De lineis spiralibus (15-19)

Εἰ δέ κα ποτὶ τὰν ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμέναν ἕλικα ποτιπίπτωντι εὐθεῖαι ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος, τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον αἱ εὐθεῖαι ποτʼ ἀλλάλας, ὃν αἱ
εἰρημέναι περιφέρειαι μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας λαμβανομένας.

Ἔστω ἕλιξ, ἐφʼ ἇς ἁ ΑΒΓΘ, ἁ μὲν ΑΒΓΘ ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα, ἁ δὲ ΘΛΕΜ ἐν τᾷ δευτέρᾳ, καὶ ποτιπιπτόντων εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΑΛ. Δεικτέον ὅτι τὸν
αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΛ ποτὶ τὰν ΑΕ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ ΘΚΗ μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας.

Ἐν ἴσῳ γὰρ χρόνῳ τὸ Α σαμεῖον κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον τὰν ΑΛ γραμμὰν διαπορεύεται, καὶ τὸ Θ
σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας φερόμενον ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ πάλιν τὸ Α σαμεῖον τὰν ΑΕ εὐθεῖαν καὶ τὸ Θ ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΗ, ἑκάτερον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ φερόμένον

δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΛ γραμμὰ ποτὶ τὰν ΑΕ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας.

Τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον δειχθήσεται, καὶ εἴ κα ποτὶ τὰν ἐν τᾷ τρίτᾳ περιφορᾷ γεγραμμέναν ἕλικα ποτιπεσέωντι εὐθεῖαι, ὅτι τὸν αὐτὸν λόγον ἑξοῦντι ποτʼ ἀλλάλας, ὃν αἱ εἰρημέναι περιφέρειαι μεθ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας δὶς λαμβανομένας ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ποτὶ
τὰς ἄλλας ἕλικας ποτιπίπτουσαι δείκνυνται ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον, ὃν αἱ εἰρημέναι περιφέρειαι μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοσαυτάκις λαμβανομένας, ὅσος ἐστὶν ὁ ἑνὶ ἐλάσσων ἀριθμὸς τᾶν περιφορᾶν, καὶ εἴ κα ἁ ποτιπίπτουσα ἁ ἑτέρα ποτὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος πίπτῃ.

Εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ, καὶ ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιζευχθῇ ἐπὶ τὸ σαμεῖον, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἃς ποιεῖ γωνίας ἁ ἐφαπτομένα ποτὶ τὰν ἐπιζευχθεῖσαν,
ἀνίσοι ἐσσοῦνται καὶ ἁ μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις ἀμβλεῖα, ἁ δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ὀξεῖα.

Ἔστω ἕλιξ, ἐφʼ ἇς τὰ Α, Β, Γ, , Θ, ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα, καὶ ἔστω τὸ μὲν Α σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΑΘ εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς, ὅ τε πρῶτος κύκλος
ὁ ΘΚΗ, ἐπιψαυέτω δέ τις εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἁ ΕΖ κατὰ τὸ , καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύχθω ἁ Α. Δεικτέον ὅτι ἁ Ζ ποτὶ τὰν Α ἀμβλεῖαν ποιεῖ γωνίαν.

Γεγράφθω κύκλος ὁ ΤΝ κέντρῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τᾷ Α ἀναγκαῖον δὴ τούτου τοῦ κύκλου τὰν μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις περιφέρειαν ἐντὸς πίπτειν τᾶς ἕλικος, τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτὸς διὰ τὸ τᾶν ἀπὸ τοῦ Α ποτὶ
τὰν ἕλικα ποτιπιπτουσᾶν εὐθειᾶν τὰς μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις μείζονας εἶμεν τᾶς Α, τὰς δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐλάσσονας. Ὅτι μὲν οὖν ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΑΖ οὐκ ἔστιν ὀξεῖα δῆλον, ἐπειδὴ μείζων ἐστὶ τᾶς τοῦ ἡμικυκλίου, ὅτι δὲ ὀρθὰ οὐκ ἔστι δεικτέον οὕτως
ἔστω γὰρ, εἰ δυνατόν, ὀρθά ἁ ἄρα ΕΖ ἐπιψαύει τοῦ ΤΝ κύκλου. Δυνατὸν δή ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν
τοῦ ὃν ἔχει ἁ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς ποτιπιπτούσας περιφέρεια ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρειαν, Ποτιπιπτέτω δὴ ἁ ΑΙ τεμεῖ δὴ οὕτα τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ Λ, τὰν δὲ τοῦ ΝΤ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ρ καὶ ἐχέτω

