46. Μείζων γὰρ ἡ ὑπὸ ΚΘΛ p. 40, 14 πῶς ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Β; ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΒΓΑ, ΘΛΑ τὰς ὑπὸ ΒΓΑ, ΘΛΑ ἴσας ἔχουσιν· ἐν ἡμικυκλίοις γάρ· ἔχει δὲ τὸ ΘΛΑ τρίγωνον τὴν ὑπὸ ΘA Λ ἐλάττονα τῆς ὑπὸ ΒΑΓ· περιέχεται γάρ· λοιπὴν ἄρα τὴν ὑπὸ ΑΘ∠ μείζονα ἔχει τῆς ὑπὸ ΑΒΓ. ὁμοίως καὶ τὴν ὑπὸ ΑΘΚ μείζονα ἔχει τῆς ὑπὸ ΑΒ∠. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΘΚ μείζων τῆς ὑπὸ ΓΒ∠.

47. Παραλληλόγραμμόν ἐστι p. 42, 13 ἀλλὰ καὶ ἴσον τῷ ΓΖ παραλληλογράμμῳ· ἴση γὰρ ἡ ΓΑ τῇ ΑΒ.

48. Ἐλεύσεται δὲ καὶ ἐπί p. 42, 16 τοῦ γὰρ Α∠ περιστρεφομένου ἐφάψεται ἡ ∠Β τῆς σφαίρας, ὅτι καὶ τοῦ ΒΓ κύκλου.

49. Συμβάλλουσι δὴ ἀλλήλαις p. 44, 3 διότι ἐλάττους εἰσὶ β ὀρθῶν αἱ Β, Γ γωνίαι διὰ τὸ κατʼ ἀνάγκην τῆς ἁρῆς τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου μείζονος οὔσης. 5Ο. Εἰ γὰρ οὐ συνέβαλλον, ἦν ἂν παράλληλος ἡ ΒΖ τῇ ΓΖ, καὶ τὸ ∠Ε ΒΖ παραλληλόγραμμον, καὶ ἡ διάμετρος ἴση τῷ διαστήματι· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.

51. Διὰ τί προσπεσοῦνται αἱ ΒΕ, Γ∠; ἐπεὶ τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζόν ἐστι καὶ παράλληλον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, ἐφάψονται δὲ αἱ ἀκτῖνες τῆς σφαίρας κατὰ πέρατα διαμέτρου κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐλάττονος καὶ παραλλήλου οὔσης τῷ διαστήματι τῶν ὀμμάτων, ἐπεὶ καὶ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἐλάσσων αὕτη ἐστὶ καὶ παράλληλος, καὶ οὐχὶ κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, αἱ ἐπιζευγνῦσαι τὰς παραλλήλους μέν, μὴ ἴσας δέ, οὐκ ἔσονται παράλληλοι. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΒΕ. Γ∠. ὅτι δὲ οὐκ ἐφάψονται κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, φανερόν· εἰ γὰρ ἐφάψονται κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, διὰ τὸ ιηʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ἐφαπτομένη μετὰ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας· αἱ δὲ ἀπὸ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι οὐ συμπεσοῦνται· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἀκτίνων, τοῦ διαστήματος τῶν ὀμμάτων καὶ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας περιεχόμενον. τῶν δὲ παραλληλογράμμων αἱ ἀπεναντίον πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί· ἴσον ἄρα τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἐφάψονται ἄρα κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας.