Περὶ τῆς ἐν Τιμαίῳ ψυχογονίας (15-17)

ἀλλὰ ταῖς εἰσαγομέναις μεσότησι τῶν ὑποκειμένων

ἀριθμῶν χώρας οὐ διδόντων, ἐδέησε μείζονας ὅρους λαβεῖν ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις· καὶ λεκτέον τίνες εἰσὶν οὗτοι. πρότερον δὲ περὶ τῶν μεσοτήτων· ὧν τὴν μὲν ἴσῳ κατʼ ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν ἴσῳ δʼ ὑπερεχομένην ἀριθμητικὴν οἱ νῦν καλοῦσι, τὴν δὲ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην ὑπεναντίαν. ὅροι δʼ εἰσὶ τῆς μὲν ἀριθμητικῆς σʼ καὶ θʼ καὶ ιβʼ· τὰ γὰρ ἐννέα τῷ ἴσῳ κατʼ ἀριθμὸν τῶν ἓξ ὑπερέχει καὶ τῶν ιβʼ λείπεται· τῆς δʼ ὑπεναντίας σʼ ηʼ ιβʼ· τὰ γὰρ ὀκτὼ δυσὶ μὲν τῶν σʼ ὑπερέχει τέτταρσι δὲ τῶν ιβʼ λείπεται, ὧν τὰ μὲν δύο τῶν ἓξ τὰ δὲ τέσσαρα τῶν δώδεκα τριτημόριόν ἐστι. συμβέβηκεν οὖν ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τὸ μέσον ὑπερέχεσθαι καὶ ὑπερέχειν, ἐν δὲ τῇ ὑπεναντίᾳ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ἀποδεῖν τὸ δʼ ὑπερβάλλειν ἐκεῖ μὲν γὰρ τὰ τρία τοῦ μέσου τρίτον ἐστὶ μέρος, ἐνταῦθα δὲ τὰ δʼ καὶ τὰ βʼ τῶν ἄκρων ἑκάτερον ἑκατέρου· ὅθεν ὑπεναντία κέκληται. ταύτην δʼ ἁρμονικὴν ὀνομάζουσιν, ὅτι τοῖς ὅροις τὰ πρῶτα σύμφωνα παρέχεται, τῷ μὲν μεγίστῳ πρὸς τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ πασῶν τῷ δὲ μεγίστῳ πρὸς τὸν μέσον τὸ διὰ πέντε, τῷ δὲ μέσῳ πρὸς τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ τεσσάρων ὅτι τοῦ μεγίστου τῶν ὅρων κατὰ νήτην τιθεμένου τοῦ δʼ ἐλαχίστου καθʼ ὑπάτην, ὁ μέσος γίγνεται ὁ κατὰ μέσην, πρὸς μὲν τὸν μέγιστον τὸ διὰ πέντε ποιοῦσαν πρὸς δὲ τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ τεσσάρων ὥστε γίγνεσθαι τὰ ὀκτὼ κατὰ τὴν μέσην τὰ δὲ δώδεκα κατὰ νήτην τὰ δʼ ἓξ καθʼ ὑπάτην.

