Meteorologica (3.5)

Ὅτι δ’ οὔτε κύκλον οἷόν τε γίγνεσθαι τῆς ἴριδος οὔτε
μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα, καὶ περὶ τῶν ἄλλων τῶν συμβαίνόντων
περὶ αὐτήν, ἐκ τοῦ διαγράμματος ἔσται θεωροῦσι δῆλον.
Ἡμισφαιρίου γὰρ ὄντος ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος κύκλου τοῦ
ἐφ’ ᾧ τὸ Α, κέντρου δὲ τοῦ Κ, ἄλλου δέ τινος ἀνατέλλοντος
σημείου ἐφ’ ᾧ τὸ Η, ἐὰν αἱ ἀπὸ τοῦ Κ γραμμαὶ κατὰ κῶνον

ἐκπίπτουσαι ποιῶσιν ὥσπερ ἄξονα τὴν ἐφ’ ᾗ ἡ Η Κ,
καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Μ ἐπιζευχθεῖσαι ἀνακλασθῶσιν ἀπὸ
τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπὶ τὸ Η, ἐπὶ τὴν μείζω γωνίαν πρὸς κύκλου
περιφέρειαν προσπεσοῦνται αἱ ἀπὸ τοῦ Κ· καὶ ἐὰν
μὲν ἐπ’ ἀνατολῆς ἢ ἐπὶ δύσεως τοῦ ἄστρου ἡ ἀνάκλασις γένηται,
ἡμικύκλιον ἀποληφθήσεται τοῦ κύκλου ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος
τὸ ὑπὲρ γῆν γιγνόμενον, ἐὰν δ’ ἐπάνω, ἔλαττον ἀεὶ
ἡμικυκλίου. Ἐλάχιστον δ’, ὅταν ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γένηται
τὸ ἄστρον. Ἔστω γὰρ ἐπ’ ἀνατολῆς πρῶτον, οὗ
τὸ Η, καὶ ἀνακεκλάσθω ἡ Κ Μ ἐπὶ τὸ Η, καὶ τὸ ἐπίπεδον
ἐκβεβλήσθω ἐν ᾧ τὸ Α, τὸ ἀπὸ τοῦ τριγώνου ἐν ᾧ τὸ
Η Κ Μ. Κύκλος οὖν ἡ τομὴ ἔσται τῆς σφαίρας. Ὁ μέγιστος
ἔστω ὁ ἐφ’ ᾧ Α· διοίσει γὰρ οὐθέν, ἂν ὁποιανοῦν
τῶν ἐπὶ τῆς Η Κ κατὰ τὸ τρίγωνον τὸ Κ Μ Η ἐκβληθῇ τὸ
ἐπίπεδον. Αἱ οὖν ἀπὸ τῶν Η Κ ἀναγόμεναι γραμμαὶ ἐν
τούτῳ τῷ λόγῳ οὐ συσταθήσονται τοῦ ἐφ’ ᾧ Α ἡμικυκλίου
πρὸς ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον· ἐπεὶ γὰρ τά τε Η Κ σημεῖα
δέδοται, καὶ ἡ Κ Η δεδομένη ἂν εἴη καὶ ἡ Μ Η, ὥστε καὶ ὁ
λόγος τῆς Μ Η πρὸς τὴν Μ Κ. Δεδομένης οὖν περιφερείας
ἐφάψεται τὸ Μ. Ἔστω δὴ αὕτη ἐφ’ ἧς τὰ Ν Μ·
ὥστε ἡ τομὴ τῶν περιφερειῶν δέδοται. Πρὸς ἄλλῃ δὲ τῇ
πρὸς τῇ Μ Ν περιφερείᾳ ἀπὸ τῶν αὐτῶν σημείων ὁ αὐτὸς
λόγος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὐ συνίσταται. Ἐκκείσθω οὖν
τις γραμμὴ ἡ Δ Β, καὶ τετμήσθω ὡς ἡ Μ Η πρὸς Μ Κ, ἡ
Δ πρὸς τὸ Β. Μείζων δὲ ἡ Μ Η τῆς Μ Κ, ἐπείπερ ἐπὶ
τὴν μείζω γωνίαν ἡ ἀνάκλασις τοῦ κώνου· ὑπὸ γὰρ τὴν μείζω
γωνίαν ὑποτείνει τὴν τοῦ Κ Μ Η τριγώνου. Μείζων ἄρα καὶ ἡ Δ τῆς Β. Προσπεπορίσθω οὖν πρὸς τὴν Β, ἐφ’
ἧς τὸ Ζ· ὥστ’ εἶναι ὅπερ τὴν Δ πρὸς τὴν Β, τὴν Β Ζ πρὸς
τὴν Δ. Εἶτα ὅπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν Κ Η, ἡ τὸ Β πρὸς ἄλλην
πεποιήσθω τὴν Κ Π, καὶ ἀπὸ τοῦ Π ἐπὶ τὸ Μ ἐπεζεύχθω
ἡ τὸ Μ Π. Ἔσται οὖν τὸ Π πόλος τοῦ κύκλου,
πρὸς ὃν αἱ ἀπὸ τοῦ Κ γραμμαὶ προσπίπτουσιν· ἔσται γὰρ
ὅπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν Κ Η, καὶ ἡ Β πρὸς τὴν Κ Π, καὶ ἡ
Δ πρὸς τὴν Π Μ. Μὴ γὰρ ἔστω, ἀλλ’ ἢ πρὸς ἐλάττω
ἢ πρὸς μείζω τῆς Π Μ· οὐθὲν γὰρ διοίσει. Ἔστω
πρὸς Π Ρ. Τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον αἱ Η Κ καὶ Κ Π καὶ ἡ
Π Ρ πρὸς ἀλλήλας ἕξουσιν ὅνπερ αἱ Δ Β Ζ. Αἱ δὲ Δ Β Ζ
ἀνάλογον ἦσαν, ὅπερ ἡ Δ πρὸς Β, ἡ Ζ Β πρὸς Δ· ὥστε
ὅπερ ἡ Π Η πρὸς τὴν Π Ρ, ἡ τὸ Π Ρ πρὸς τὴν Π Κ.
Ἂν οὖν ἀπὸ τῶν Κ Η αἱ Η Ρ καὶ Κ Ρ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευχθῶσιν,
αἱ ἐπιζευχθεῖσαι αὗται τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον ὅνπερ
ἡ Π Η πρὸς τὴν Π Ρ· περὶ γὰρ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Π
ἀνάλογον αἵ τε τοῦ Η Π Ρ τριγώνου καὶ τοῦ Κ Ρ Π.
Ὥστε καὶ ἡ Π Ρ πρὸς τὴν Κ Ρ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον,
καὶ ἡ Η Π πρὸς τὴν Π Ρ. Ἔχει δὲ καὶ ἡ Μ Η πρὸς
τὴν Μ Κ τὸν αὐτὸν λόγον ὅνπερ ἡ τὸ Δ πρὸς τὸ Β
ἀμφότεραι. Ὥστ’ ἀπὸ τῶν Η Κ σημείων οὐ μόνον πρὸς τῇ
Μ Ν περιφερείᾳ συσταθήσονται τὸν αὐτὸν ἔχουσαι λόγον,
ἀλλὰ καὶ ἄλλοθι· ὅπερ ἀδύνατον. Ἐπεὶ οὖν ἡ Δ οὔτε πρὸς
ἐλάττω τῆς Π Μ οὔτε πρὸς μείζω (ὁμοίως γὰρ δείξομεν),
δῆλον ὅτι πρὸς αὐτὴν ἂν εἴη τὴν ἐφ’ ᾖ Μ Π. Ὥστ’ ἔσται ὅπερ ἡ Μ Π πρὸς τὴν Π Κ, ἡ τὸ Π Η πρὸς τὴν
Μ Π, καὶ λοιπὴ ἡ τὸ Μ Η πρὸς Μ Κ. Ἂν οὖν τῷ ἐφ’
ᾧ τὸ Π πόλῳ χρώμενος, διαστήματι δὲ τῷ ἐφ’ ᾧ Μ Π,
κύκλος γραφῇ, ἁπασῶν ἐφάψεται τῶν γωνιῶν ἃς ἀνακλώμεναι
ποιοῦσιν αἱ ἀπὸ τοῦ Μ Η κύκλου· εἰ δὲ μή, ὁμοίως
δειχθήσονται τὸν αὐτὸν ἔχουσαι λόγον αἱ ἄλλοθι καὶ ἄλλοθι
τοῦ ἡμικυκλίου συνιστάμεναι, ὅπερ ἦν ἀδύνατον. Ἃν
οὖν περιαγάγῃς τὸ ἡμικύκλιον τὸ ἐφ’ ᾧ τὸ Α περὶ τὴν ἐφ’
ᾗ Η Κ Π διάμετρον, αἱ ἀπὸ τοῦ Η Κ ἀνακλώμεναι πρὸς τὸ
ἐφ’ ᾧ τὸ Μ ἐν πᾶσι τοῖς ἐπιπέδοις ὁμοίως ἕξουσι, καὶ ἴσην
ποιήσουσι γωνίαν τὴν Κ Μ Η. Καὶ ἣν ποιοῦσι δὲ γωνίαν
αἱ Η Π καὶ Μ Π ἐπὶ τῆς Η Π, ἀεὶ ἴση ἔσται. Τρίγωνα
οὖν ἐπὶ τῆς Η Π καὶ Κ Π ἴσα τῷ Η Μ Π καὶ Κ Μ Π
συνεστήκασιν. Τούτων δ’ αἱ κάθετοι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον
πεσοῦνται τῆς Η Π καὶ ἴσαι ἔσονται. Πιπτέτωσαν ἐπὶ τὸ
Ο. Κέντρον ἄρα τοῦ κύκλου τὸ Ο, ἡμικύκλιον δὲ τὸ περὶ τὴν
Μ Ν ἀφῄρηται ἀπὸ τοῦ ὁρίζοντος· τῶν μὲν γὰρ ἄνω τὸν
ἤλιον οὐ κρατεῖν, τῶν δὲ πρὸς τῇ γῇ στηριζομένων κρατεῖν,
καὶ διαχεῖν τὸν ἀέρα. Καὶ διὰ τοῦτο τὴν ἶριν οὐ συμβάλλειν
τὸν κύκλον. Γίνεσθαι δὲ καὶ νύκτωρ ἀπὸ τῆς σελήνης
ὀλιγάκις· οὔτε γὰρ ἀεὶ πλήρης, ἀσθενεστέρα τε τὴν φύσιν
ὥστε κρατεῖν τοῦ ἀέρος. Μάλιστα δ’ ἵστασθαι τὴν ἶριν,
ὅπου μάλιστα κρατεῖται ὁ ἥλιος· πλείστη γὰρ ἐν αὐτῇ
ἰκμὰς ἐνέμεινεν. Πάλιν ἔστω ὁ ὁρίζων μὲν ἐφ’ οὗ τὸ
