56. Ἡ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῇ p. 34Ο, 9 ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὴν ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Θ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΓΘ τῇ ὑπὸ ΘΓΒ· ἡμικυκλίων γάρ. οὐκοῦν ἡ ὑπὸ ΗΓ∠ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΘΓΒ· πολλῷ πλέον τῆς ὑπὸ ∠ΠΒ.

Διὰ τί δὲ ἡ ἀνακλωμένη μὴ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζεύγνυται; ἐπειδὴ αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται, ἐλάττων δὲ ἔμελλεν εἶναι ἡ πρὸς τῷ Π τῆς ὑπὸ ΘΓΒ, ἀνάγκη οὖν τὴν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Π ἀπὸ τῆς μείζονος ἀφαιρεθεῖσαν τῆς ὑπὸ ΘΓΒ ἀνωτέρω που ποιῆσαι τὴν ἀνάκλασιν ὡς ἐπὶ τὸ Κ.

57. Φανερὸν οὖν, ὅτι p. 340, 13 ἐὰν ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐπὶ τὸ Α, ἔσται δῆλον οὕτως· ἐπεὶ δύο αἱ ΚΘΓ δυσὶν ταῖς ΚΘΑ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ διὰ τὰς περιφερείας, πάντα πᾶσιν· ὥστε γωνία ἡ ὑπὸ ΚΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΓΘ ἴση. πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΘ∠ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΘ∠ διὰ τὸ τὰς ῥηθείσας ἴσας γωνίας ἐκ τῶν τεσσάρων ὀρθῶν τὰς ὑπολοίπους δύο ἴσας καταλιμπάνειν, δύο αἱ ΓΘ∠ δυσὶν ταῖς ΑΘ∠ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑ∠ τῇ ὑπὸ ΘΓ∠. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΘΑΒ ἴση τῇ ὑπὸ ΘΓΒ· ἡμικυκλίων γὰρ ἐφαρμοζομένων· ἐξ ὧν ἡ ὑπὸ ΚΑΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΚΓΘ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΑΒ ἴση τῇ ὑπὸ ΚΓΒ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ ἴση τῇ ὑπὸ ∠ΠΗ· ἡ ἄρα 55. V (q1). 56. V (q). 57. V (q). ὑπὸ ∠ΓΗ ἴση τῇ ὑπὸ ΚΑΒ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ∠ΓΗ ἴση τῇ ὑπὸ ∠ΑΡ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΑΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ∠ΑΡ.

58. Ἐπὶ τὰς διὰ τοῦ κέντρου p. 342, 7 τουτέστι κατὰ τῆς ΒΘ πᾶσαι πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ, ἑνὶ δὲ ἑκατέρωθεν ὥσπερ αἱ ΓΚ Α.