Scaife ATLAS

CTS Library / De conoidibus et sphaeroidibus

De conoidibus et sphaeroidibus (10-11)

urn:cts:greekLit:tlg0552.tlg003.1st1K-grc1:10-11
Refs {'start': {'reference': '10', 'human_reference': 'Chapter 10'}, 'end': {'reference': '11', 'human_reference': 'Chapter 11'}}
Ancestors []
Children []
prev
plain textXML
next
ι.

Ὅτι μὲν πᾶς κῶνος ποτὶ κῶνον τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ τῶν βάσιων λόγου καὶ ἐκ τοῦ τῶν ὑψέων
ἀποδείκνυται ὑπὸ τῶν πρότερον, αὐτὰ δὲ ἀπόδειξίς ἐντι καὶ διότι πᾶν ἀπότμαμα κώνου ποτὶ ἀπότμαμα κώνου τὸν συγκείμενον λόγον ἔχει ἔκ τε τοῦ τῶν βάσιων λόγου καὶ ἐκ τοῦ τῶν ὑψέων.

Καὶ ὅτι πᾶς τόμος κυλίνδρου τριπλασίων ἐστὶ τοῦ
ἀποτμάματος τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τόμῳ καὶ ὕψος ἴσον, αὐτὰ ἀπόδειξις, ἅπερ καὶ ὅτι κύλινδρος τριπλάσιός ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ κυλίνδρῳ καὶ ὕψος ἴσον.

ια.

Εἴ κα τὸ ὀρθογώνιον κωνοειδὲς ἐπιπέδῳ τμαθῇ διὰ τοῦ ἄξονος παρὰ τὸν ἄξονα, τομὰ ἐσσεῖται ὀρθογωνίου

182
κώνου τομὰ αὐτὰ τᾷ περιλαμβανούσᾳ τὸ σχῆμα, διάμετρος δὲ αὐτᾶς ἐσσεῖται κοινὰ τομὰ τῶν ἐπιπέδων τοῦ τέμνοντος τὸ σχῆμα καὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἀχθέντος ὀρθοῦ ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ τέμνον.


Εἰ δέ κα τμαθῇ τῷ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα, τομὰ κύκλος ἐσσεῖται τὸ κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ ἄξονος.

Εἴ κα τὸ ἀμβλυγώνιον κωνοειδὲς ἐπιπέδῳ τμαθῇ διὰ τοῦ ἄξονος παρὰ τὸν ἄξονα διὰ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδές, τομὰ ἐσσεῖται
ἀμβλυγωνίου κώνου τομά, εἰ μέν κα διὰ τοῦ ἄξονος, αὐτὰ τᾷ περιλαμβανούσᾳ τὸ σχῆμα, εἰ δέ κα παρὰ τὸν ἄξονα, ὁμοία αὐτᾷ, εἰ δέ κα διὰ τᾶς κορυφᾶς τοῦ κώνου τοῦ περιέχοντος τὸ κωνοειδές, οὐχ ὁμοία, διάμετρος δὲ τᾶς τομᾶς ἐσσεῖται κοινὰ τομὰ τῶν ἐπιπέδων τοῦ τέμνοντος
τὸ σχῆμα καὶ τοῦ ἀχθέντος διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθοῦ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον.

Εἰ δέ κα τμαθῇ ὀρθῷ τῷ ἐπιπέδῳ ποτὶ τὸν ἄξονα, τομὰ κύκλος ἐσσεῖται τὸ κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ ἄξονος.

Εἴ κα τῶν σφαιροειδέων σχημάτων ὁποτερονοῦν ἐπιπέδῳ
τμαθῇ διὰ τοῦ ἄξονος παρὰ τὸν ἄξονα, τομὰ ἐσσεῖται ὀξυγωνίου κώνου τομά, εἰ μέν κα διὰ τοῦ ἄξονος, αὐτὰ περιλαμβάνουσα τὸ σχῆμα, εἰ δέ κα παρὰ τὸν ἄξονα, ὁμοία αὐτᾷ, διάμετρος δὲ τᾶς τομᾶς ἐσσεῖται κοινὰ τομὰ τῶν ἐπιπέδων τοῦ τέμνοντος τὸ σχῆμα καὶ τοῦ ἀχθέντος
διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθοῦ ποτὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον.

Εἰ δέ κα τμαθῇ τῷ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὸν ἄξονα, τομὰ κύκλος ἐσσεῖται τὸ κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ ἄξονος.

