Μαθηματικὴ Σύνταξις (1.10-1.14)

Πρὸς μὲν οὖν τὴν ἐξ ἑτοίμου χρῆσιν κανονικήν τινα μετὰ ταῦτα ἔκθεσιν ποιησόμεθα τῆς πηλικότητος
αὐτῶν τὴν μὲν περίμετρον εἰς τξ τμήματα διελόντες, παρατιθέντες δὲ τὰς ὑπὸ τὰς καθʼ ἡμιμοίριον παραυξήσεις τῶν περιφερειῶν ὑποτεινομένας εὐθείας, τουτέστι πόσων εἰσὶν τμημάτων ὡς τῆς διαμέτρου διὰ τὸ ἐξ αὐτῶν τῶν ἐπιλογισμῶν φανησόμενον ἐν τοῖς ἀριθμοῖς
εὔχρηστον εἰς ρκ τμήματα διῃρημένης. πρότερον δὲ δείξομεν, πῶς ἂν ὡς ἔνι μάλιστα διʼ ὀλίγων καὶ τῶν αὐτῶν θεωρημάτων εὐμεθόδευτον καὶ ταχεῖαν τὴν ἐπιβολὴν τὴν πρὸς τὰς πηλικότητας αὐτῶν ποιοίμεθα, ὅπως μὴ μόνον ἐκτεθειμένα τὰ μεγέθη τῶν εὐθειῶν
[*] [*]

ἔχωμεν ἀνεπιστάτως, ἀλλὰ καὶ διὰ τῆς ἐκ τῶν γραμμῶν μεθοδικῆς αὐτῶν συστάσεως τὸν ἔλεγχον ἐξ εὐχεροῦς μεταχειριζώμεθα. καθόλου μέντοι χρησόμεθα ταῖς τῶν ἀριθμῶν ἐφόδοις κατὰ τὸν τῆς ἑξηκοντάδος τρόπον
διὰ τὸ δύσχρηστον τῶν μοριασμῶν ἔτι τε τοῖς πολυπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς ἀκολουθήσομεν τοῦ συνεγγίζοντος ἀεὶ καταστοχαζόμενοι, καὶ καθʼ ὅσον ἂν τὸ παραλειπόμενον ηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφέρῃ τοῦ πρὸς αἴσθησιν ἀκριβοῦς.

Ἔστω δὴ πρῶτον ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἤχθω ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΔΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ
ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΖΔ δεκαγώνου ἐστὶν πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ πενταγώνου. ἐπεὶ γὰρ
εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΔΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ πρόσκειταί τις αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΔΖ, τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον [*] [*] [*] [*] [*]

μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ Eucl. II, 6, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΖΕ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΒ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΔ καὶ ΔΒ τετράγωνα Eucl. I, 47 τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν
ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ, ΔΒ τετραγώνοις. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΔ τετραγώνου λοιπὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς
ΔΓ· ἡ ΖΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Δ Eucl. VI def. 3. ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ ἑξαγώνου καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου πλευρὰ τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνονται Eucl. XIII, 9, ἡ δὲ ΓΔ ἐκ τοῦ
κέντρου οὖσα τὴν τοῦ ἑξαγώνου περιέχει πλευράν Eucl. IV, 15 coroll., ἡ ΔΖ ἄρα ἐστὶν ἴση τῇ τοῦ δεκαγώνου πλευρᾷ. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων
Eucl. XIII, 10, τοῦ δὲ ΒΔΖ ὀρθογωνίου τὸ ἀπὸ [*] [*] [*] τῆς ΒΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἥτις ἐστὶν ἑξαγώνου πλευρά, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ Eucl. l, 47, ἥτις ἐστὶν δεκαγώνου πλευρά, ἡ ΒΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.

ἐπεὶ οὖν, ὡς ἔφην, ὑποτιθέμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον τμημάτων ρκ, γίνεται διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν ΔΕ ἡμίσεια οὖσα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων λ καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς Ϡ, ἡ δὲ ΒΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τμημάτων ξ καὶ τὸ ἀπὸ αὐτῆς γχ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΒ,
τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, τῶν ἐπὶ τὸ αὐτὸ δφ· μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΕΖ τμημάτων ξζ δ νε. ἔγγιστα, καὶ λοιπὴ ἡ ΔΖ τῶν αὐτῶν λζ δ νε. ἡ ἄρα τοῦ δεκαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ περιφέρειαν τοιούτων λς, οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξ, τοιούτων ἔσται λζ δ νε, οἵων ἡ
διάμετρος ρκ. πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν ΔΖ τμημάτων ἐστὶ λζ δ νε, τὸ δὲ ἀπὸ αὐτῆς ατοε δ ιε, ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῶν αὐτῶν γχ, ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον δϠοε δ ιε, μήκει ἄρα ἔσται [*] [*] [*] [*] [*] [*]

ἡ ΒΖ τμημάτων ο λβ γ ἔγγιστα. καὶ ἡ τοῦ πενταγώνου ἄρα πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας οβ, οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξ, τοιούτων ἐστὶν ο λβ γ, οἵων ἡ διάμετρος ρκ. φανερὸν δὲ αὐτόθεν, ὅτι καὶ ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ξ, καὶ ἴση
οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν ξ. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ μὲν τοῦ τετραγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας Ϛ, δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ τοῦ τριγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ρκ, δυνάμει τῆς αὐτῆς ἐστιν τριπλασίων, τὸ
δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν γχ, συναχθήσεται τὸ μὲν ἀπὸ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ζσ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς τοῦ τριγώνου Μω. ὥστε καὶ μήκει ἡ μὲν τὰς μοίρας ὑποτείνουσα εὐθεῖα τοιούτων ἔσται πδ να ι ἔγγιστα, οἵων ἡ διάμετρος ρκ, ἡ δὲ τὰς ρκ
τῶν αὐτῶν ργ νε κγ.

αἵδε μὲν οὕτως ἡμῖν ἐκ προχείρου καὶ καθʼ αὑτὰς εἰλήφθωσαν, καὶ ἔσται φανερὸν ἐντεῦθεν, ὅτι τῶν διδομένων εὐθειῶν ἐξ εὐχεροῦς δίδονται καὶ αἱ ὑπὸ τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἡμικύκλιον περιφερείας ὑποτείνουσαι
[*] [*] [*] [*]

διὰ τὸ τὰ ἀπʼ αὐτῶν συντιθέμενα ποιεῖν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον· οἷον, ἐπειδὴ ἡ ὑπὸ τὰς λϛ μοίρας εὐθεῖα τμημάτων ἐδείχθη λζ δ νε καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς ατοε δ ιε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς διαμέτρου
τμημάτων ἐστὶν Μα δυ, ἔσται καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἡμικύκλιον μοίρας ρμδ τῶν λοιπῶν Μα με, αὐτὴ δὲ μήκει τῶν αὐτῶν ριδ ζ λζ ἔγγιστα, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως.

ὅν δὲ τρόπον ἀπὸ τούτων καὶ αἰ λοιπαὶ τῶν κατὰ
μέρος δοθήσονται, δείξομεν ἐφεξῆς προεκθέμενοι λημμάτιον εὔχρηστον πάνυ πρὸς τὴν παροῦσαν πραγματείαν.

ἔστω γὰρ κύκλος ἐγγεγραμμένον ἔχων τετράπλευρον τυχὸν τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ καὶ ΒΔ.
δεικτέον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ. κείσθω γὰρ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΕ. ἐὰν οὖν κοινὴν προσθῶμεν τὴν ὑπὸ ΕΒΔ, ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ
γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ [*] [*] [*] [*] [*]

τῇ ὑπὸ BΓΕ ἴση Eucl. III, 21 τὸ γὰρ αὐτὸ τμῆμα ὑποτείνουσιν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ. ὥστε καὶ ἀνάλογόν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν
ΔΑ Eucl. VI, 4 τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕ Eucl. VI, 16. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ, ἔστιν δὲ καὶ
ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση τῇ ὑπὸ ΒΔΓ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑ, ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΑΕ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕ· καὶ
ὅλον Eucl. II, 1 ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

τούτου προεκτεθέντος ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓΔ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α δύο διήχθωσαν
[*] [*] [*] [*] [*]

αἱ ΑΒ, ΑΓ καὶ ἔστω ἑκατέρα αὐτῶν δοθεῖσα τῷ μεγέθει, οἵων ἡ διάμετρος δοθεῖσα ρκ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι καὶ αὕτη δέδοται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΓΔ· δεδομέναι
ἄρα εἰσὶν δηλονότι καὶ αὗται διὰ τὸ λείπειν ἐκείνων εἰς τὸ ἡμικύκλιον. ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστιν τὸ ΑΒΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ μετὰ τοῦ
ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ ἔσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ. καί ἐστιν τό τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ δοθὲν καὶ τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ δοθέν ἐστιν. καί ἐστιν ἡ ΑΔ διάμετρος· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΓ εὐθεῖα.
καὶ φανερὸν ἡμῖν γέγονεν, ὅτι, ἐὰν δοθῶσιν δύο περιφέρειαι καὶ αἱ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ τὴν ὑπεροχὴν τῶν δύο περιφερειῶν ὑποτείνουσα εὐθεῖα. δῆλον δέ, ὅτι διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος ἄλλας τε οὐκ ὀλίγας εὐθείας ἐγγράψομεν ἀπὸ τῶν ἐν ταῖς καθʼ αὐτὰς [*] [*] [*] δεδομένων ὑπεροχῶν καὶ δὴ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς δώδεκα μοίρας, ἐπειδήπερ ἔχομεν τήν τε ὑπὸ τὰς ξ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς οβ.

πάλιν προκείσθω δοθείσης τινὸς εὐθείας ἐν κύκλῳ τὴν ὑπὸ τὸ ἥμισυ τῆς ὑποτεινομένης περιφερείας εὐθεῖαν
εὑρεῖν. καὶ ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ καὶ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΓΒ, καὶ ἡ ΓΜ περιφέρεια δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΔ, ΒΔ,
ΔΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΔΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ ἡμίσειά ἐστι τῆς τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ ὑπεροχῆς. κείσθω γὰρ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΕ, κοινὴ
δὲ ἡ ΑΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΑΔ δύο ταῖς ΑΕ, ΑΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἕκατέρᾳ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΔ ἴση ἐστίν Eucl. III, 27 καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΔ βάσει τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν Euel. I, 4. ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἴση ἐστίν· καὶ ἡ ΔΓ ἄρα
τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελοῦς ὄντος τριγώνου τοῦ ΔΕΓ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος [*] [*] [*] [*] [*]

ἦκται ἡ ΔΖ, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΓ Eucl. I, 26. ἀλλʼ ἡ ΕΓ ὅλη ἡ ὑπεροχή ἐστιν τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ εὐθειῶν· ἡ ἄρα ΖΓ ἡμίσειά ἐστιν τῆς τῶν αὐτῶν ὑπεροχῆς. ὥστε, ἐπεὶ τῆς ὑπὸ τὴν ΒΓ περιφέρεταν εὐθείας
ὑποκειμένης αὐτόθεν δέδοται καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΑΒ, δοθήσεται καὶ ἡ ΖΓ ἡμίσεια οὖσα τῆς τῶν ΑΓ καὶ ΑΒ ὑπεροχῆς. ἀλλʼ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τῷ ΑΓΔ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΔΖ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΔΓ ὁρθογώνιον τῷ ΔΓΖ Eucl. VI, 8,
καί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς ΓΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ ΓΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον. ὥστε καὶ μήκει ἡ ΓΔ εὐθεῖα δοθήσεται
τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς ΒΓ περιφερείας.

καὶ διὰ τούτου δὴ πάλιν τοῦ θεωρήματος ἄλλαι τε ληφθήσονται πλεῖσται κατὰ τὰς ἡμισείας τῶν προεκτεθειμένων, καὶ δὴ καὶ ἀπὸ τῆς τὰς ιβ μοίρας ὑποτεινούσης εὐθείας ἥ τε ὑπὸ τὰς καὶ ἡ ὑπὸ τὰς γ καὶ
ἡ ὑπὸ τὴν μία ἥμισυ καὶ ἡ ὑπὸ τὸ ἥμισυ τέταρτον τῆς μιᾶς μοίρας. εὑρίσκομεν δὲ ἐκ τῶν ἐπιλογισμῶν [*] [*]

τὴν μὲν ὑπὸ τὴν μίαν ἥμισυ μοῖραν τοιούτων ᾱ λδ ιε ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ, τὴν δὲ ὑπὸ τὸ U2220δ τῶν αὐτῶν o μζ η.

πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ διάμετρον μὲν τὴν ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἀπειλήφθωσαν
δύο περιφέρειαι δοθεῖσαι κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ δεδομέναι. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν
ΑΓ, δοθήσεται καὶ αὐτή. διήχθω γὰρ διὰ τοῦ Β διάμετρος τοῦ κύκλου ἡ ΒΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ, ΔΓ, ΓΕ, ΔΕ· δῆλον δὴ αὐτόθεν, ὅτι διὰ μὲν
τὴν ΒΓ δοθήσεται καὶ ἡ ΓΕ, διὰ δὲ τὴν ΑΒ δοθήσεται ἥ τε ΒΔ καὶ ἡ ΔΕ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστιν τὸ ΒΓΔΕ, καὶ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΒΔ, ΓΕ, τὸ ὑπὸ τῶν διηγμένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις
τοῖς ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον· ὥστε, ἐπεὶ δεδομένου τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΕ, δέδοται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΔΕ, δέδοται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΕ, ΓΔ. δέδοται [*] [*]

δὲ καὶ ἡ ΒΚ διάμετρος, καὶ λοιπὴ ἡ ΓΔ ἔσται δεδομένη, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΓΑ· ὥστε, ἐὰν δοθῶσιν δύο περιφέρειαι καὶ αἰ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι, δοθήσεται καὶ ἡ συναμφοτέρας
τὰς περιφερείας κατὰ σύνθεσιν ὑποτείνουσα εὐθεῖα διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος.

φανερὸν δέ, ὅτι συντιθέντες ἀεὶ μετὰ τῶν προεκτεθειμένων πασῶν τὴν ὑπὸ τὴν ᾱ U2220 μοῖραν καὶ τὰς συναπτομένας ἐπιλογιζόμενοι πάσας ἀπλῶς ἐγγράψομεν,
ὅσαι δὶς γινόμεναι τρίτον μέρος ἕξουσιν, καὶ μόναι ἔτι περιλειφθήσονται αἱ μεταξὺ τῶν ἀνὰ ᾱ U2220 μοῖραν διαστημάτων δύο καθʼ ἕκαστον ἐσόμεναι, ἐπειδήπερ καθʼ ἡμιμοίριον ποιούμεθα τὴν ἐγγραφήν. ὥστε, ἐὰν τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον εὐθεῖαν εὕρωμεν, αὕτη κατά
τε τὴν σύνθεσιν καὶ τὴν ὑπεροχὴν τὴν πρὸς τὰς τὰ διαστήματα περιεχούσας καὶ δεδομένας εὐθείας καὶ τὰς λοιπὰς τὰς μεταξὺ πάσας ἡμῖν συναναπληρώσει. ἐπεὶ δὲ δοθείσης τινὸς εὐθείας ὡς τῆς ὑπὸ τὴν ᾱ U2220 μοῖραν ἡ τὸ τρίτον τῆς αὐτῆς περιφερείας ὑποτείνουσα
διὰ τῶν γραμμῶν οὐ δίδοταί πως· εἰ δέ γε δυνατὸν ἦν, εἴχομεν ἂν 3αὐτόθεν καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον· [*] [*] [*] [*] [*] [*]

πρότερον μεθοδεύσομεν τὴν ὑπὸ τὴν ᾱ μοῖραν ἀπό τε τῆς ὑπὸ τὴν ᾱ U2220 μοῖραν καὶ τῆς ὑπὸ U2220 δ ὑποθέμενοι λημμάτιον, ὅ, κἂν μὴ πρὸς τὸ καθόλου δύνηται τὰς πηλικότητας ὁρίζειν, ἐπί γε τῶν οὕτως ἐλαχίστων τὸ πρὸς τὰς ὡρισμένας ἀπαράλλακτον δύναιτʼ ἂν συντηρεῖν.

λέγω γάρ, ὅτι, ἐὰν ἐν κύκλῳ διαχθῶσιν ἄνισοι δύο εὐθεῖαι, ἡ μείζων πρὸς τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος εὐθείας περιφέρεια πρὸς τὴν ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος.

ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ
δύο εὐθεῖαι ἄνισοι ἐλάσσων μὲν ἡ ΑΒ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν.
τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΑΕΓ καὶ ἡ ΑΔ καὶ ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ
τῆς ΒΕΔ εὐθείας, ἴση μέν ἐστιν ἡ ΓΔ εὐθεῖα τῇ [*] [*] [*] [*] [*] [*]

ΑΔ Eucl. III, 26, 29, μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΕΑ Euol. VI, 3. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΕΓ ἡ ΔΖ. ἐπεὶ τοίνυν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῆς ΕΔ, ἡ δὲ EΔ τῆς ΔΖ, ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν
τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΕ γραφόμενος κύκλος τὴν μὲν ΑΔ τεμεῖ, ὑπερπεσεῖται δὲ τὴν ΔΖ. γεγράφθω δὴ ὁ ΗΕΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΖΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν ΔΕΘ τομεὺς μείζων ἐστὶν τοῦ ΔΕΖ τριγώνου, τὸ δὲ ΔΕΑ τρίγωνον μεῖζον τοῦ ΔΕΗ τομέως, τὸ
ἄρα ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΑ τρίγωνον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τόν ΔΕΗ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΚΑ τρίγωνον, οὕτως ἡ ΕΖ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΚΑ Eucl. VI, 1, ὡς δὲ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΕΗ τομέα, οὕτως
ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΚΔΑ ἡ ἄρα ΖΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΚΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. καὶ συνθέντι ἄρα ἡ ΖΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΑ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΔΕ καὶ
τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια, ἡ ΓΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνία πρὸς [*] [*] τὴν ὑπὸ ΕΔΑ· καὶ διελόντι ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ Eucl. VI, 3, ὡς δὲ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΔΑ, οὕτως ἡ ΓΒ περιφέρεια
πρὸς τὴν ΒΑ Eucl. VI, 33· ἡ ΓΒ ἄρα εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν. τούτου δὴ οὖν ὑποκειμένου ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ διήχθωσαν
ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΑΒ καὶ ἡ ΑΓ, ὑποκείσθω δὲ πρῶτον ἡ μὲν ΑΒ ὑποτείνουσα μιᾶς μοίρας U2220δʹ, ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν ᾱ. ἐπεὶ ἡ ΑΓ
εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ δὲ ΑΓ περιφέρεια ἐπίτριτός ἐστιν τῆς ΑΒ, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. ἀλλὰ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐδείχθη τοιούτων μζ η, οἵων
ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ· ἡ ἄρα ΓΑ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶν τῶν αὐτῶν ᾱ β ν· ταῦτα γὰρ ἐπίτριτά ἐστιν ἔγγιστα τῶν μζ η.

[*][*][*]

Πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα ὑποκείσθω ὑποτείνουσα μοῖραν ᾱ, ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν ᾱU2220. κατὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΑΒ ἐστιν ἡμιολία, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ
ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος. ἀλλὰ τὴν ΑΓ ἀπεδείξαμεν τοιούτων οὖσαν ᾱ λδ ῑε, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ· ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα μείζων ἐστὶν τῶν αὐτῶν ᾱ β ν· τούτων γὰρ ἡμιόλιά ἐστιν τὰ προκείμενα ᾱ λδ ῑε. ὥστε, ἐπεὶ τῶν αὐτῶν ἐδείχθη καὶ μείζων καὶ ἐλάσσων
ἡ τὴν μίαν μοῖραν ὑποτείνουσα εὐθεῖα, καὶ ταύτην δηλονότι ἕξομεν τοιούτων ᾱ β ν ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ, καὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον, ἥτις εὑρίσκεται τῶν αὐτῶν λα κε ἔγγιστα. καὶ συναναπληρωθήσεται τὰ λοιπά, ὡς ἔφαμεν,
διαστήματα ἐκ μὲν τῆς πρὸς τὴν μίαν ἥμισυ μοῖραν λόγου ἕνεκεν ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου διαστήματος συνθέσεως τοῦ ἡμιμοιρίου δεικνυμένης τῆς ὑπὸ τὰς β μοίρας, ἐκ δὲ τῆς ὑπεροχῆς τῆς πρὸς τὰς γ μοίρας καὶ τῆς ὑπὸ τὰς β U2220 διδομένης· ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ
τῶν λοιπῶν.

ἡ μὲν οὖν πραγματεία τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν οὕτως ἂν οἶμαι ῥᾷστα μεταχειρισθείη. ἵνα δέ, ὡς ἔφην, [*] [*]

ἐφʼ ἑκάστης τῶν χρειῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς πηλικότητας ἔχωμεν τῶν εὐθειῶν ἐκκειμένας, κανόνια ὑποτάξομεν ἀνὰ στίχους με διὰ τὸ σύμμετρον, ὧν τὰ μὲν πρῶτα μέρη περιέξει τὰς πηλικότητας τῶν περιφερειῶν καθʼ ἡμιμοίριον παρηυξημένας, τὰ δὲ δεύτερα τὰς τῶν
παρακειμένων ταῖς περιφερείαις εὐθειῶν πηλικότητας ὡς τῆς διαμέτρου τῶν ρκ τμημάτων ὑποκειμένης, τὰ δὲ τρίτα τὸ λ μέρος τῆς καθʼ ἕκαστον ἡμιμοίριον τῶν εὐθειῶν παραυξήσεως, ἵνα ἔχοντες καὶ τὴν τοῦ ἑνὸς ἑξηκοστοῦ μέσην ἐπιβολὴν ἀδιαφοροῦσαν πρὸς αἴσθησιν
τῆς ἀκριβοῦς καὶ τῶν μεταξὺ τοῦ ἡμίσους μερῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς ἐπιβαλλούσας πηλικότητας ἐπιλογίζεσθαι δυνώμεθα. εὐκατανόητον δʼ, ὅτι διὰ τῶν αὐτῶν καὶ προκειμένων θεωρημάτων, κἂν ἐν δισταγμῷ γενώμεθα γραφικῆς ἁμαρτίας περί τινα τῶν ἐν τῷ κανονίῳ παρακειμένων
εὐθειῶν, ῥᾳδίαν ποιησόμεθα τήν τε ἐξέτασιν καὶ τὴν ἐπανόρθωσιν ἤτοι ἀπὸ τῆς ὑπὸ τὴν διπλασίονα τῆς ἐπιζητουμένης ἢ τῆς πρὸς ἄλλας τινὰς τῶν δεδομένων ὑπεροχῆς ἢ τῆς τὴν λείπουσαν εἰς τὸ ἡμικύκλιον περιφέρειαν ὑποτεινούσης εὐθείας. καί ἐστιν ἡ
τοῦ κανονίου καταγραφὴ τοιαύτη·

[*][*][*]

Ἐκτεθειμένης δὴ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν πρῶτον ἂν εἴη, καθάπερ εἴπομεν, δεῖξαι, πόσον ὁ λοξὸς καὶ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ἐγκέκλιται
πρὸς τὸν ἰσημερινόν, τουτέστιν τίνα λόγον ἔχει ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν ἐκκειμένων πόλων μέγιστος κύκλος πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην αὐτοῦ μεταξὺ τῶν πόλων περιφέρειαν, ἴσην ἀπέχει δηλονότι καὶ τῶν τροπικῶν ἑκατέρου σημείων τὸ κατὰ τὸν ἰσημερινόν. αὐτόθεν
δʼ ἡμῖν τὸ τοιοῦτον ὀργανικῶς καταλαμβάνεται διὰ τοιαύτης τινὸς ἁπλῆς κατασκευῆς.

ποιήσομεν γὰρ κύκλον χάλκεον σύμμετρον τῷ μεγέθει τετορνευμένον ἀκριβῶς τετράγωνον τὴν ἐπιφάνειαν, ᾧ χρησόμεθα μεσημβρινῷ διελόντες αὐτὸν εἰς τὰ ὑποκείμενα
τοῦ μεγίστου κύκλου τμήματα τξ καὶ τούτων ἕκαστον, εἰς ὅσα ἐγχωρεῖ μέρη· ἔπειτα ἕτερον κυκλίσκον λεπτότερον ὑπὸ τὸν εἰρημένον ἐναρμόσαντες οὕτως, ὥστε τὰς μὲν πλευρὰς αὐτῶν ἐπὶ μιᾶς μένειν ἐπιφανείας, περιάγεσθαι δὲ ἀκωλύτως ὑπὸ τὸν μείζονα
δύνασθαι τὸν ἐλάσσονα κύκλον ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ἄρκτους τε καὶ μεσημβρίαν, προσθήσομεν ἐπὶ δύο τινῶν κατὰ διάμετρον τμημάτων τοῦ ἐλάσσονος κύκλου κατὰ τῆς ἑτέρας τῶν πλευρῶν πρισμάτια μικρὰ [*] [*] [*]

ἴσα νεύοντα πρὸς ἄλληλά τε καὶ τὸ κέντρον τῶν κύκλων ἀκριβῶς παραθέντες κατὰ μέσου τοῦ πλάτους αὐτῶν γνωμόνια λεπτὰ συνάπτοντα τῇ τοῦ μείζονος καὶ διῃρημένου κύκλου πλευρᾷ. ὃν δὴ καὶ ἐναρμόσαντες ἀσφαλῶς ἐπὶ τῶν παρʼ ἕκαστα χρειῶν ἐπὶ
στυλίσκου συμμέτρου καὶ καταστήσαντες ἐν ὑπαίθρῳ τὴν τοῦ στυλίσκου βάσιν ἐν ἀκλινεῖ πρὸς τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον ἐδάφει παραφυλάξομεν, ὅπως τὸ ἐπίπεδον τῶν κύκλων πρὸς μὲν τὸ τοῦ ὁρίζοντος ὀρθὸν ᾖ, τῷ δὲ τοῦ μεσημβρινοῦ παράλληλον· τούτων δὲ τὸ
μὲν πρότερον διὰ καθετίου μεθοδεύεται κρημναμένου μὲν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐσομένου σημείου, τηρουμένου δέ, ἕως ἂν ἐκ τῆς τῶν ὑποθεμάτων διορθώσεως ἐπὶ τὸ κατὰ διάμετρον ποιήσηται τὴν πρόσνευσιν, τὸ δὲ δεύτερον μεσημβρινῆς γραμμῆς εὐσήμως εἰλημμένης
ἐν τῷ ὑπὸ τὸν στυλίσκον ἐπιπέδῳ καὶ παραφερομένων εἰς τὰ πλάγια τῶν κύκλων, ἕως ἂν παράλληλον τῇ γραμμῇ τὸ ἐπίπεδον αὐτῶν διοπτεύηται. τοιαύτης δὴ τῆς θέσεως γινομένης ἐτηροῦμεν τὴν πρὸς ἄρκτους καὶ μεσημβρίαν τοῦ ἡλίου παραχώρησιν παραφέροντες
ἐν ταῖς μεσημβρίαις τὸν ἐντὸς κυκλίσκον, ἕως ἂν τὸ ὑποκάτω πρισμάτιον ὅλον ὑφʼ ὅλου τοῦ ὑπεράνω [*] [*] [*] σκιασθῇ. καὶ τούτου γινομένου διεσήμαινεν ἡμῖν τὰ τῶν γνωμονίων ἄκρα, πόσα τμήματα τοῦ κατὰ κορυφὴν ἑκάστοτε τὸ τοῦ ἡλίου κέντρον ἀφέστηκεν ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ.

ἔτι δὲ εὐχρηστότερον ἐποιούμεθα τὴν τοιαύτην παρατήρησιν κατασκευάσαντες ἀντὶ τῶν κύκλων λιθίνην ἢ ξυλίνην πλινθίδα τετράγωνον καὶ ἀδιάστροφον, ὁμαλὴν μέντοι καὶ ἀποτεταμένην ἔχουσαν ἀκριβῶς τὴν ἑτέραν τῶν πλευρῶν, ἐφʼ ἧς κέντρῳ χρησάμενοι σημείῳ
τινὶ πρὸς τῇ μιᾷ τῶν γωνιῶν ἐγράψαμεν κύκλου τεταρτημόριον, ἐπιζεύξαντες ἀπὸ τοῦ κατὰ τὸ κέντρον σημείου μέχρι τῆς γεγραμμένης περιφερείας τὰς τὴν ὑπὸ τὸ τεταρτημόριον ὀρθὴν γωνίαν περιεχούσας εὐθείας καὶ διελόντες ὁμοίως τὴν περιφέρειαν εἰς τὰς
μοίρας καὶ τὰ τούτων μέρη. μετὰ δὲ ταῦτα ἐπὶ μιᾶς τῶν εὐθειῶν τῆς μελλούσης ὀρθῆς τε ἔσεσθαι. πρὸς τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον καὶ πρὸς μεσημβρίαν τὴν θέσιν ἕξειν ἐμπολίσαντες ὀρθὰ καὶ ἴσα πάντοθεν δύο κυλίνδρια μικρὰ κατὰ τὸ ὅμοιον τετορνευμένα, τὸ
μὲν ἐπ’ αὐτοῦ τοῦ κατὰ τὸ κέντρον σημείου περὶ αὐτὸ τὸ μέσον ἀκριβῶς, τὸ δὲ πρὸς τῷ κάτω πέρατι τῆς [*]

εὐθεέας, ἔπειτα ἱστάντες ταύτην τὴν καταγεγραμμένην τῆς πλινθίδος πλευρὰν παρὰ τὴν ἐν τῷ ὑποκειμμεένῳ ἐπιπέδφ διηγμένην μεσημβρινὴν γραμμήν, ὥστε καὶ αὐτὴν παράλληλον ἔχειν τὴν θέσιν τῷ τοῦ μεσημβρπτνοῦ ἐπιπέδφ, καὶ καθετίῳ διὰ τῶν κυλινδρίων
ἀκλινῆ τε καὶ ὀρθὴν πρὸς τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὁρίζοντος τὴν διʼ αὐτῶν εὐθεῖαν ἀκριβοῦντες ὑποθεματίων πάλιν τινῶν λεπτῶν τὸ ἐνδέον διορθουμένων ἐτηροῦμεν ὡσαύτως ἐν ταῖς μεσημβρίαις τὴν ἀπὸ τοῦ πρὸς τῷ κέντρῳ κολινδρίον γινομένην σκιὰν παρατιθέντες τι
πρὸς τῇ καταγεγραμμένῃ περιφερείᾳ πρὸς τὸ καταδηλότερον αὐτῆς τὸν τόπον φαίαεσθαι καὶ ταύτης τὸ μέσον σημειούμενοι τὸ κατʼ αὐτοῦ τμῆμα τῆς τοῦ τεταρτημορίου περιφερείας ἐλαμβάνομεν διασημαῖνον δηλονότι τὴν κατὰ πλάτος ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ πάροδον
τοῦ ἡλίου.

ἐκ δὴ τῶν τοιούτων παρατηρήσεων καὶ μάλιστα τῶν περὶ τὰς τροπὰς αὐτὰς ἡμῖν ἀνακρινομένων ἐπὶ πλείονας περιόδους τὰ ἴσα καὶ τὰ αὐτὰ τμήματα τοῦ μεσημβρινοῦ κύκλου καὶ κατὰ τὰς θερινὰς τροπὰς καὶ
κατὰ τὰς χειμερινὰς τῆς σημειώσεως ὡς ἐπίπαν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἀπολαμβανούσης σημείου κατελαβόμεθα τὴν ἀπὸ τοῦ βορειοτάτου πέρατος ἐπὶ τὸ νοτιώτατον περιφέρειαν, ἥτις ἐστὶν ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν [*] [*] [*]

τμημάτων, πάντοτε γινομένην μζ καὶ μείζονος μὲν ἢ διμοίρου τμήματος, ἐλάσσονος δὲ ἡμίσους τετάρτου, διʼ οὗ συνάγεται σχεδὸν ὁ αὐτὸς λόγος τῷ τοῦ Ἐρατοσθένους, ᾧ καὶ ὁ Ἵππαρχος συνεχρήσατο· γίνεται
γὰρ τοιούτων ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν ῑᾱ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ὁ μεσημβρινὸς πγ.

εὔληπτα δὲ αὐτόθεν ἐκ τῆς προκειμένης παρατηρήσεως γίνεται καὶ τὰ τῶν οἰκήσεων, ἐν αἷς ἂν ποιώμεθα τὰς τηρήσεις, ἐγκλίματα λαμβανομένων τοῦ τε
μεταξὺ σημείου τῶν δύο περάτων, ὃ γίνεται κατὰ τὸν ἰσημερινόν, καὶ τῆς μεταξὺ τούτου τε καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου περιφερείας, ᾗ ἴσην δηλονότι καὶ οἱ πόλοι τοῦ ὁρίζοντος ἀφεστήκασιν.

ιγ. Προλαμβανόμενα εἰς τὰς σφαιρικὰς δείξεις.

Ἀκολούθου δʼ ὄντος ἀποδεῖξαι καὶ τὰς κατὰ μέρος γινομένας πηλικότητας τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν μεταξὺ τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν γραφομένων μεγίστων κύκλων διὰ τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ πόλων προεκθησόμεθα λημμάτια
βραχέα καὶ εὔχρηστα, διʼ ὧν τὰς πλείστας σχεδὸν δείξεις τῶν σφαιρικῶς θεωρουμένων, ὡς ἔνι μάλιστα, ἁπλούστερον καὶ μεθοδικώτερον ποιησόμεθα.

εἰς δύο δὴ εὐθείας τὰς ΑΒ καὶ ΑΓ διαχθεῖσαι [*] [*]

δύο εὐθεῖαι ἢ τε Β Ε καὶ ἡ Γ Δ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον.

λέγω, ὅτι ὁ τῆς ΓΑ πρὸς Α Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε.

ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Γ Δ παράλληλος ἡ Ε Η.
ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ Γ Δ καὶ Ε Η, ὁ τῆς Γ Α πρὸς Ε Α λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Γ Δ πρὸς Ε Η Eucl. VI, 4. ἔξωθεν δὲ ἡ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Δ πρὸς Ε λόγος συγκείμενος ἔσται
ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε ὥστε καὶ ὁ τῆς Γ Α πρὸς Α Ε λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε.
ἔστιν δὲ καὶ ὁ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε Eucl. VI, 4 διὰ τὸ παραλλήλους πάλιν εἶναι τὰς Ε καὶ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Α πρὸς ΑΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε ὅπερ προέκειτο δεῖξαι.

κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δειχθήσεται, ὅτι καὶ κατὰ διαίρεσιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α, διὰ τοῦ Α τῇ Ε Β παραλλήλου ἀχθείσης καὶ προσεκβληθείσης ἑπ αὐτὴν τῆς ΓΔΗ. ἐπεὶ γὰρ πάλιν παράλληλός
[*] [*]

ἐστιν ἡ Α Η τῇ Ε Ζ, ἔστιν, ὡς ἡ Γ Ε πρὸς Ε Α, ἡ Γ Ζ πρὸς Ζ Η Eucl. VI, 2. ἀλλὰ τῆς Ζ Δ ἔξωθεν λαμβανομένης ὁ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ
τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Ζ Η ἔστιν δὲ ὁ τῆς Δ πρὸς Ζ Η λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Δ Β πρὸς Β Α διὰ τὸ εἰς παραλλήλους τὰς Α Η καὶ
Ζ Β διῆχθαι τὰς Β Α καὶ Ζ Η ὁ ἄρα τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α. ἀλλὰ τῷ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α καὶ ὁ τῆς Γ Ε ἄρα πρὸς Ε Α λόγος σύγκειται
ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ οὗ κέντρον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τυχόντα
τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, Β Γ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ
ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α Γ καὶ ΔΕΒ.

[*][*][*][*]

λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ οὕτως ἡ Α Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Ε Γ εὐθεῖαν.

ἤχθωσαν γὰρ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α καὶ Γ σημείων ἐπὶ τὴν Δ Β ἥ τε Α Ζ καὶ ἡ Γ Η. ἐπεὶ παράλληλός
ἐστιν ἡ Α τῇ Γ Η, καὶ διῆκται εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΑΕΓ, ἔστιν, ὡς ἡ Δ Ζ πρὸς τὴν Γ Η, οὕτως ἡ Α Ε πρὸς Ε Ι Eucl. VI, 4. ἀλλʼ ὁ αὐτός ἐστιν λόγος ὁ τῆς Α πρὸς Γ Η καὶ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ ἡμίσεια
γὰρ ἐκατέρα ἑκατέρας· καὶ ὁ τῆς Α Ε ἄρα πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

παρακολουθεῖ δʼ αὐτόθεν, ὅτι, κἂν δοθῶσιν ἢ τε Α Γ ὅλη
περιφέρεια καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ, δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν Α Β καὶ Β Γ περιφερειῶν. ἐκτεθείσης
γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἐπεζεύχθω ἡ Α Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν Α Ε Γ ἡ Δ Ζ. ὅτι μὲν οὖν τῆς Α Γ περιφερείας δοθείσης ἥ τε ὑπὸ Α Δ Ζ [*] [*] [*]

γωνία τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς ὑποτείνουσα δεδομένη ἔσται καὶ ὅλον τὸ Α Δ Ζ τρίγωνον, δῆλον· ἐπεὶ δὲ τῆς Α Γ εὐθείας ὅλης δεδομένης ὑπόκειται καὶ ὁ τῆς Α Ε πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς
Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ, ἥ τε Α Ε ἔσται δοθεῖσα dat. 7 καὶ λοιπὴ ἡ Ζ Ε. καὶ διὰ τοῦτο καὶ τῆς Δ Ζ δεδομένης δοθήσεται καὶ τε ὑπὸ Ε Δ Ζ γωνία τοῦ ΕΔΖ ὀρθογωνίου καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ Α Δ Β ὥστε καὶ ἥ τε Α Β περιφέρεια δοθήσεται καὶ
λοιπὴ ἡ Β Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

πάλιν ἔστω κύκλος ὁ Α Β Γ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, ΑΓ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων
περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπιζευχθεῖσαι ἥ τε Δ Α καὶ ἡ Γ Β ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ε σημεῖον.

[*][*]

λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Β Ε.

ὁμοίως γὰρ τῷ προτέρῳ λημματίῳ, ἐὰν ἀπὸ τῶν Β καὶ Γ ἀγάγωμεν καθέτους ἐπὶ τὴν Δ Α τήν τε ΒΖ
καὶ τὴν Γ Η, ἔσται διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς εἶναι, ὡς ἡ Γ Η, πρὸς τὴν Β Ζ, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β Eucl. VI, 4. ὥστε καί, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

καὶ ἐνταῦθα δὲ αὐτόθεν παρακολουθεῖ, διότι, κἂν ἡ Γ Β περιφέρεια μόνη δοθῇ, καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β δοθῇ, καὶ ἡ Α Β περιφέρεια δοθήσεται. πάλιν γὰρ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς ἐπιζευχθείσης τῆς Δ Β
καὶ καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν Β Γ τῆς Δ Ζ ἡ μὲν [*] [*] [*] [*] [*]

ὑπὸ Β Δ Ζ γωνία τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς Β Γ περιφερείας ἔσται δεδομένη· καὶ ὅλον ἄρα τὸ Β Δ Ζ ὀρθογώνιον. ἐπεὶ δὲ καὶ ὅ τε τῆς Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β λόγος δέδοται καὶ ἔτι ἡ Γ Β εὐθεῖα, δοθήσεται καὶ ἥ
τε Ε Β καὶ ἔτι ὅλη ἡ Ε Β ὥστε καί, ἐπεὶ ἡ Δ Ζ δέδοται, δοθήσεται καὶ ἥ τε ὑπὸ Ε Δ Ζ γωνία τοῦ αὐτοῦ ὀρθογωνίου καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ Ε Δ Β. ὥστε καὶ ἡ Α Β περιφέρεια ἔσται δεδομένη.

τούτων προληφθέντων γεγράφθωσαν ἐπὶ σφαιρικῆς
ἐπιφανείας μεγίστων κύκλων περιφέρειαι, ὥστε εἰς δύο τὰς Α Β καὶ Α Γ δύο γραφείσας τὰς Β Ε καὶ Γ Δ τέμνειν ἀλλήλας κατὰ τὸ σημεῖον· ἔστω δὲ ἑκάστη αὐτῶν ἐλάσσων ἡμικυκλίου· τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν καταγραφῶν ὑπακουέσθω.

λέγω δή, ὅτι ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὰς Β, Ζ, Ε τομὰς τῶν κύκλων ἥ τε Η Β καὶ ἡ Η Ζ καὶ ἡ Η Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Α Δ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ Η Β ἐκβληθείσῃ καὶ αὐτῇ κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ὁμοίως δὲ [*] [*] [*]

ἐπιζευχθεῖσαι αἱ Δ Γ καὶ Α Γ τεμνέτωσαν τὰς Η Ζ καὶ Η Ε κατὰ τὸ Κ καὶ Λ σημεῖον· ἐπὶ μιᾶς δὴ γίνεται εὐθείας τὰ Θ, Κ, Λ σημεῖα διὰ τὸ ἐν δυσὶν ἅμα εἶναι ἐπιπέδοις τῷ τε τοῦ Α Γ Δ τριγώνου
καὶ τῷ τοῦ Β Ζ Ε κύκλου, ἥτις ἐπιζευχθεῖσα ποιεῖ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΘΛ καὶ Γ Α διηγμένας
τὰς Θ Λ καὶ Γ Δ τεμνούσας ἀλλήλας κατὰ τὸ Κ σημεῖον· ὁ ἄρα τῆς Γ Λ πρὸς Λ Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Κ πρὸς Κ Δ καὶ τοῦ τῆς Δ πρὸς p. 69, 21. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Γ Λ
πρὸς Λ Α, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α περιφερείας, ὡς δὲ ἡ Γ Κ πρὸς Κ Δ, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ p.70,17, ὡς δὲ ἡ Θ Δ πρὸς Θ Α, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β περιφερείας πρὸς
τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α p.72, 11. καὶ ὁ λόγος ἄρα ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ [*] [*] πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α.

κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῆς ἐπιπέδου καταγραφῆς τῶν εὐθειῶν p. 68, 23 δείκνυται, ὅτι
καὶ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Δ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε ἅπερ προέκειτο δεῖξαι.

Τούτου δὴ τοῦ θεωρήματος προεκτεθειμένου ποιησόμεθα πρώτην τὴν τῶν προκειμένων περιφερειῶν ἀπόδειξιν οὕτως.

ἔστω γὰρ ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ τὸ μὲν τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικύκλιον τὸ
ΑΕΓ, τὸ δὲ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΒΕΔ, τὸ δὲ Ε σημεῖον ἡ κατὰ τὴν ἐαρινὴν ἰσημερίαν αὐτῶν τομή, ὥστε τὸ μὲν Β χειμερινὸν τροπικὸν εἶναι, τὸ δὲ Δ θερινόν, εἰλήφθω δὲ ἐπὶ τῆς ΑΒ Γ περιφερείας [*] [*] [*]

ὁ πόλος τοῦ ΑΕΓ ἰσημερινοῦ καὶ ἔστω τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΕΗ περιφέρεια τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων ὑποκειμένη λ, οἵων ἐστὶν ὁ μέγιστος κύκλος τξ, διὰ δὲ τῶν Ζ, Η γεγράφθω μεγίστου κύκλου περιφέρεια ἡ Ζ Η Θ, καὶ προκείσθω τὴν Η Θ
δηλονότι εὑρεῖν. προειλήφθω δὴ καὶ ἐνταῦθα καὶ καθόλου ἐπὶ πασῶν τῶν ὁμοίων δείξεων, ἵνα μὴ καθʼ ἑκάστην ταυτολογῶμεν, ὅτι, ὅταν τὰς πηλικότητας λέγωμεν περιφερειῶν ἢ εὐθειῶν, ὅσων εἰσὶν μοιρῶν ἢ τμημάτων, ἐπὶ μὲν τῶν περιφερειῶν τοιούτων φαμέν,
οἵων ἡ τοῦ μεγίστου κύκλου περιφέρεια τμημάτων τξ, ἐπὶ δὲ τῶν εὐθειῶν τοιούτων, οἵων ἡ τοῦ κύκλου διάμετρος ρκ.

ἐπεὶ τοίνυν ἐν καταγραφῇ μεγίστων κύκλων εἰς δύο τὰς Α Ζ καὶ Α Ε περιφερείας γεγραμμέναι εἰσὶ
δύο ἥ τε ΖΘ καὶ ἡ Ε Β τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Κ πρὸς τὴν
ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β p. 76, 3. ἀλλ ἡ μὲν τῆς Ζ Α περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, ἡ δὲ τῆς Α Β διπλῆ κατὰ τὸν συμπεφωνημένον p. 68, 4. ἡμῖν τῶν πγ πρὸς τὰ ια λόγον μοιρῶν μζ μβ μ, ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα
τμημάτων μη λα νε, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Η Ε περιφερείας [*] [*] [*]

διπλῆ μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ, ἡ δὲ τῆς Ε Β διπλῆ μοιρῶν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς
τὰ ρκ, καταλείπεται ὁ λόγος τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ κδ ιε νζ. καί ἐστιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ζ Θ περιφερείας μοιρῶν ρπ, ἡ δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Θ Η τῶν
αὐτῶν ἐστιν κδ ιε νζ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Θ Η περιφερείας μοιρῶν ἐστιν κγ ιθ νθ, αὐτὴ δὲ ἡ Θ Η τῶν αὐτῶν ια μ ἔγγιστα.

πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε περιφέρεια μοιρῶν ξ, ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς
Ε Η γίνεσθαι μοιρῶν ρκ, τὴν δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ργ νε κγ. ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ρκ, καταλειφθήσεται ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ
τῶν ρκ πρὸς τὰ μβ α μη. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ τμημάτων ρκ ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπτλῆν τῆς Θ Η τῶν αὐτῶν ἔσται μβ α μη. καὶ ἡ μὲν διπλῆ ἄρα τῆς Θ H περιφερείας μοιρῶν ἐστιν μα ο ιη, ἡ δὲ Θ Η τῶν αὐτῶν κ λ θ· ἅπερ ἔδει δεῖξαι.

[*]

τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν κατὰ μέρος περιφερειῶν ἐπιλογιζόμενοι τὰς πηλικότητας ἐκθησόμεθα κανόνιον τῶν τοῦ τεταρτημορίου μοιρῶν παρακειμένας ἔχον τὰς πηλικότητας τῶν ὁμοίων ταῖς ἀποδεδειγμέναις περιφερειῶν· καί ἐστιν τὸ κανόνιον
τοιοῦτον·

[*]