τὸν δὲ τρόπον, ᾧ λαμβάνουσι τὰς εἰρημένας μεσότητας, ἁπλῶς καὶ σαφῶς Εὔδωρος ἀποδείκνυσι. σκόπει δὲ πρότερον ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς. ἂν γὰρ

ἐκθεὶς τοὺς ἄκρους λάβῃς ἑκατέρου τὸ ἥμισυ μέρος καὶ συνθῇς, ὁ συντεθεὶς ἔσται μέσος ἔν τε τοῖς διπλασίοις καὶ τοῖς τριπλασίοις ὁμοίως. ἐπὶ δὲ τῆς ὑπεναντίας, ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις ἂν τοὺς ἄκρους ἐκθεὶς τοῦ μὲν ἐλάττονος τὸ τρίτον τοῦ δὲ μείζονος τὸ ἥμισυ λάβῃς, ὁ συντεθεὶς γίγνεται μέσος· ἐν δὲ τοῖς τριπλασίοις ἀνάπαλιν, τοῦ μὲν ἐλάττονος ἥμισυ δεῖ λαβεῖν τοῦ δὲ μείζονος τρίτον· ὁ γὰρ συντεθεὶς οὕτω γίγνεται μέσος. ἔστω γὰρ ἐν τριπλασίῳ λόγῳ τὰ σʼ ἐλάχιστος ὅρος τὰ δʼ ιηʼ μέγιστος· ὁὲν οὖν τῶν σʼ τὸ ἥμισυ λαβὼν τὰ τρία καὶ τῶν ὀκτὼ καὶ δέκα τὸ τρίτον τὰ σʼ συνθῇς, ἕξεις τὸν ἐννέα ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχοντα καὶ ὑπερεχόμενον. οὓτω μὲν αἱ μεσότητες λαμβάνονται. δεῖ δʼ αὐτὰς ἐκεῖ παρεντάξαι καὶ ἀναπληρῶσαι τὰ διπλάσια καὶ τριπλάσια διαστήματα. τῶν δʼ ἐκκειμένων ἀριθμῶν οἱ μὲν οὐδʼ ὅλως μεταξὺ χώραν ἔχουσιν οἱ δʼ οὐχ ἱκανὴν αὔξοντες οὖν αὐτούς, τῶν αὐτῶν λόγων διαμενόντων, ὑποδοχὰς ποιοῦσιν ἀρκούσας ταῖς εἰρημέναις μεσότησι. καὶ πρῶτον μὲν ἐλάχιστον ἀντὶ τοῦ ἑνὸς τὰ ἓξ θέντες, ἐπεὶ πρῶτος ἥμισύ τε καὶ τρίτον ἔχει μέρος, ἅπαντας ἑξαπλασίους τοὺς ὑποτεταγμένους ἐποίησαν, ὡς ὑπογέγραπται, δεχομένους τὰς μεσότητας ἀμφοτέρας καὶ τοῖς διπλασίοις καὶ τοῖς τριπλασίους διαστήμασιν. εἰρηκότος δὲ τοῦ Πλάτωνος ἡμιολίων δὲ διαστάσεων καὶ ἐπιτρίτων καὶ ἐπογδόων γενομένων, ἐκ τούτων τῶν δεσμῶν ἐν ταῖς πρόσθεν διαστάσεσι τῷ τοῦ ἐπογδόου διαστήματι τὰ ἐπίτριτα πάντα συνεπληροῦτο, λείπων αὐτῶν ἑκάστου μόριον, τῆς δὲ τοῦ μορίου ταύτης διαστάσεως λειφθείσης ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἐχούσης τοὺς ὅρους σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ πρὸς γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ διὰ ταύτην τὴν λέξιν ἠναγκάζοντο πάλιν τοὺς ἀριθμοὺς ἐπανάγειν καὶ μείζονας ποιεῖν. ἔδει μὲν γὰρ ἐφεξῆς ἐπόγδοα γίγνεσθαι δύο· τῆς δʼ ἑξάδος οὔτʼ αὐτόθεν ἐπόγδοον