Εἴ κα τῶν εἰρημένων σχημάτων ὁποιονοῦν ἐπιπέδῳ

183
τμαθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, αἱ ἀπὸ τῶν σαμείων τῶν ἐν τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος μὴ ἐπὶ τᾶς τομᾶς ἐόντων κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον ἐντὸς πεσοῦνται τᾶς τοῦ σχήματος τομᾶς.


Τούτων δὲ πάντων φανεραί ἐντι αἱ ἀποδείξιες.

Tokens

ι 1 w 1
Ὅτι 1 w 5
μὲν 1 w 8
πᾶς 1 w 11
κῶνος 1 w 16
ποτὶ 1 w 20
κῶνον 1 w 25
τὸν 1 w 28
συγκείμενον 1 w 39
ἔχει 1 w 43
λόγον 1 w 48
ἔκ 1 w 50
τε 1 w 52
τοῦ 1 w 55
τῶν 1 w 58
βάσιων 1 w 64
λόγου 1 w 69
καὶ 1 w 72
ἐκ 1 w 74
τοῦ 2 w 77
τῶν 2 w 80
ὑψέων 1 w 85
ἀποδείκνυται 1 w 97
ὑπὸ 1 w 100
τῶν 3 w 103
πρότερον 1 w 111
1 w 113
αὐτὰ 1 w 117
δὲ 1 w 119
ἀπόδειξίς 1 w 128
ἐντι 1 w 132
καὶ 2 w 135
διότι 1 w 140
πᾶν 1 w 143
ἀπότμαμα 1 w 151
κώνου 1 w 156
ποτὶ 2 w 160
ἀπότμαμα 2 w 168
κώνου 2 w 173
τὸν 2 w 176
συγκείμενον 2 w 187
λόγον 2 w 192
ἔχει 2 w 196
ἔκ 2 w 198
τε 3 w 200
τοῦ 3 w 203
τῶν 4 w 206
βάσιων 2 w 212
λόγου 2 w 217
καὶ 3 w 220
ἐκ 2 w 222
τοῦ 4 w 225
τῶν 5 w 228
ὑψέων 2 w 233
Καὶ 1 w 237
ὅτι 1 w 240
πᾶς 2 w 243
τόμος 1 w 248
κυλίνδρου 1 w 257
τριπλασίων 1 w 267
ἐστὶ 1 w 271
τοῦ 5 w 274
ἀποτμάματος 1 w 285
τοῦ 6 w 288
κώνου 3 w 293
τοῦ 7 w 296
βάσιν 1 w 301
ἔχοντος 1 w 308
τὰν 1 w 311
αὐτὰν 1 w 316
τῷ 1 w 318
τόμῳ 1 w 322
καὶ 4 w 325
ὕψος 1 w 329
ἴσον 1 w 333
2 w 335
αὐτὰ 3 w 339
ἀπόδειξις 1 w 348
ἅπερ 1 w 353
καὶ 5 w 356
ὅτι 2 w 359
1 w 360
κύλινδρος 1 w 369
τριπλάσιός 1 w 379
ἐστι 1 w 383
τοῦ 8 w 386
κώνου 4 w 391
τοῦ 9 w 394
βάσιν 2 w 399
ἔχοντος 2 w 406
τὰν 3 w 409
αὐτὰν 2 w 414
τῷ 2 w 416
κυλίνδρῳ 1 w 424
καὶ 6 w 427
ὕψος 2 w 431
ἴσον 2 w 435
ια 1 w 438
Εἴ 1 w 441
κα 7 w 443
τὸ 3 w 445
ὀρθογώνιον 1 w 455
κωνοειδὲς 1 w 464
ἐπιπέδῳ 1 w 471
τμαθῇ 1 w 476
διὰ 1 w 479
τοῦ 10 w 482
ἄξονος 1 w 488
1 w 489
παρὰ 1 w 493
τὸν 3 w 496
ἄξονα 1 w 501
3 w 503
τομὰ 1 w 507
ἐσσεῖται 1 w 515
ὀρθογωνίου 1 w 525
κώνου 5 w 530
τομὰ 2 w 534
4 w 535
αὐτὰ 5 w 539
τᾷ 1 w 541
περιλαμβανούσᾳ 1 w 555
τὸ 5 w 557
σχῆμα 1 w 562
διάμετρος 1 w 572
