extremitatibus basium productae sunt quae OA, AQ, et portiones ablatae faciunt ad diametros angulos aequales propter tertiam figuram praescriptarum, quare anguli qui apud (??), G sunt aequales, et quae (??)B, GB, ergo aequales sunt ; quare et quae SR, CR et quae ΡΖ, OB et quae ΖΤ, BN. Quoniam minor est quam dupla quae OB ipsius BΝ, palam quod quae PΖ ipsius ΖΤ est minor quam dupla. Sit igitur quae PΩ ipsius ΩΤ dupla,
et copulata quae ΚΩ educatur ad E ; totius quidem igitur centrum grauitatis erit K, eius autem portionis quae intra humidum centrum Ω, eius autem quae extra in linea ΚΕ ; et sit E. Quae autem ΚΖ perpendicularis erit super superficiem humidi ; quare et
quae per signa Ε, Ω aequidistanter ipsi ΚΖ. Non ergo manet portio, sed reclinabitur, ut basis ipsius nec secundum unum tangat superficiem humidi, quoniam nunc secundum unum tacta ipsa reclinatur ; manifestum igtur quod portio consistet ita, ut axis
ad superficiem humidi faciat angulum maiorem angulo (??).

Ηabeat autem portio ad humidum in grauitate hanc proportionem, quam habet tetragonum quod

ab XO ad id quod a BD, et dimittatur in humidum ita inclinata. Secta autem ipsa per axem plano recto ad superficiem humidi solidi quidem sectio sit quae APOL rectanguli coni sectio, superficiei autem
humidi quae OI, axis autem portionis et diameter sectionis quae BD, et secetur quae BD ut prius, et ducatur quae quidem PN aequedistanter ipsi IO contingens sectionem secundum P, quae autem ΡΓ aequedistanter ipsi BD, quae autem PS perpendicularis
super BD. Demonstrandum quod portio non manet inclinata sic, sed inclinatur, donec utique basis secundum unum signum tangat superficiem humidi.

Praeiaceant autem et quae insuperiori figura prius disposita sunt, et quae CO perpendicularis ducatur
super BD, et quae AX copulata educatur ad Q ; erit autem quae AX ipsi XQ aequalis ; et ducatur ipsi AQ quae O(??) aequedistans. Et quoniam supponitur portio ad humidum in grauitate hanc habere proportionem, quam habet tetragonum quod ab XO ad
id quod a BD, habet autem hanc proportionem et

demersa portio ad totam, hoc est quod a TP ad id quod a BD, aequa is utique erit quae PT ipsi XO. Et quoniam portionum IBO, ABQ diametri sunt aequales, et portiones. Rursum quoniam in
portionibus aequali bus et similibus AΡOL, AOQL productae sunt AQ, IO aequales portiones auferentes, hoc quidem ab extremitate basis, hoc autem non ab extremitate, palam quod minorem facit acutum angulum ad diametrum totius portionis, quae ab
extremitate basis producta est. Et quoniam angulus qui apud (??) est minor quam qui apud Ν, maior est quae BC quam BS, quae autem CR minor quam RS ; quare et quae O(??) minor quam ΡϠ, et (??)Χ maior est quam ϠΤ. Et quoniam quae O(??) dupla
est ipsius (??)X, palam quod quae PϠ maior est quam dupla psius ϠT. Sit igitur quae PH dupla ipsius HT.

Καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΗΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ω. Ἐσσεῖται δὴ τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Κ, τοῦ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ Η, τοῦ δʼ ἐκτὸς ἐπὶ τᾶς ΚΩ· ἔστω
τὸ Ω. Δειχθήσεται δὴ ὁμοίως ἅ τε ΚϠ κάθετος ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν καὶ αἱ διὰ τῶν Η, Ω σαμείων παρὰ τὰν ΚϠ. Δῆλον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα, ἀλλʼ ἐπικλιθήσεται, ἕως ἂν ἁ βάσις αὐτοῦ ἅπτηται καθʼ ἓν σαμεῖον τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καθάπερ demonstrabitur
in tertia figura, quomodo se habet in tertio theoremate, et manebit portio ita consistens.