ἁ ΡΙ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἁ Ρ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΝΤ περιφέρειαν καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΡΝΤ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρειαν, τουτέστιν ὃν
ἔχει ἁ ΣΗΚΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν. Ὃν δὲ ἁ ΣΗΚΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν, τοῦτον ἔχει ἁ ΑΛ εὐθεῖα ποτὶ τὰν Α δέδεικται γὰρ τοῦτο · ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ Al ποτὶ τὰν ΑΡ ἤπερ ἁ ΛΑ ποτὶ τὰν Α ὅπερ ἀδύνατον · ἴσα γὰρ ἁ ΡΑ τᾷ
Α. Οὐκ ἄρα ἐστὶν ὀρθὰ ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΑΖ. Δέδεικται δὲ ὅτι οὐδὲ ὀξεῖα ἀμζλεῖα ἄρα ἐστίν, Ὥστε ἁ λοιπὰ ὀξεῖά ἐστιν.

Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύῃ, ὅτι τὸ αὐτὸ συμβήσεται.

Καὶ τοίνυν, εἴ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ ἁ εὐθεῖα, τὸ αὐτὸ συμβήσεται.

Ἐπιψαυέτω γὰρ ἁ ΕΖ εὐθεῖα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος κατὰ τὸ , καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατεσκευάσθω. Ὁμοίως δὴ τᾶς τοῦ ΡΝ κύκλου περιφερείας τὰ μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις τᾶς
ἕλικος ἐντὸς πεσοῦνται, τὰ δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτός ἁ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ τᾶν ΑΖ οὐκ ἔστιν ὀρθά, ἀλλὰ ἀμβλεῖα. Ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, ὀρθά ἐπιψαύσει δὴ ἁ ΕΖ τοῦ ΡΝ κύκλου κατὰ τὸ . Ἄχθω δὴ πάλιν ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν ἁ ΑΙ καὶ τεμνέτω τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ Χ,
τὰν δὲ τοῦ ΡΝ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ρ, ἐχέτω δὲ ἁ ΡΙ ποτὶ ΡΑ ἐλάσσονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἁ Ρ περιφέρεια ποτὶ ὅλαν τὰν τοῦ ΡΝ κύκλου περιφέρειαν καὶ ποτὶ τὰν ΝΤ · δέδεικται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ
ΡΝΤ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΝΤ περιφέρειαν μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας. Ἀλλʼ ὃν ἔχει λόγον ἁ ΡΝΤ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ ΝΤΡ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΝΤ περιφέρειαν μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ ΝΤΡ κύκλου
περιφερείας, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΣΗΚΘ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τᾶς ΘΣΗΚ ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ ΘΣΗΚ κύκλου περιφερείας, ὃν δὲ λόγον ἔχοντι αἱ ὕστερον εἰρημέναι περιφέρειαι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΧΑ εὐθεῖα ποτὶ
τὰν Α εὐθεῖαν δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΑΧ ποτὶ τὰν Α ὅπερ ἀδύνατον ἴση μὲν γὰρ ἡ ΡΑ τῇ Α, μείζων δὲ ἡ ΙΑ τῆς ΑΧ. Δῆλον οὖν ὅτι ἀμζλεῖά ἐστιν ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΑΖ ὥστε ἁ λοιπὰ ὀξεῖά ἐστι.

Τὰ δʼ αὐτὰ συμζήσεται, καὶ εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος ἐπιψαύῃ.

Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα, καὶ
εἴ κα κατὰ τὸ πέρας αὐτᾶς, ὅτι ἀνίσους ποιήσει τὰς γωνίας ποτὶ τὰν ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς ἐπιζευχθεῖσαν ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος καὶ τὰν μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις ἀμβλεῖαν, τὰν δὲ ἐν ἰοῖς ἑπομένοις ὀξεῖαν.

Εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, ἀπὸ δὲ τοῦ σαμείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ποτʼ ὀρθὰς ἀχθῇ τις τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς, ἁ ἀχθεῖσα συμπεσεῖται τᾷ ἐπιψαυούσᾳ, καὶ ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ
τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα ἐσσεῖται τᾷ τοῦ πρώτου κύκλου περιφερείᾳ.

