Περὶ τῆς ἐν Τιμαίῳ ψυχογονίας (16-20)

τὸν δὲ τρόπον, ᾧ λαμβάνουσι τὰς εἰρημένας μεσότητας, ἁπλῶς καὶ σαφῶς Εὔδωρος ἀποδείκνυσι. σκόπει δὲ πρότερον ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς. ἂν γὰρ

ἐκθεὶς τοὺς ἄκρους λάβῃς ἑκατέρου τὸ ἥμισυ μέρος καὶ συνθῇς, ὁ συντεθεὶς ἔσται μέσος ἔν τε τοῖς διπλασίοις καὶ τοῖς τριπλασίοις ὁμοίως. ἐπὶ δὲ τῆς ὑπεναντίας, ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις ἂν τοὺς ἄκρους ἐκθεὶς τοῦ μὲν ἐλάττονος τὸ τρίτον τοῦ δὲ μείζονος τὸ ἥμισυ λάβῃς, ὁ συντεθεὶς γίγνεται μέσος· ἐν δὲ τοῖς τριπλασίοις ἀνάπαλιν, τοῦ μὲν ἐλάττονος ἥμισυ δεῖ λαβεῖν τοῦ δὲ μείζονος τρίτον· ὁ γὰρ συντεθεὶς οὕτω γίγνεται μέσος. ἔστω γὰρ ἐν τριπλασίῳ λόγῳ τὰ σʼ ἐλάχιστος ὅρος τὰ δʼ ιηʼ μέγιστος· ὁὲν οὖν τῶν σʼ τὸ ἥμισυ λαβὼν τὰ τρία καὶ τῶν ὀκτὼ καὶ δέκα τὸ τρίτον τὰ σʼ συνθῇς, ἕξεις τὸν ἐννέα ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχοντα καὶ ὑπερεχόμενον. οὓτω μὲν αἱ μεσότητες λαμβάνονται. δεῖ δʼ αὐτὰς ἐκεῖ παρεντάξαι καὶ ἀναπληρῶσαι τὰ διπλάσια καὶ τριπλάσια διαστήματα. τῶν δʼ ἐκκειμένων ἀριθμῶν οἱ μὲν οὐδʼ ὅλως μεταξὺ χώραν ἔχουσιν οἱ δʼ οὐχ ἱκανὴν αὔξοντες οὖν αὐτούς, τῶν αὐτῶν λόγων διαμενόντων, ὑποδοχὰς ποιοῦσιν ἀρκούσας ταῖς εἰρημέναις μεσότησι. καὶ πρῶτον μὲν ἐλάχιστον ἀντὶ τοῦ ἑνὸς τὰ ἓξ θέντες, ἐπεὶ πρῶτος ἥμισύ τε καὶ τρίτον ἔχει μέρος, ἅπαντας ἑξαπλασίους τοὺς ὑποτεταγμένους ἐποίησαν, ὡς ὑπογέγραπται, δεχομένους τὰς μεσότητας ἀμφοτέρας καὶ τοῖς διπλασίοις καὶ τοῖς τριπλασίους διαστήμασιν. εἰρηκότος δὲ τοῦ Πλάτωνος ἡμιολίων δὲ διαστάσεων καὶ ἐπιτρίτων καὶ ἐπογδόων γενομένων, ἐκ τούτων τῶν δεσμῶν ἐν ταῖς πρόσθεν διαστάσεσι τῷ τοῦ ἐπογδόου διαστήματι τὰ ἐπίτριτα πάντα συνεπληροῦτο, λείπων αὐτῶν ἑκάστου μόριον, τῆς δὲ τοῦ μορίου ταύτης διαστάσεως λειφθείσης ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἐχούσης τοὺς ὅρους σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ πρὸς γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ διὰ ταύτην τὴν λέξιν ἠναγκάζοντο πάλιν τοὺς ἀριθμοὺς ἐπανάγειν καὶ μείζονας ποιεῖν. ἔδει μὲν γὰρ ἐφεξῆς ἐπόγδοα γίγνεσθαι δύο· τῆς δʼ ἑξάδος οὔτʼ αὐτόθεν ἐπόγδοον ἐχούσης, εἴ τε τέμνοιτο, κερματιζομένων εἰς μόρια τῶν μονάδων, δυσθεωρήτου τῆς μαθήσεως ἐσομένης, αὐτὸ τὸ πρᾶγμα τὸν πολλαπλασιασμὸν ὑπηγόρευσεν, ὥσπερ ἐν ἁρμονικῇ μεταβολῇ τοῦ διαγράμματος ὅλου συνεπιτεινομένου τῷ πρώτῳ τῶν ἀριθμῶν. ὁ μὲν οὖν Εὔδωρος ἐπακολουθήσας Κράντορι πρῶτον ἔλαβε τὸν τπδʼ, ὃς γίγνεται τοῦ ἓξ ἐπὶ τὰ ξδʼ πολλαπλασιασθέντος ἐπηγάγετο δʼ αὐτοὺς ὁ τῶν ξδʼ ἀριθμὸς ἐπόγδοον ἔχων τὸν οβʼ. τοῖς δʼ ὑπὸ τοῦ Πλάτωνος λεγομένοις συμφωνότερόν ἐστιν ὑποθέσθαι τὸ ἥμισυ τούτου γὰρ τὸ λεῖμμα τὸ τῶν ἐπογδόων ἕξει λόγον ἐν ἀριθμοῖς, οὓς ὁ Πλάτων εἴρηκεν σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ πρὸς τρία καὶ μʼ καὶ σʼ, τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο πρώτων τιθεμένων. ἂν δʼ ὁ τούτου διπλάσιος τεθῇ πρῶτος, ἔσται τὸ λεῖμμα λόγον μὲν ἔχον τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν δὲ τὸν διπλάσιον, ὃν ἔχει τὰ φιβʼ πρὸς υπσʼ· γίγνεται γὰρ ἐπίτριτα τῶν μὲν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο τὰ σνσʼ, τῶν δὲ τπδʼ τὰ φιβʼ. καὶ οὐκ ἄλογος ἡ ἐπὶ τοῦτον ἀναγωγὴ τὸν ἀριθμόν, ἀλλὰ καὶ τοῖς περὶ τὸν Κράντορα παρασχοῦσα τὸ εὔλογον τὰ γὰρ ξδʼ καὶ κύβος ἐστὶν ἀπὸ πρώτου τετραγώνου καὶ τετράγωνος ἀπὸ πρώτου κύβου· γενόμενος δʼ ἐπὶ τὸν γʼ, πρῶτον ὄντα περισσὸν καὶ πρῶτον τρίγωνον καὶ πρῶτον τέλειον ὄντα καὶ ἡμιόλιον, ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο πεποίηκεν, ἔχοντα καὶ αὐτὸν ἐπόγδοον, ὡς δείξομεν.

πρότερον δὲ τί τὸ λεῖμμά ἐστι καί τίς ἡ διάνοια τοῦ Πλάτωνος, μᾶλλον κατόψεσθε, τῶν εἰωθότων ἐν ταῖς Πυθαγορικαῖς σχολαῖς λέγεσθαι βραχέως ὑπομνησθέντες. ἔστι γὰρ διάστημα ἐν

μελῳδίᾳ πᾶν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δυεῖν φθόγγων ἀνομοίων τῇ τάσει· τῶν δὲ διαστημάτων ἓν ὁ καλούμενος τόνος, ᾧ τὸ διὰ πέντε μεῖζόν ἐστι τοῦ διὰ τεσσάρων. τοῦτον οἱ μὲν ἁρμονικοὶ δίχα τεμνόμενον οἴονται δύο διαστήματα ποιεῖν, ὧν ἑκάτερον ἡμιτόνιον καλοῦσιν οἱ δὲ Πυθαγορικοὶ τὴν μὲν εἰς ἴσα τομὴν ἀπέγνωσαν αὐτοῦ, τῶν δὲ τμημάτων ἀνίσων ὄντων λεῖμμα τὸ ἔλαττον ὀνομάζουσιν, ὅτι τοῦ ἡμίσεος ἀπολείπει. · διὸ καὶ τῶν συμφωνιῶν τὴν διὰ τεσσάρων οἱ μὲν δυεῖν τόνων καὶ ἡμιτονίου ποιοῦσιν οἱ δὲ δυεῖν καὶ λείμματος. μαρτυρεῖν δὲ δοκεῖ τοῖς μὲν ἁρμονικοῖς ἡ αἴσθησις τοῖς δὲ μαθηματικοῖς ἡ ἀπόδειξις, ἧς τοιοῦτος ὁ τρόπος ἐστίν· ἐλήφθη διὰ τῶν ὀργάνων θεωρηθέν, ὅτι τὸ μὲν διὰ πασῶν τὸν διπλάσιον λόγον ἔχει, τὸ δὲ διὰ πέντε τὸν ἡμιόλιον, τὸ δὲ διὰ τεσσάρων τὸν ἐπίτριτον, ὁ δὲ τόνος τὸν ἐπόγδοον. ἔξεστι δὲ καὶ νῦν βασανίσαι τἀληθές, ἢ βάρη δυεῖν ἄνισα χορδῶν ἐξαρτήσαντας ἢ δυεῖν ἰσοκοίλων αὐλῶν τὸν ἕτερον μήκει διπλάσιον τοῦ ἑτέρου ποιήσαντας· τῶν μὲν γὰρ αὐλῶν ὁ μείζων βαρύτερον φθέγξεται ὡς ὑπάτη πρὸς νήτην, τῶν δὲ χορδῶν ἡ τῷ διπλασίῳ κατατεινομένη βάρει τῆς ἑτέρας ὀξύτερον ὡς νήτη πρὸς ὑπάτην τοῦτο δʼ ἐστὶ διὰ πασῶν. ὁμοίως δὲ καὶ τρία πρὸς δύο ληφθέντα μήκη καὶ βάρη τὸ διὰ πέντε ποιήσει καὶ τέσσαρα πρὸς τρία τὸ διὰ τεσσάρων, ὧν τοῦτο μὲν ἐπίτριτον ἔχει λόγον ἐκεῖνο δʼ ἡμιόλιον. ἐὰν δʼ ὡς ἐννέα πρὸς ὀκτὼ γένηται τῶν βαρῶν ἢ τῶν μηκῶν ἡ ἀνισότης, ποιήσει διάστημα τονιαῖον οὐ σύμφωνον ἀλλʼ ἐμμελὲς ὡς εἰπεῖν ἔμβραχυ, τῷ τοὺς φθόγγους, ἂν ἀνὰ μέρος κρουσθῶσι, παρέχειν ἡδὺ φωνοῦντας καὶ προσηνές ἂν δʼ ὁμοῦ, τραχὺ καὶ λυπηρόν· ἐν δὲ ταῖς συμφωνίαις κἂν ὁμοῦ κρούωνται κἂν ἐναλλάξ, ἡδέως προσίεται τὴν συνήχησιν ἡ αἴσθησις. οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ διὰ λόγου τοῦτο δεικνύουσιν. ἐν μὲν γὰρ ἁρμονίᾳ τὸ διὰ πασῶν ἔκ τε τοῦ διὰ πέντε σύγκειται καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων, ἐν δʼ ἀριθμοῖς τὸ διπλάσιον ἔκ τε τοῦ ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου· τὰ γὰρ δώδεκα τῶν μὲν ἐννέα ἐστὶν ἐπίτριτα τῶν δʼ ὀκτὼ ἡμιόλια τῶν δὲ σʼ διπλάσια. σύνθετος οὖν ὁ τοῦ διπλασίου λόγος ἐστὶν ἐκ τοῦ ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου, καθάπερ ὁ τοῦ διὰ πασῶν ἐκ τοῦ διὰ πέντε καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων ἀλλὰ κἀκεῖ τὸ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων τόνῳ κἀνταῦθα τὸ ἡμιόλιον τοῦ ἐπιτρίτου τῷ ἐπογδόῳ μεῖζόν ἐστι. φαίνεται τοίνυν, ὅτι τὸ διὰ πασῶν τὸν διπλάσιον λόγον ἔχει καὶ τὸ διὰ πέντε τὸν ἡμιόλιον καὶ τὸ διὰ τεσσάρων τὸν ἐπίτριτον καὶ ὁ τόνος τὸν ἐπόγδοον.

Ἀποδεδειγμένου δὲ τούτου, σκοπῶμεν εἰ

δίχα τέμνεσθαι πέφυκε τὸ ἐπόγδοον· εἰ γὰρ μὴ πέφυκεν, οὐδʼ ὁ τόνος. ἐπεὶ δὲ πρῶτοι τὸν ἐπόγδοον λόγον ὁ θʼ καὶ ὁ ηʼ ποιοῦντες οὐδὲν διάστημα μέσον ἔχουσι, διπλασιασθέντων δʼ ἀμφοτέρων ὁ παρεμπίπτων μεταξὺ δύο ποιεῖ διαστήματα δῆλον ὅτι τούτων μὲν ἴσων ὄντων δίχα τέμνεται τὸ ἐπόγδοον. ἀλλὰ μὴν διπλάσια γίγνεται τῶν μὲν θʼ τὰ ιηʼ τῶν δʼ ηʼ τὰ ισʼ, δέχονται δʼ οὗτοι μεταξὺ τὰ ιζʼ καὶ γίγνεται τῶν διαστημάτων τὸ μὲν μεῖζον τὸ δʼ ἔλαττον· ἔστι γὰρ τὸ μὲν πρότερον ἐφεπτακαιδέκατον τὸ δὲ δεύτερον ἐφεξκαιδέκατον. εἰς ἄνισα τοίνυν τέμνεται τὸ ἐπόγδοον εἰ δὲ τοῦτο, καὶ ὁ τόνος. οὐδέτερον ἄρα γίγνεται διαιρεθέντος αὐτοῦ τῶν τμημάτων ἡμιτόνιον, ἀλλʼ ὀρθῶς ὑπὸ τῶν μαθηματικῶν λεῖμμα προσηγόρευται. καὶ τοῦτʼ ἐστὶν ὅ φησιν ὁ Πλάτων τὰ ἐπίτριτα τοῖς ἐπογδόοις συμπληροῦντα τὸν θεὸν λείπειν ἑκάστου μόριον αὐτῶν, οὗ λόγος ἐστίν, ὃν ἔχει τὰ σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ πρὸς τὰ γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ. εἰλήφθω γὰρ τὸ διὰ τεσσάρων ἐν ἀριθμοῖς δυσὶ τὸν ἐπίτριτον λόγον περιέχουσι, τοῖς σνσʼ καὶ τοῖς ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο· ὧν ὁ μὲν ἐλάττων, τὰ ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο, κείσθω κατὰ τὸν βαρύτατον τοῦ τετραχόρδου φθόγγον ὁ δὲ μείζων, τὰ σνσʼ, κατὰ τὸν ὀξύτατον· ἀποδεικτέον ὅτι, τούτου συμπληρουμένου δυσὶν ἐπογδόοις, λείπεται διάστημα τηλικοῦτον, ἡλίκον ὡς ἐν ἀριθμοῖς τὰ σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ ἔχει πρὸς τὰ γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ. τοῦ γὰρ βαρυτέρου τόνῳ ἐπιταθέντος, ὅπερ ἐστὶν ἐπόγδοον, γίγνεται σισʼ· τούτου πάλιν τόνῳ ἄλλῳ ἐπιταθέντος, γίγνεται σμγʼ· ταῦτα μὲν γὰρ ὑπερέχει τῶν σισʼ τοῖς κζʼ, τὰ δὲ σισʼ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο τοῖς εἴκοσι καὶ τέσσαρσιν ὧν τὰ μὲν κζʼ τῶν σισʼ ὄγδοά ἐστι, τὰ δὲ κζʼ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο. διὸ γίγνεται τῶν τριῶν τούτων ἀριθμῶν ὅ τε μέγιστος ἐπόγδοος τοῦ μέσου καὶ ὁ μέσος τοῦ ἐλαχίστου· τὸ δʼ ἀπὸ τοῦ ἐλαχίστου διάστημα μέχρι τοῦ μεγίστου, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο μέχρι τῶν σμγʼ, δίτονον ἐκ δυεῖν συμπληρούμενον ἐπογδόων ἀφαιρουμένου δὲ τούτου, περίεστι τοῦ ὅλου διάστημα λοιπὸν τὸ μεταξὺ τῶν σμγʼ καὶ τῶν σνσʼ, τὰ τρισκαίδεκα διὸ καὶ λεῖμμα τοῦτον τὸν ἀριθμὸν ὠνόμαζον. ἐγὼ μὲν οὖν εὐσημότατα δηλοῦσθαι τὴν Πλάτωνος οἶμαι γνώμην ἐν τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς.

ἕτεροι δὲ τοῦ διὰ τεσσάρων ὅρους θέμενοι, τὸν μὲν ὀξὺν ἐν τοῖς σπηʼ τὸν δὲ βαρὺν ἐν τοῖς σισʼ, ἀναλόγως ἤδη τοῖς ἑξῆς περαίνουσιν· πλὴν ὅτι τὸ λεῖμμα τῶν δυεῖν τόνων μεταξὺ λαμβάνουσι

τοῦ γὰρ βαρυτέρου τόνῳ ἐπιταθέντος, γίγνεται σμγʼ· τοῦ δʼ ὀξυτέρου τόνῳ ἀνεθέντος, γίγνεται σνσʼ· ἔστι γὰρ ἐπόγδοα τὰ μὲν σμγʼ τῶν σισʼ τὰ δὲ σπηʼ τῶν σνσʼ· ὥστε τονιαῖον εἶναι τῶν διαστημάτων ἑκάτερον, λείπεσθαι δὲ τὸ μεταξὺ τῶν σμγʼ καὶ τῶν σνσʼ, ὅπερ οὐκ ἔστιν ἡμιτόνιον ἀλλʼ ἔλαττον τὰ μὲν γὰρ σπηʼ τῶν σνσʼ ὑπερέχει τοῖς κζʼ καὶ δυσί, τὰ δὲ σμγʼ τῶν σισʼ ὑπερέχει τοῖς κζʼ, τὰ δὲ σνσʼ τῶν σμγʼ ὑπερέχει τοῖς ιγʼ· ταῦτα δὲ τῶν ὑπεροχῶν ἀμφοτέρων ἐλάττω ἢ ἡμίσεά ἐστι. διὸ δυεῖν τόνων καὶ λείμματος, οὐ δυεῖν καὶ ἡμίσεος, εὕρηται τὸ διὰ τεσσάρων. καὶ ταῦτα μὲν ἔχει τοιαύτην ἀπόδειξιν. ἐκεῖνο δʼ οὐ πάνυ χαλεπὸν ἐκ τῶν προειρημένων συνιδεῖν, τί δήποτε φήσας ὁ Πλάτων ἡμιολίους καὶ ἐπιτρίτους καὶ ἐπογδόοις γίγνεσθαι διαστάσεις ἐν τῷ συμπληροῦσθαι τὰς ἐπιτρίτους ταῖς ἐπογδόοις, οὐκ ἐμνήσθη τῶν ἡμιολίων ἀλλὰ παρέλιπε. τὸ γὰρ ἡμιόλιον, τοῦ ἐπιτρίτου τῷ ἐπογδόῳ τῷ ἐπιτρίτῳ προστιθεμένου, συμπληροῦσθαι καὶ τὸ ἡμιόλιον.

Ὑποδεδειγμένων δὲ τούτων, τὸ μὲν συμπληροῦν τὰ διαστήματα καὶ παρεντάττειν τὰς μεσότητας, εἰ καὶ μηδεὶς ἐτύγχανε πὲποιηκὼς πρότερον, ὑμῖν ἂν αὐτοῖς ἕνεκα γυμνασίας παρῆκα νῦν δὲ πολλοῖς

κἀγαθοῖς ἀνδράσιν ἐξειργασμένου τούτου, μάλιστα δὲ Κράντορι καὶ Κλεάρχῳ καὶ Θεοδώρῳ τοῖς Σολεῦσι, μικρὰ περὶ τῆς τούτων διαφορᾶς εἰπεῖν οὐκ ἄχρηστόν ἐστιν. ὁ γὰρ Θεόδωρος οὐχ ὡς ἐκεῖνοι δύο στίχους ποιῶν, ἀλλʼ ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἐφεξῆς τούς τε διπλασίους ἐκτάττων καὶ τοὺς τριπλασίους, πρῶτον μὲν ἰσχυρίζεται τῇ λεγομένῃ κατὰ μῆκος σχίσει τῆς οὐσίας, δύο ποιούσῃ μοίρας ὡς ἐκ μιᾶς οὐ τέσσαρας ἐκ δυεῖν ἔπειτά φησι τὰς τῶν μεσοτήτων παρεντάξεις οὕτω λαμβάνειν προσήκειν χώραν· εἰ δὲ μή, ταραχὴν καὶ σύγχυσιν ἔσεσθαι καὶ μεταστάσεις εἰς τὸ πρῶτον εὐθὺς τριπλάσιον ἐκ τοῦ πρώτου διπλασίου τῶν συμπληροῦν ἑκάτερον ὀφειλόντων. τοῖς δὲ περὶ τὸν Κράντορα βοηθοῦσιν αἵ τε θέσεις τῶν ἀριθμῶν, ἐπιπέδων ἐπιπέδοις καὶ τετραγώνων τετραγώνοις καὶ κύβων κύβοις ἀντιθέτως συζυγούντων, τῇ τε μὴ κατὰ τάξιν αὐτῶν λήψει, ἀλλʼ ἐναλλὰξ ἀρτίων καὶ 30β περιττῶν. τὴν γὰρ μονάδα κοινὴν οὖσαν ἀμφοῖν προτάξας λαμβάνει τὰ ὀκτὼ καὶ ἐφεξῆς τὰ κζʼ μονονουχὶ δεικνύων ἡμῖν, ἣν ἑκατέρῳ γένει χώραν ἀποδίδωσι. ταῦτα μὲν οὖν ἑτέροις προσήκει μᾶλλον ἐξακριβοῦν, τὸ δʼ ἀπολειπόμενον οἰκεῖόν ἐστι τῆς ὑποκειμένης ἡμῖν πραγματείας.