Conica (32-33)

Παραβολὴ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας οὐκ ἐφάψεται κατὰ δύο σημεῖα ἐντὸς αὐτῆς πίπτουσα.

ἔστω γὰρ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΗΒ, παραβολὴ δὲ ἡ Α ΜΒ, καὶ εἰ δυνατόν, ἐφαπτέσθωσαν κατὰ δύο τὰ Α, Β, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΖ· τεμεῖ δὴ ἑκατέραν τῶν τομῶν κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο, ὡς εἴρηται. τεμνέτω κατὰ τὰ Η, Μ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΛΖ ἐπὶ τὸ Δ, καὶ ἔστω τὸ Δ κέντρον τῆς ἐλλείψεως ἢ τοῦ κύκλου. ἔστιν ἄρα διὰ τὴν ἔλλειψιν καὶ τὸν κύκλον, ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΗ, ἡ ΔΗ πρὸς ΔΖ καὶ λοιπὴ ἡ ΛΗ πρὸς ΗΖ. μείζων δὲ ἡ ΛΔ τῆς ΔΗ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΗ τῆς ΗΖ. διὰ δὲ τὴν παραβολὴν ἴση ἡ ΛΜ τῇ ΜΖ· ὅπερ ἀδύνατον.

Ὑπερβολὴ ὑπερβολῆς τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχουσα οὐκ ἐφάψεται κατὰ δύο σημεῖα.

ὑπερβολαὶ γὰρ αἱ ΑΗΒ, ΑΜΒ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχουσαι τὸ Δ, εἰ δυνατόν, ἐφαπτέσθωσαν κατὰ τὰ Α, Β, ἤχθωσαν δὲ ἀπὸ τῶν Α, Β ἐφαπτόμεναι αὐτῶν καὶ συμπίπτουσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΛ, ΛΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΛ καὶ ἐκβεβλήσθω.

ἐπεζεύχθω δὴ καὶ ἡ ΑΒ· ἡ ἄρα ΔΖ τὴν ΑΒ δίχα τέμνει κατὰ τὸ Ζ. τεμεῖ. δὴ ἡ ΔΖ τὰς τομὰς κατὰ τὰ Η, Μ. ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ΑΗΒ ὑπερβολὴν ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΔΛ τῷ ἀπὸ ΔΗ, διὰ δὲ την ΑΜΒ τὸ ὑπὸ ΖΔΛ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΜ. τὸ ἄρα ἀπὸ ΜΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΗ· ὅπερ ἀδύνατον.