Ἔστω ἕλιξ ἁ ΑΒΓΘ, ἔστω δὲ τὸ Α σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΘΑ γραμμὰ ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς, ὁ δὲ ΘΗΚ κύκλος ὁ πρῶτος, ἐπιψαυέτω δέ τις τᾶς ἕλικος κατὰ
τὸ Θ ἁ ΘΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἀχθῶ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΘΑ ἁ ΑΖ συμπεσεῖται δὴ οὕτα ποτὶ τὰν ΘΖ, ἐπεὶ αἱ ΖΘ, ΘΑ ὀξεῖαν

γωνίαν περιέχοντι. Συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ζ, Δεικτέον ὅτι ἁ ΖΑ ἴσα ἐστὶ τᾷ τοῦ ΘΚΗ κύκλου περιφερείᾳ.

Εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, μείζων. Ἔλαβον δή τινα εὐθεῖαν τὰν ΛΑ τᾶς
μὲν ΖΑ εὐθείας ἐλάσσονα, τᾶς δὲ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας μείζονα. Ἔστιν δὴ κύκλος τις ὁ ΘΗΚ καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΘΗ καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΛ, μείζων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΗΘ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπʼ αὐτὰν ἀγμέναν,
διότι καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΖ · δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιζαλεῖν ποτὶ τὰν ἐκβεβλημέναν τὰν ΑΝ, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας τὰν ΝΡ ποτὶ ΘΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· ἔξει οὖν ἁ ΝΡ ποτὶ τὰν ΡΑ λόγον, ὃν ἁ ΘΡ εὐθεῖα
ποτὶ τὰν ΑΛ. Ἁ δὲ ΘΡ ποτὶ τὰν ΑΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν ἁ μὲν γὰρ ΘΡ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΘΡ περιφερείας, ἁ δὲ ΑΛ εὐθεῖα τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας μείζων ἐλάσσονα οὖν λόγον ἕξει καὶ ἁ ΝΡ
ποτὶ ΡΑ ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν · καὶ ὅλα οὖν ἁ ΝΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΘΡ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν. Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΘΡ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ
ΘΗΚ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν, τοῦτον ἔχει ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΘ δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΝΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἤπερ ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΘ ὅπερ ἀδύνατον. ἁ μὲν γὰρ ΝΑ μείζων ἐστὶ τᾶς ΑΧ, ἁ δὲ ΑΡ ἴσα ἐστὶ τᾷ ΘΑ. Οὐκ ἄρα
μείζων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοῦ ΘΗΚ.

Ἔστω δὴ πάλιν, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας. Ἔλαβον δή τινα εὐθεῖαν πάλιν τὰν ΑΛ τᾶς μὲν ΑΖ μείζονα, τᾶς δὲ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας ἐλάσσονα, καὶ ἄγω ἀπὸ τοῦ Θ τὰν ΘΜ
παράλληλον τᾷ ΑΖ. Πάλιν οὖν κύκλος ἐστὶν ὁ ΘΗΚ καὶ ἐν αὐτῷ ἐλάσσων γραμμὰ τᾶς διαμέτρου ἁ ΘΗ καὶ ἄλλα ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Θ καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἁ ΑΘ ποτὶ τὰν ΑΛ, ἐλάσσων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΗΘ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπʼ αὐτὰν ἀγμέναν,
ἐπειδὴ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΖ ἐλάσσων ἐστί δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ἀγαγεῖν τὰν ΑΠ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν ΡΝ τὰν μεταξὺ τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ εὐθείας καὶ τᾶς περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΠ τὰν ἀπολαφθεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἁ ΘΑ
ποτὶ τὰν ΑΛ · τεμεῖ δὴ ἁ ΑΠ τὸν μὲν κύκλον κατὰ τὸ Ρ, τὰν δὲ ἕλικα κατὰ τὸ Χ καὶ ἕξει καὶ ἐναλλαξ τὸν αὐτὸν λόγον ἁ ΝΡ ποτὶ ΡΑ, ὃν ἁ ΘΠ ποτὶ ΑΛ. Ἁ δὲ ΘΠ ποτὶ τὰν ΑΛ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν ἁ μὲν γὰρ ΘΠ εὐθεῖα
μείζων ἐστὶν τᾶς ΘΡ περιφερείας, ἁ δὲ ΑΛ ἐλάσσων τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΠΡ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ

κύκλου περιφέρειαν · ὥστε καὶ ἁ ΡΑ ποτὶ τὰν ΑΝ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἁ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΡ περιφέρειαν. Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΡ περιφέρειαν, τοῦτον ἔχει ἁ
ΘΑ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΧ δέδεικται γὰρ τοῦτο · μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΡΑ ποτὶ τὰν ΑΝ ἢ ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΧ ὅπερ ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας · ἴσα ἄρα.

Εἰ δέ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύῃ εὐθεῖα, καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχθῇ τις ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς, συμπεσεῖται οὕτα ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, καὶ ἐσσεῖται ἁ εὐθεῖα ἁ μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς
ἕλικος διπλασία τᾶς τοῦ δευτέρου κύκλου περιφερείας.

Ἔστω γὰρ ἁ μὲν ΑΒΓΘ ἕλιξ ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα, ἁ δὲ ΘΕΤ ἐν τᾷ δευτέρᾳ, καὶ ὁ μὲν ΘΚΗ κύκλος ὁ πρῶτος, ὁ δὲ ΤΜΝ ὁ δεύτερος, ἔστω δέ τις

γραμμὰ ἐπιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ Θ ἁ ΤΖ, ἁ δὲ ΖΑ ποτʼ ὀρθὰς ἄχθῳ τᾷ ΤΑ συμπεσεῖται δὲ οὕτα τᾷ ΤΖ διὰ τὸ δεδεῖχθαι τὰν γωνίαν ὀξεῖαν ἐοῦσαν τὰν ὑπὸ τᾶν ΑΤΖ. Δεικτέον ὅτι ἁ ΖΑ εὐθεῖα διπλασία ἐντὶ τᾶς
τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας.

Εἰ γὰρ μή ἐστιν διπλασία, ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία ἢ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία. Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, μείζων ἢ διπλασία, καὶ λελάφθω τις εὐθεῖα ἁ ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐθείας ἐλάσσων, τᾶς δὲ τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας
μείζων ἢ διπλασία. Ἔστιν δή τις κύκλος ὁ ΤΜΝ καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ δεδομένα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΤΝ, καὶ ὃν ἔχει ἁ ΤΑ ποτὶ τὰν ΑΛ μείζων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΤΝ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπʼ αὐτὰν ἀγμέναν · δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιζαλεῖν τὰν
ΑΣ ποτὶ τὰν ΤΝ ἐκβεβλημέναν, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐκζεζλημένας τὰν ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν ἁ ΤΑ ποτὶ τὰν ΑΛ · τεμεῖ δὴ ἁ ΑΣ τὸν μὲν κύκλον κατὰ τὸ Ρ, τὰν δὲ ἕλικα κατὰ τὸ Χ · καὶ ἐναλλὰξ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ἁ ΡΣ ποτὶ τὰν
ΤΑ, ὃν ἁ ΤΡ ποτὶ τὰν ΑΛ. Ἁ δὲ ΤΡ ποτὶ τὰν ΑΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΤΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν διπλασίαν τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφέρειαν · ἔστιν γὰρ ἁ μὲν ΤΡ εὐθεῖα ἐλάσσων τᾶς ΤΡ περιφερείας, ἁ δὲ ΑΛ εὐθεῖα μείζων ἢ διπλασία τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας ἐλάσσονα
ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΡΣ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΤΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας ὅλα οὖν ἁ ΣΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΤΡ περιφέρεια μετὰ τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας δὶς εἰρημένας ποτὶ τὰν τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφέρειαν

δὶς εἰρημέναν. Ὃν δὲ λόγον ἔχοντι αἱ εἰρημέναι περιφέρειαι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΤ δέδεικται γὰρ τοῦτο · ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΑΣ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΤΑ · ὅπερ ἀδύνατον. Οὐκ
ἄρα μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία ἁ ΖΑ εὐθεῖα τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας. Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων ἢ διπλασία. Δῆλον οὖν ὅτι διπλασία ἐστίν.

Διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δεικτέον, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ τις
εὐθεῖα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ποτʼ ὀρθὰς ἀχθεῖσα τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς συμπίπτῃ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὅτι πολλαπλασία ἐστὶν τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοῦ κατὰ τὸν ἀριθμὸν τᾶς περιφορᾶς λεγομένου τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ.