41. Eὐθεῖαι γίνονται p. 36, 3 περιφερειῶν μὲν οὔσης τῆς σκιᾶς, διὰ δὲ τὰς ἐξερχομένας ἀπὸ τοῦ φωτίζοντος ἀποστάσεις φαίνεσθαι ταύτας, οἵας καὶ ἐν τῇ εὐθείᾳ, καὶ εἶναι τοιαύτας.

42. Ποιήσει οὖν τομὴν κύκλον p. 36, 23 τοῦτο ἐν τοῖς Σφαιρικοῖς τοῦ Θεοδοσίου δείκνυται Ι, 1.

43. Αἱ ΓΒ, Β∠ ἄρα ἐφάπτονται p. 38, 1 ἡ τῇ διαμέτρῳ γὰρ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου, διάμετρος δὲ ἡ ΑΓ τοῦ ΓΗ∠Θ κύκλου.

44. Ὀρθαὶ ἄρα αἱ πρὸς τῷ Κ p. 38, 3 διὰ τί ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Κ; ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΒ∠ ἐφ ἀπτηταί τις εὐθεῖα ἡ HΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἐπαφὴν ἐπεζεύχθη εὐθεῖα ἡ ΒΑ, ἡ ἐπιζευχθεῖσα ἄρα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΗ. ἐπεὶ δὲ εἰς παραλλήλους τὰς ΗΘ, Γ∠ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΒ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΚΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΒΑΗ ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΗ ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΓ. ὀρθαὶ ἄρα αἱ πρὸς τὸ Κ.

45. Ὑπὸ τοῦ Θ ὄμματος βλέπεται p. 40, 10 πῶς ὑπὸ ὄμματος τοῦ Θ βλέπεται τὸ ΚΛ μέρος τῆς σφαίρας; ἐπεὶ περὶ διάμετρον τὴν ΑΘ κύκλος ὁ ΑΛΘΚ γέγραπται τέμνων τὸν ΕΓ∠Ζ κύκλον κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ Α σημείου τοῦ πέρατος τῆς διαμέτρου τοῦ ΑΛΘΚ κύκλου ἐπὶ τὰ Λ, Κ σημεῖα ἤχθησαν εὐθεῖαι αἱ ΑΛ, ΑΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου 41. Vb. 42. V1. 43. V1. 44. V1 deletum. 45. V1. 2. διά] corr. ex διτα? 13. ΗΘ] e corr. 23. περί] π. ΑΘ] ΚΘ. 27. καὶ ἀπό] corr. ex ἀπὸ δέ. πέρατος τοῦ Θ ἀνακυκλουμ αἱ ΘΛ, ΘΚ, καὶ ὀρθὰς γωνίας ποιοῦσι τὰς ὑπὸ ΑΛΘ, ΑΚΘ· ἡμικυκλίου γάρ· ἔστι δὲ διάμετρος ἡ ΑΚ καὶ ἡ ΑΛ τοῦ EΓ∠Ζ ἐκβαλλόμεναι, ἡ ΘΚ, ΘΛ ἄρα ἐφάπτονται τοῦ κύκλου διὰ τὸ πόρισμα τοῦ ιϛʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων. ἀχθείσης οὖν τῆς Κ Λ παραλλήλου οὔσης τῇ ΕΖ γίνονται τὰ ΛΘΜ, ΜΘΚ τρίγωνα ὀρθογώνια, ὡς προδέδεικται ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι. μενούσης ἄρα τῆς ΘΜ περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν εὐθείας περιστρεφόμενον τὸ τρίγωνον ποιεῖ τὴν κωνικὴν ἐπιφάνειαν ἡ ΘΛ ἀπὸ τοῦ Θ τῆς σφαίρας ἐφαπτομένη, ἡ δὲ Λ Μ τὸν κύκλον, ὅστις ἐστὶ βάσις τοῦ κώνου. ὑπὸ τῶν ΘΚ, ΘΛ ἄρα ἀκτίνων ὄμματος τοῦ Θ βλέπεται τὸ ΛΚ μέρος τῆς σφαίρας.