δὲ 3 w 574
αὐτᾶς 1 w 579
ἐσσεῖται 2 w 587
5 w 588
κοινὰ 1 w 593
τομὰ 3 w 597
τῶν 6 w 600
ἐπιπέδων 1 w 608
τοῦ 11 w 611
τέμνοντος 1 w 620
τὸ 6 w 622
σχῆμα 2 w 627
καὶ 7 w 630
τοῦ 12 w 633
διὰ 2 w 636
τοῦ 13 w 639
ἄξονος 2 w 645
ἀχθέντος 1 w 653
ὀρθοῦ 1 w 658
ποτὶ 3 w 662
τὸ 7 w 664
ἐπίπεδον 1 w 672
τὸ 8 w 674
τέμνον 2 w 680
Εἰ 1 w 683
δέ 1 w 685
κα 9 w 687
τμαθῇ 2 w 692
τῷ 3 w 694
ἐπιπέδῳ 2 w 701
ὀρθῷ 1 w 705
ποτὶ 4 w 709
τὸν 4 w 712
ἄξονα 2 w 717
6 w 719
τομὰ 4 w 723
κύκλος 1 w 729
ἐσσεῖται 3 w 737
τὸ 10 w 739
κέντρον 1 w 746
ἔχων 1 w 750
ἐπὶ 1 w 753
τοῦ 14 w 756
ἄξονος 3 w 762
Εἴ 2 w 765
κα 10 w 767
τὸ 11 w 769
ἀμβλυγώνιον 1 w 780
κωνοειδὲς 2 w 789
ἐπιπέδῳ 3 w 796
τμαθῇ 3 w 801
διὰ 3 w 804
τοῦ 15 w 807
ἄξονος 4 w 813
2 w 814
παρὰ 2 w 818
τὸν 5 w 821
ἄξονα 3 w 826
3 w 827
διὰ 4 w 830
τᾶς 2 w 833
κορυφᾶς 1 w 840
τοῦ 16 w 843
κώνου 6 w 848
τοῦ 17 w 851
περιέχοντος 1 w 862
τὸ 13 w 864
κωνοειδές 1 w 873
7 w 875
τομὰ 5 w 879
ἐσσεῖται 4 w 887
ἀμβλυγωνίου 1 w 898
κώνου 7 w 903
τομά 1 w 907
εἰ 1 w 910
μέν 1 w 913
κα 11 w 915
διὰ 5 w 918
τοῦ 18 w 921
ἄξονος 5 w 927
8 w 929
αὐτὰ 6 w 933
τᾷ 2 w 935
περιλαμβανούσᾳ 2 w 949
τὸ 14 w 951
σχῆμα 3 w 956
εἰ 2 w 959
δέ 3 w 961
κα 12 w 963
παρὰ 3 w 967
τὸν 6 w 970
ἄξονα 4 w 975
ὁμοία 1 w 981
αὐτᾷ 1 w 985
εἰ 3 w 988
δέ 4 w 990
κα 13 w 992
διὰ 6 w 995
τᾶς 3 w 998
κορυφᾶς 2 w 1005
τοῦ 19 w 1008
κώνου 8 w 1013
τοῦ 20 w 1016
περιέχοντος 2 w 1027
τὸ 16 w 1029
κωνοειδές 2 w 1038
οὐχ 1 w 1042
ὁμοία 2 w 1047
διάμετρος 2 w 1057
δὲ 5 w 1059
τᾶς 4 w 1062
τομᾶς 1 w 1067
ἐσσεῖται 5 w 1075
9 w 1076
κοινὰ 2 w 1081
τομὰ 6 w 1085
τῶν 7 w 1088
ἐπιπέδων 2 w 1096
τοῦ 21 w 1099
τέμνοντος 2 w 1108
τὸ 17 w 1110
σχῆμα 4 w 1115
καὶ 8 w 1118
τοῦ 22 w 1121
ἀχθέντος 2 w 1129
διὰ 7 w 1132
τοῦ 23 w 1135
ἄξονος 6 w 1141
ὀρθοῦ 2 w 1146
ποτὶ 5 w 1150
τὸ 18 w 1152
τέμνον 4 w 1158
ἐπίπεδον 2 w 1166
Εἰ 2 w 1169
δέ 6 w 1171
κα 15 w 1173
τμαθῇ 4 w 1178
ὀρθῷ 2 w 1182
τῷ 4 w 1184
ἐπιπέδῳ 4 w 1191
ποτὶ 6 w 1195
τὸν 7 w 1198
ἄξονα 5 w 1203
10 w 1205
τομὰ 7 w 1209
κύκλος 2 w 1215