Α Β Γ, ἐπανατεταλκέτω δὲ τὸ Η, ὁ δ’ ἄξων ἔστω νῦν ἐφ’ ᾧ
τὸ Η Π. Τὰ μὲν οὖν ἄλλα πάντα ὁμοίως δειχθήσεται ὡς καὶ πρότερον, ὁ δὲ πόλος τοῦ κύκλου ὁ ἐφ’ ᾧ Π κάτω
ἔσται τοῦ ὁρίζοντος τοῦ ἐφ’ ᾧ τὸ ΑΓ, ἀρθέντος τοῦ ἐφ’ ᾧ
τὸ Η σημείου. Ἐπὶ δὲ τῆς αὐτῆς ὅτε πόλος καὶ τὸ κέντρον
τοῦ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ὁρίζοντος νῦν τὴν ἀνατολήν·
ἔστι γὰρ οὗτος ἐφ’ ᾧ τὸ ΗΠ. Ἐπεὶ δὲ τῆς διαμέτρου
τῆς ΑΓ τὸ ΚΗ ἐπάνω, τὸ κέντρον εἴη ἂν ὑποκάτω τοῦ
ὁρίζοντος πρότερον τοῦ ἐφ’ ᾧ τὸ ΑΓ, ἐπὶ τῆς ΚΠ γραμμῆς,
ἐφ’ οὗ τὸ Ο. Ὥστ’ ἔλαττον ἔσται τὸ ἐπάνω τμῆμα
ἡμικυκλίου τὸ ἐφ’ ᾧ ΨΥΩ· τὸ γαρ ΨΥΩ ἡμικύκλιον
ἦν, νῦν δ’ ἀποτέτμηται ἀπὸ τοῦ ΑΓ ὁρίζοντος. Τὸ δὴ
ΥΩ ἀφανὲς ἔσται ἐπαρθέντος αὐτοῦ τοῦ ἡλίου, ἐλάχιστον
δ’, ὅταν ἐπὶ μεσημβρίαν· ὅσῳ γὰρ ἀνώτερον τὸ Η, κατώτερος
ὅ τε πόλος καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἔσται. Ὅτι
δ’ ἐν μὲν ταῖς ἐλάττοσιν ἡμέραις ταῖς μετ’ ἰσημερίαν τὴν
μετοπωρινὴν ἐνδέχεται ἀεὶ γίγνεσθαι ἶριν, ἐν δὲ ταῖς μακροτέραις
ἡμέραις ταῖς ἀπὸ ἰσημερίας τῆς ἑτέρας ἐπὶ τὴν
ἰσημερίαν τὴν ἑτέραν περὶ μεσημβρίαν οὐ γίγνεται ἶρις,
αἴτιον ὅτι τὰ μὲν πρὸς ἄρκτον τμήματα πάντα μείζω
ἡμικυκλίου καὶ ἀεὶ ἐπὶ μείζω ἡμικυκλίου, τὸ δ’ ἀφανὲς
μικρόν, τὰ δὲ πρὸς μεσημβρίαν τμήματα τοῦ ἰσημερινοῦ, τὸ
μὲν ἄνω τμῆμα μικρόν, τὸ δ’ ὑπὸ γῆν μέγα. Καὶ ἀεὶ δὴ
τὰ πορρωτέρω μείζω· ὥστ’ ἐν μὲν ταῖς πρὸς τὰς θερινὰς
τροπὰς ἡμέραις διὰ τὸ μέγεθος τοῦ τμήματος, πρὶν ἐπὶ τὸ
μέσον ἐλθεῖν τοῦ τμήματος καὶ ἐπὶ τὸ μεσημβρινὸν τὴν τὸ
Η, κάτω ἤδη παντελῶς γίνεται τὸ Π, διὰ τὸ πόρρω
ἀφεστάναι τῆς γῆς τὴν μεσημβρίαν διὰ τὸ μέγεθος τοῦ τμήματος. Ἐν δὲ ταῖς πρὸς τὰς χειμερινὰς τροπὰς ἡμέραις,
διὰ τὸ μὴ πολὺ ὑπὲρ γῆς εἶναι τὰ τμήματα τῶν κύκλων,
τοὐναντίον ἀναγκαῖον γίγνεσθαι· βραχὺ γὰρ ἀρθείσης τῆς
ἐφ’ ᾧ τὸ Η, ἐπὶ τῆς μεσημβρίας γίγνεται ὁ ἥλιος.