In portionibus enim aequalibus AΡOL, AOQL productae erunt ab extremitatibus basium quae AQ, AO aequales portiones auferentes demonstrabitur enim APQ aequalis ipsi AΡO similiter prioribus ;
aequales igitur facient acutos angulos quae AO, AQ ad diametros portionum, quoniam aequales sunt qui apud Ν, (??) anguli. Et ϠT copulata autem ipsa ϠΚ et educta ad Ω erit totius quidem portionis centrum grauitatis Κ, eius
autem quae intra humidum Ϡ, eius autem quae extra in linea ΚΩ ; et sit Ω. Et quae ΚϠ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν. Κατὰ τὰς αὐτὰς οὖν εὐθείας τό τε ἐν τῷ ὑγρῷ ἀνενεχθήσεται καὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατενεχθήσεται μενεῖ δὴ τὸ τμᾶμα,
καὶ ἅ τε βάσις καθʼ ἓν σαμεῖον ἄψεται τᾶς τοῦ ὑγροῦ

ἐπιφανείας, καὶ ὁ ἄξων τοῦ τμάματος ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιήσει γωνίαν ἴσαν τᾷ προγεγραμμένᾳ.

Ηabeat etiam rursum portio ad humidum in grauitate proportionem minorem ea, quam habet
tetragonum quod ab NT ad id quod a BD, quam autem proportionem habet portio ad humidum in grauitate, hanc habeat tetragonum quod a Ψ ad tetragonum quod a BD ; minor autem est quae Ψ quam TN. Rursum igitur inaptetur quaedam intermedia
portionum AMD, APOL quae Pl aequedistanter ipsi BD producta aequalis ipsi Ψ, secet autem ipsa intermediam coni sectionem penes Y, ipsam autemΧR εὐθεῖαν κατὰ τὸ Η. Δειχθήσεται δὴ ἁ ΠΥ διπλασία τᾶς ΥΙ, καθάπερ ἐδείχθη καὶ ἁ ΓΟ τᾶς ΓΧ. Ἀχθω δὲ καὶ ἁ
μὲν ΠΩ ἐφαπτομένα τᾶς ΑΠΟΛ κατὰ τὸ Π, ἁ δὲ ΠΕ κάθετος ἐπὶ τὰν Β, καὶ ἁ ΙΑ ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Χ ἐσσεῖται δὲ ἁ ΑΙ τᾷ ΙΧ ἴσα καὶ ἁ ΑΧ τᾷ ΠΩ παράλληλος. Δεικτέον δὴ ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν καὶ κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ
ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὕτως καταστασεῖται κεκλιμένον, ὥστε τὸν ἄξονα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Φ, τὰν δὲ βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας.

Ἀφείσθω γὰρ εἰς τὸ ὑγρὸν καὶ καθεστακέτω οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθʼ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, τμαθέντος δὲ τοῦ τμάματος ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν διὰ τοῦ ἄξονος
τομὰ ἔστω τᾶς μὲν τοῦ τμάματος ἐπιφανείας ἁ ΑΗΒΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας ἁ ΑΖ, ἄξων δὲ καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ Β, καὶ τετμάσθω ἁ Β κατὰ τὰ Κ, Ρ ὁμοίως

superioribus, ducatur autem et quae ΗI aequedistanter ipsi AZ contingens sectionem coni penes H, quae autem HT aequedistanter ipsi BD, quae autem HS perpendicularis super BD. Quoniam igitur portio
ad humidum in grauitate hanc habet proportionem, quam habet tetragonum quod a Ψ ad id quod a BD, quam autem proportionem habet portio ad humidum in grauitate, hanc habet tetragonum quod ab HT ad id quod a BD propter eadem prioribus,
palam quod quae HT est aequalis ipsi Ψ ; quare et portiones AHZ, APQ sunt aequales. Et quoniam in portionibus aequalibus et similibus AΡOL, AHZL ab extremitatibus basium sunt productae quae AQ, AZ aequales portiones auferentes, palam quod
aequales faci unt angulos ad diametros portionum. Adhuc autem et trigonorum ΗIS, PΩE aequales sunt anguli qui apud I, Ω ; erunt igitur et SB, EB aequales ; quare et quae SR, ER aequales et quae HϠ, PH et quae ϠT, HI. Et quoniam est dupla
quae PY ipsius YI, manifestum quod minor est quam dupla quae H Ϡ ipsius ϠT. St igitur quae HY dupla ipsius YT, et copulata protrahatur quae YKC ; sunt autem centra grauitatum totius quidem K, eius autem quod intra humidum Y, eius autem quod
extra in linea ΚC ; et sit C. Erit autem propter praecedens theorema hoc manifestum quod non manet portio, sed inclinabitur ita, ut basis ipsius nec secundum unum tangat superficiem humidi.

Quod autem consistet ita, ut axis ipsius ad superficiem
humidi faciat angulum minorem angulo Φ

demonstrabitur. Consistat enim, si possibile est, ita, ut faciat angulum non minorem angulo Φ, et alia σκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς ἐν τῷ τρίτῳ σχήματι. Ὁμοίως δὴ
δειχθήσεται ἁ ΘΗ ἴσα τᾷ Ψ· ὥστε καὶ τᾷ ΙΠ ἴσα. Ἐπεὶ οὖν ἁ Λ γωνία οὐκ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς Φ, οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἁ ΓΒ τᾶς ΣΒ, οὐδὲ ἁ ΓΡ ἐλάσσων τᾶς ΣΡ οὐδὲ ἁ ΗϠ τᾶς Θ(??). Καὶ ἐπειδὴ ἁ ΙΠ ἡμιολία ἐστὶ τᾶς ΠΥ, ἐλάσσων δὲ ἁ ΠΥ τᾶς Θ(??), καὶ ἁ μὲν ΗΘ ἴσα τᾷ ΠΙ, ἁ δὲ ΗϠ οὐκ
ἐλάσσων τᾶς Θ(??), μείζων ἔσται ἁ ϠΗ τᾶς ΠΥ ἁ ἄρα ΗϠ μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς ϠΘ. Ἔστω δὴ ἁ ΗΥ διπλασία τᾶς ΥΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΥΚ ἐκβεβλήσθω δῆλον δὴ ὁμοίως τοῖς πρότερον ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα, ἀλλὰ κλιθήσεται, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ
ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Φ.

Similiter autem demonstrabitur quod et, si portio ad humidum in grauitate habeat proportionem eandem, quam tetragonum quod ab NT ad id quod a BD, dimissa in humidum ita, ut basis ipsius non
tangat superficiem humidi, consistet inclinata ita, ut basis ipsius secundum unum signum tangat superficiem humidi, et axis ipsius ad superficiem humidi faciat angulum aequa em angulo qui apud Φ.

Ἔστω δὴ πάλιν τὸ τμᾶμα ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῷ βάρει
μείζονα μὲν λόγον ἔχον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΖΠ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β, ἐλάσσονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β
δῆλον οὖν ὅτι ἁ Ψ, τᾶς μὲν ΖΠ μείζων ἐστίν, τᾶς δὲ ΞΟ ἐλάσσων. Ἐναρμόσθω δὴ εἰς τὸ μεταξὺ τᾶν ΑΞ, ΑΠΟΛ τμημάτων ἴσα τᾷ Ψ, παράλληλος δὲ τᾷ Β ἁ ΦΙ τέμνουσα τὰν μεταξὺ τοῦ κώνου τομὰν κατὰ τὸ Υ · πάλιν δὴ ἁ ΦΥ διπλασία τᾶς ΥΙ δειχθήσεται, καθάπερ ἁ ΟΓ τᾶς
ΞΓ. Ἄχθω δὲ ἀπὸ τοῦ Φ τοῦ ΑΠΟΛ ἐφαπτομένα κατὰ τὸ Φ ἁ ΦΩ ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ἁ μὲν ΑΙ τᾷ ΧΙ ἴσα, ἁ δὲ ΑΧ τᾷ ΦΩ παράλληλος. Δεικτέον δὲ ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὰν βάσιν μὴ ἅπτεσθαι τᾶς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ, καὶ τεθὲν κεκλιμένον
οὕτως κλιθήσεται, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον τέμνεσθαι ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ.

Ἀφείσθω γὰρ εἰς τὸ ὑγρόν ὡς εἴρηται, καὶ κείσθω τὸ πρῶτον καὶ οὕτως κεκλιμένον, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὰν τοῦ
ὑγροῦ ἐπιφάνειαν ἐν μὲν τᾷ τοῦ τμάματος ἐπιφανείᾳ γίνεται τομὰ ἁ ΑΒΓ, ἐν δὲ τᾷ τοῦ ὑγροῦ ἁ ΕΖ, ἄξων δὲ ἔστω τῆς τομῆς καὶ διάμετρος τοῦ τμήματος ἁ Β, καὶ τετμάσθω ἁ Β κατὰ τὰ Κ, Ρ ὁμοίως τοῖς πρότερον, ἀχθῶ δὲ καὶ ἁ μὲν ΗΛ παρὰ τὰν ΕΖ ἐφαπτομένα τᾶς
ἀπὸ τῆς ΑΒΓ τομᾶς κατὰ τὸ Η, ἁ δὲ ΗΘ παρὰ τὰν Β, ἁ δὲ ΗΣ κάθετος ἐπὶ τὰν Β. Ἐπεὶ δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει λόγον ἔχει ποτὶ τὸ ὑγρόν, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β, δῆλον ὅτι ἁ Ψ ἴσα ἐστὶν τᾷ ΗΘ δειχθήσεται γὰρ ὁμοίως τοῖς πρότερον ὥστε καὶ
ἁ ΗΘ ἴσα ἐστὶν τᾷ ΦΙ καὶ τὰ τμάματα ἄρα τὰ ΑΦΧ, ΕΒΖ ἴσα ἐστὶν ἀλλάλοις. Ἐπεὶ δʼ ἐν ἴσοις καὶ ὁμοίοις τμαμάτεσσι τοῖς ΑΠΟΛ, ΑΒΓ ἀγμέναι ἐντὶ αἱ ΑΧ, ΕΖ

ἴσα τμάματα ἀφαιροῦσαι, καὶ ἁ μὲν ἀπʼ ἄκρας τᾶς βάσιος, ἁ δὲ οὐκ ἀπʼ ἄκρας, ἐλάσσονα ποιήσει τὰν ὀξεῖαν ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ τμάματος ἁ ἀπʼ ἄκρας τᾶς βάσιος ἀχθεῖσα. Καὶ ἐπειδὴ τοῦ ΗΛΣ τριγώνου ἁ Λ μείζων τᾶς
Ω γωνίας τοῦ ΦΤΩ τριγώνου, δῆλον ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἁ Βς τᾶς ΒΤ, ἁ δὲ ςΡ τᾶς ΡΤ μείζων, καὶ ἁ ΗϠ μείζων τᾶς ΦΗ ἁ ϠΘ ἄρα ἐλάσσων τᾶς ΗΙ. Καὶ ἐπεὶ διπλασία ἐστὶν ἁ ΦΥ τᾶς ΥΙ, δῆλον ὅτι ἁ ΗϠ, μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς ϠΘ. Ἔστω δὴ ἁ ΗΑ διπλασία τᾶς ΑΘ δῆλον
δὴ ἐκ τούτων ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα, ἀλλὰ ἐπικλιθήσεται, ἕως ἂν ἁ βάσις αὐτοῦ θίγῃ καθʼ ἓν σαμεῖον τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας.

Ἁπτέσθω δὴ καθʼ ἓν σαμεῖον, ὡς ἐν τῷ τρίτῳ σχήματι ἐγράφθη, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω δειχθήσεται
δὴ πάλιν ἅ τε ΘΗ ἴσα ἐοῦσα τᾷ ΦΙ καὶ τὰ ΑΦΧ, ΑΒΖ τμάματα ἴσα ἀλλάλοις. Καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις καὶ ὁμοίοις τμαμάτεσσι τοῖς ΑΠΟΛ, ΑΒΓ ἀγμέναι ἐντὶ αἱ ΑΧ, ΑΖ ἴσα τμάματα ἀφαιροῦσαι, ἴσας ποιοῦσι γωνίας ποτὶ

ταῖς διαμέτροις τῶν τμαμάτων τῶν ἄρα ΛΗΣ, ΦΤΩ αἱ ποτὶ τοῖς Λ, Ω γωνίαι ἴσαι ἐντί, καὶ ἁ ΒΣ εὐθεῖα τᾷ ΒΤ ἴσα καὶ ἁ ΣΡ τᾷ ΡΤ καὶ ἁ ΗϠ τᾷ ΦΗ καὶ ἁ ϠΘ τᾷ ΗΙ. Ἐπεὶ δὲ διπλασία ἐστὶν ἁ ΦΥ τᾶς ΥΙ, φανερὸν ὅτι ἁ ΗϠ
μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς ϠΘ. Ἔστω οὖν ἁ Η(??) τᾶς (??) Θ διπλασίων πάλιν δὴ ἐκ τούτων δῆλον ὡς οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα, ἀλλʼ ἐπικλιθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Α. Ἐπεὶ δὴ καθʼ ἓν σαμεῖον ὑπετέθη τὸ τμᾶμα ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, δῆλον ὅτι κατὰ πλείονα τόπον ἁ βάσις ὑπὸ τοῦ
ὑγροῦ καταλαφθήσεται.