ἐχούσης, εἴ τε τέμνοιτο, κερματιζομένων εἰς μόρια τῶν μονάδων, δυσθεωρήτου τῆς μαθήσεως ἐσομένης, αὐτὸ τὸ πρᾶγμα τὸν πολλαπλασιασμὸν ὑπηγόρευσεν, ὥσπερ ἐν ἁρμονικῇ μεταβολῇ τοῦ διαγράμματος ὅλου συνεπιτεινομένου τῷ πρώτῳ τῶν ἀριθμῶν. ὁ μὲν οὖν Εὔδωρος ἐπακολουθήσας Κράντορι πρῶτον ἔλαβε τὸν τπδʼ, ὃς γίγνεται τοῦ ἓξ ἐπὶ τὰ ξδʼ πολλαπλασιασθέντος ἐπηγάγετο δʼ αὐτοὺς ὁ τῶν ξδʼ ἀριθμὸς ἐπόγδοον ἔχων τὸν οβʼ. τοῖς δʼ ὑπὸ τοῦ Πλάτωνος λεγομένοις συμφωνότερόν ἐστιν ὑποθέσθαι τὸ ἥμισυ τούτου γὰρ τὸ λεῖμμα τὸ τῶν ἐπογδόων ἕξει λόγον ἐν ἀριθμοῖς, οὓς ὁ Πλάτων εἴρηκεν σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ πρὸς τρία καὶ μʼ καὶ σʼ, τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο πρώτων τιθεμένων. ἂν δʼ ὁ τούτου διπλάσιος τεθῇ πρῶτος, ἔσται τὸ λεῖμμα λόγον μὲν ἔχον τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν δὲ τὸν διπλάσιον, ὃν ἔχει τὰ φιβʼ πρὸς υπσʼ· γίγνεται γὰρ ἐπίτριτα τῶν μὲν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο τὰ σνσʼ, τῶν δὲ τπδʼ τὰ φιβʼ. καὶ οὐκ ἄλογος ἡ ἐπὶ τοῦτον ἀναγωγὴ τὸν ἀριθμόν, ἀλλὰ καὶ τοῖς περὶ τὸν Κράντορα παρασχοῦσα τὸ εὔλογον τὰ γὰρ ξδʼ καὶ κύβος ἐστὶν ἀπὸ πρώτου τετραγώνου καὶ τετράγωνος ἀπὸ πρώτου κύβου· γενόμενος δʼ ἐπὶ τὸν γʼ, πρῶτον ὄντα περισσὸν καὶ πρῶτον τρίγωνον καὶ πρῶτον τέλειον ὄντα καὶ ἡμιόλιον, ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο πεποίηκεν, ἔχοντα καὶ αὐτὸν ἐπόγδοον, ὡς δείξομεν.

πρότερον δὲ τί τὸ λεῖμμά ἐστι καί τίς ἡ διάνοια τοῦ Πλάτωνος, μᾶλλον κατόψεσθε, τῶν εἰωθότων ἐν ταῖς Πυθαγορικαῖς σχολαῖς λέγεσθαι βραχέως ὑπομνησθέντες. ἔστι γὰρ διάστημα ἐν

μελῳδίᾳ πᾶν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δυεῖν φθόγγων ἀνομοίων τῇ τάσει· τῶν δὲ διαστημάτων ἓν ὁ καλούμενος τόνος, ᾧ τὸ διὰ πέντε μεῖζόν ἐστι τοῦ διὰ τεσσάρων. τοῦτον οἱ μὲν ἁρμονικοὶ δίχα τεμνόμενον οἴονται δύο διαστήματα ποιεῖν, ὧν ἑκάτερον ἡμιτόνιον καλοῦσιν οἱ δὲ Πυθαγορικοὶ τὴν μὲν εἰς ἴσα τομὴν ἀπέγνωσαν αὐτοῦ, τῶν δὲ τμημάτων ἀνίσων ὄντων λεῖμμα τὸ ἔλαττον ὀνομάζουσιν, ὅτι τοῦ ἡμίσεος ἀπολείπει. · διὸ καὶ τῶν συμφωνιῶν τὴν διὰ τεσσάρων οἱ μὲν δυεῖν τόνων καὶ ἡμιτονίου ποιοῦσιν οἱ δὲ δυεῖν καὶ λείμματος. μαρτυρεῖν δὲ δοκεῖ τοῖς μὲν ἁρμονικοῖς ἡ αἴσθησις τοῖς δὲ μαθηματικοῖς ἡ ἀπόδειξις, ἧς τοιοῦτος ὁ τρόπος ἐστίν· ἐλήφθη διὰ τῶν ὀργάνων θεωρηθέν, ὅτι τὸ μὲν διὰ πασῶν τὸν διπλάσιον λόγον ἔχει, τὸ δὲ διὰ πέντε τὸν ἡμιόλιον, τὸ δὲ διὰ τεσσάρων τὸν ἐπίτριτον, ὁ δὲ τόνος τὸν ἐπόγδοον. ἔξεστι δὲ καὶ νῦν βασανίσαι τἀληθές, ἢ βάρη δυεῖν ἄνισα χορδῶν ἐξαρτήσαντας ἢ δυεῖν ἰσοκοίλων αὐλῶν τὸν ἕτερον μήκει διπλάσιον τοῦ ἑτέρου ποιήσαντας· τῶν μὲν γὰρ αὐλῶν ὁ μείζων βαρύτερον φθέγξεται ὡς ὑπάτη πρὸς νήτην, τῶν δὲ χορδῶν ἡ τῷ διπλασίῳ κατατεινομένη βάρει τῆς ἑτέρας ὀξύτερον ὡς νήτη πρὸς ὑπάτην τοῦτο δʼ ἐστὶ διὰ πασῶν. ὁμοίως δὲ καὶ τρία πρὸς δύο ληφθέντα μήκη καὶ βάρη τὸ διὰ πέντε ποιήσει καὶ τέσσαρα πρὸς τρία τὸ διὰ τεσσάρων, ὧν τοῦτο μὲν ἐπίτριτον ἔχει λόγον ἐκεῖνο δʼ ἡμιόλιον. ἐὰν δʼ ὡς ἐννέα πρὸς ὀκτὼ γένηται τῶν βαρῶν ἢ τῶν μηκῶν ἡ ἀνισότης, ποιήσει διάστημα τονιαῖον οὐ σύμφωνον ἀλλʼ ἐμμελὲς ὡς εἰπεῖν ἔμβραχυ, τῷ τοὺς φθόγγους, ἂν ἀνὰ μέρος κρουσθῶσι, παρέχειν ἡδὺ φωνοῦντας καὶ προσηνές ἂν δʼ ὁμοῦ, τραχὺ καὶ λυπηρόν· ἐν δὲ ταῖς συμφωνίαις κἂν ὁμοῦ κρούωνται κἂν ἐναλλάξ, ἡδέως προσίεται τὴν συνήχησιν ἡ αἴσθησις. οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ διὰ λόγου τοῦτο δεικνύουσιν. ἐν μὲν γὰρ ἁρμονίᾳ τὸ διὰ πασῶν ἔκ τε τοῦ διὰ πέντε σύγκειται καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων, ἐν δʼ ἀριθμοῖς τὸ διπλάσιον ἔκ τε τοῦ ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου· τὰ γὰρ δώδεκα τῶν μὲν ἐννέα ἐστὶν ἐπίτριτα τῶν δʼ ὀκτὼ ἡμιόλια τῶν δὲ σʼ διπλάσια. σύνθετος οὖν ὁ τοῦ διπλασίου λόγος ἐστὶν ἐκ τοῦ ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου, καθάπερ ὁ τοῦ διὰ πασῶν ἐκ τοῦ διὰ πέντε καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων ἀλλὰ κἀκεῖ τὸ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων τόνῳ κἀνταῦθα τὸ ἡμιόλιον τοῦ ἐπιτρίτου τῷ ἐπογδόῳ μεῖζόν ἐστι. φαίνεται τοίνυν, ὅτι τὸ διὰ πασῶν τὸν διπλάσιον λόγον ἔχει καὶ τὸ διὰ πέντε τὸν ἡμιόλιον καὶ τὸ διὰ τεσσάρων τὸν ἐπίτριτον καὶ ὁ τόνος τὸν ἐπόγδοον.