ἐσσεῖται 6 w 1223
τὸ 20 w 1225
κέντρον 2 w 1232
ἔχων 2 w 1236
ἐπὶ 2 w 1239
τοῦ 24 w 1242
ἄξονος 7 w 1248
Εἴ 3 w 1251
κα 16 w 1253
τῶν 8 w 1256
σφαιροειδέων 1 w 1268
σχημάτων 1 w 1276
ὁποτερονοῦν 1 w 1287
ἐπιπέδῳ 5 w 1294
τμαθῇ 5 w 1299
διὰ 8 w 1302
τοῦ 25 w 1305
ἄξονος 8 w 1311
4 w 1312
παρὰ 4 w 1316
τὸν 8 w 1319
ἄξονα 6 w 1324
11 w 1326
τομὰ 8 w 1330
ἐσσεῖται 7 w 1338
ὀξυγωνίου 1 w 1347
κώνου 9 w 1352
τομά 2 w 1356
εἰ 4 w 1359
μέν 2 w 1362
κα 17 w 1364
διὰ 9 w 1367
τοῦ 26 w 1370
ἄξονος 9 w 1376
αὐτὰ 7 w 1381
12 w 1382
περιλαμβάνουσα 1 w 1396
τὸ 22 w 1398
σχῆμα 5 w 1403
εἰ 5 w 1406
δέ 8 w 1408
κα 18 w 1410
παρὰ 5 w 1414
τὸν 9 w 1417
ἄξονα 7 w 1422
ὁμοία 3 w 1428
αὐτᾷ 2 w 1432
διάμετρος 3 w 1442
δὲ 6 w 1444
τᾶς 5 w 1447
τομᾶς 2 w 1452
ἐσσεῖται 8 w 1460
13 w 1461
κοινὰ 3 w 1466
τομὰ 9 w 1470
τῶν 9 w 1473
ἐπιπέδων 3 w 1481
τοῦ 27 w 1484
τέμνοντος 3 w 1493
τὸ 24 w 1495
σχῆμα 6 w 1500
καὶ 9 w 1503
τοῦ 28 w 1506
ἀχθέντος 3 w 1514
διὰ 10 w 1517
τοῦ 29 w 1520
ἄξονος 10 w 1526
ὀρθοῦ 3 w 1531
ποτὶ 7 w 1535
τὸ 25 w 1537
τέμνον 6 w 1543
ἐπίπεδον 3 w 1551
Εἰ 3 w 1554
δέ 9 w 1556
κα 20 w 1558
τμαθῇ 6 w 1563
τῷ 5 w 1565
ἐπιπέδῳ 6 w 1572
ὀρθῷ 3 w 1576
ποτὶ 8 w 1580
τὸν 10 w 1583
ἄξονα 8 w 1588
14 w 1590
τομὰ 10 w 1594
κύκλος 3 w 1600
ἐσσεῖται 9 w 1608
τὸ 27 w 1610
κέντρον 3 w 1617
ἔχων 3 w 1621
ἐπὶ 3 w 1624
τοῦ 30 w 1627
ἄξονος 11 w 1633
Εἴ 4 w 1636
κα 21 w 1638
τῶν 10 w 1641
εἰρημένων 1 w 1650
σχημάτων 2 w 1658
ὁποιονοῦν 1 w 1667
ἐπιπέδῳ 7 w 1674
τμαθῇ 7 w 1679
διὰ 11 w 1682
τοῦ 31 w 1685
ἄξονος 12 w 1691
αἱ 1 w 1694
ἀπὸ 1 w 1697
τῶν 11 w 1700
σαμείων 1 w 1707
τῶν 12 w 1710
ἐν 2 w 1712
τᾷ 5 w 1714
ἐπιφανείᾳ 1 w 1723
τοῦ 32 w 1726
σχήματος 1 w 1734
μὴ 1 w 1736
ἐπὶ 4 w 1739
τᾶς 6 w 1742
τομᾶς 3 w 1747
ἐόντων 1 w 1753
κάθετοι 1 w 1760
ἀγόμεναι 1 w 1768
ἐπὶ 5 w 1771
τὸ 28 w 1773
τέμνον 7 w 1779
ἐπίπεδον 4 w 1787
ἐντὸς 1 w 1792
πεσοῦνται 1 w 1801
τᾶς 7 w 1804
τοῦ 33 w 1807
σχήματος 2 w 1815
τομᾶς 4 w 1820
Τούτων 1 w 1827
δὲ 7 w 1829
πάντων 1 w 1835
φανεραί 1 w 1842
ἐντι 2 w 1846
αἱ 2 w 1848
ἀποδείξιες 1 w 1858