Conica (56-57)

Ἐὰν ἀντικείμεναι ἀντικειμένων καθ’ ἓν σημεῖον ἐπιψαύωσιν, οὐ συμπεσοῦνται καὶ κατ’ ἄλλα σημεῖα πλείονα ἢ δύο.

ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΒΓ καὶ ἕτεραι αἱ Δ, ΕΖ, καὶ ἡ ΒΓΔ τῆς ΑΒ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Β, καὶ ἐχέτωσαν ἀντεστραμμένα τὰ κυρτά, καὶ συμπιπτέτω πρῶτον ἡ ΒΓΔ τῇ ΓΔ κατὰ δύο σημεῖα τὰ Γ, Δ, ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου σχήματος.

ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΓΔ κατὰ δύο τέμνει ἀντεστραμμένα ἔχουσα τὰ κυρτά, ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ οὐ συμπεσεῖται. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΒΓΔ τῆς ΑΒ ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β ἀντεστραμμένα ἔχουσα τὰ κυρτά, ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ οὐ συμπεσεῖται. ἡ ἄρα ΕΖ οὐδετέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ τομῶν συμπεσεῖται· κατὰ δύο μόνον ἄρα τὰ Γ, Δ συμβάλλουσιν.

ἀλλὰ δὴ τὴν ΓΔ ἡ ΒΓ τεμνέτω καθ’ ἓν σημεῖον τὸ Γ, ὡς ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος. ἡ ἄρα ΕΖ τῇ μὲν ΓΔ οὐ συμπεσεῖται, τῇ δὲ ΑΒ συμπεσεῖται καθ’ ἓν μόνον. εἰ γὰρ κατὰ δύο συμβάλλει η ΕΖ τῇ ΑΒ, η ΒΓ τῇ ΓΔ οὐ συμπεσεῖται· ὑπόκειται δὲ συμβάλλουσα καθ’ ἕν.

εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῇ Δ τομῇ μὴ συμπίπτῃ, ὡς ἐπὶ τοῦ τρίτου σχήματος, διὰ μὲν τὰ προειρημένα ἡ ΕΖ τῇ Δ οὐ συμπεσεῖται, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΑΒ οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο.

ἐὰν δὲ αἱ τομαὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τὰ κοῖλα ἔχωσιν, αἱ αὐταὶ ἀποδείξεις ἁρμόσουσι.

κατὰ πάσας οὖν τὰς ἐνδεχομένας διαστολὰς δῆλόν ἐστιν ἐκ τῶν δεδειγμένων τὸ προτεθέν.

Ἐὰν ἀντικείμεναι ἀντικειμένων κατὰ δύο ἐπιψαύωσι, καθ’ ἕτερον σημεῖον οὐ συμπεσοῦνται.

ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ καὶ ἕτεραι αἱ ΑΓ, ΕΖ καὶ ἐφαπτέσθωσαν πρῶτον, ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου σχήματος, κατὰ τὰ Α, Γ.

ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ ἑκατέρας τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐφάπτεται κατὰ τὰ Α, Γ σημεῖα, ἡ ΕΖ ἄρα οὐδετέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ συμπεσεῖται.

ἐφαπτέσθωσαν δή, ὡς ἐπὶ τοῦ δευτέρου. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι ἡ ΓΔ τῇ ΕΖ οὐ συμπεσεῖται.

ἐφαπτέσθω δή, ὡς ἐπὶ τοῦ τρίτου σχήματος, ἡ μὲν ΓΑ τῆς ΑΒ κατὰ τὸ Α, ἡ δὲ Δ τῆς ΕΖ κατὰ τὸ Ζ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ ἐφάπτεται ἀντεστραμμένα τὰ κυρτὰ ἔχουσα, ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ οὐ συμπεσεῖται. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΖΔ τῆς ΕΖ ἐφάπτεται, ἡ ΓΑ τῇ ΔΖ οὐ συμπεσεῖται.

εἰ δὲ ἡ μὲν ΑΓ τῆς ΑΒ ἐφάπτεται κατὰ τὸ Α, ἡ δὲ ΕΓ τῆς ΓΔ κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔχουσιν ἐπὶ τὰ

κατὰ πάσας οὖν τὰς ἐνδεχομένας διαστολὰς δῆλόν ἐστιν ἐκ τῶν δεδειγμένων τὸ προτεθέν.